圆的极坐标方程推导过程

圆是一种非常重要的几何图形，在数学中有许多种不同的描述方法。

其中，极坐标方程是一种非常常用的描述方法，也是较为简单的一种

方法。极坐标方程是指把数轴上某点与原点的连线与正半轴的夹角和

原点到该点的距离作为点（r，θ）的坐标，来代替笛卡尔坐标系中的

x和y坐标。本文将以“圆的极坐标方程推导过程”为主题，向大家介绍极坐标方程是如何推导出来的。

1. 先来说说极坐标的定义

极坐标是圆心为原点的极轴坐标系的点的表示方法。由于使用极坐标

系统，将点（x，y）表示为(r，θ)对于许多问题更为方便。r是点到

原点的距离，也就是极半径；θ是点与x正半轴正方向成的角度，也

称为极角。因此，方程可以表示为(r，θ)，其中r是极径，θ是极角。

2. 如何推导圆的极坐标方程？

我们都知道，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。在极坐标系中，我们希望能够用(r，θ)来表示点，因此需要将该式用极坐标表示。

为了推导方程，我们首先观察圆。圆心到圆上任意一点之间都是半径，因此我们可以得到：

r²=x²+y²

然后，我们可以将x和y用极坐标来表示，有：

x=r*cosθ

y=r*sinθ

将其代入上面的式子，得到：

r²=r²*cos²θ+r²*sin²θ

然后，我们就可以将r²约掉，得到：

1=cos²θ+sin²θ

这个方程等同于：

1=sin²θ+cos²θ

这个方程等同于：

sin²θ+cos²θ=1

这就是我们熟知的三角恒等式！因此，我们可以得到：

r²=x²+y²

x=r*cosθ

y=r*sinθ

这就是圆的极坐标方程，其中，r表示极径，θ表示极角。

3. 总结

通过以上推导，我们可以了解到圆的极坐标方程是如何推导出来的。在这个过程中，我们发现了三角恒等式的存在，这也让我们更好地理解了圆的极坐标方程是如何被表示的。希望本文对于大家有所帮助。

圆的极坐标方程

2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第三节圆的极坐标方程（第1课时）学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解学习重点：圆的极坐标方程的求法学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用学习过程：一、复习引入问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？二、新知探究 1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①，可以验证点(0,)2 O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上. 2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。三、例题展示类型一：圆心在极点的圆例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点?? ? ??2,πa 处且过极点的圆

例3：求圆心在?? ? ??2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？变式训练：求下列圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；（2）圆心为2π（，），半径为2的圆的极坐标方程；（3）圆心在3(2,)2 A π处并且过极点的圆的方程。类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。（1）cos 2ρθ= （2）=2cos ρθ （3）2cos 22ρθ = （4）11cos ρθ=- 四、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（） A.2cos 4πρθ??=- ??? B.2sin 4πρθ??=- ??? C.()2cos 1ρθ=- D.2sin(1)ρθ=- 2.将下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1) 22230x y x y + -+= (2) 210x y -+= (3) 22x y +=９ (4) x =３ 3.说明下列极坐标方程表示什么曲线（1）π ρθ＝２cos(-) 4（2）πρθ＝cos(-)3（3）sin ρθ＝3 (4) ρ＝６

圆的极坐标方程推导过程

圆的极坐标方程推导过程圆是一种非常重要的几何图形，在数学中有许多种不同的描述方法。其中，极坐标方程是一种非常常用的描述方法，也是较为简单的一种方法。极坐标方程是指把数轴上某点与原点的连线与正半轴的夹角和原点到该点的距离作为点（r，θ）的坐标，来代替笛卡尔坐标系中的 x和y坐标。本文将以“圆的极坐标方程推导过程”为主题，向大家介绍极坐标方程是如何推导出来的。 1. 先来说说极坐标的定义极坐标是圆心为原点的极轴坐标系的点的表示方法。由于使用极坐标系统，将点（x，y）表示为(r，θ)对于许多问题更为方便。r是点到原点的距离，也就是极半径；θ是点与x正半轴正方向成的角度，也称为极角。因此，方程可以表示为(r，θ)，其中r是极径，θ是极角。 2. 如何推导圆的极坐标方程？我们都知道，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。在极坐标系中，我们希望能够用(r，θ)来表示点，因此需要将该式用极坐标表示。为了推导方程，我们首先观察圆。圆心到圆上任意一点之间都是半径，因此我们可以得到： r²=x²+y² 然后，我们可以将x和y用极坐标来表示，有： x=r*cosθ

y=r*sinθ 将其代入上面的式子，得到： r²=r²*cos²θ+r²*sin²θ 然后，我们就可以将r²约掉，得到： 1=cos²θ+sin²θ 这个方程等同于： 1=sin²θ+cos²θ 这个方程等同于： sin²θ+cos²θ=1 这就是我们熟知的三角恒等式！因此，我们可以得到： r²=x²+y² x=r*cosθ y=r*sinθ 这就是圆的极坐标方程，其中，r表示极径，θ表示极角。 3. 总结

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程 $f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形： 1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。 2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为 $\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。 3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。 4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=- 2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angle COM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。圆的极坐标方程为一种特殊的极坐标方程，可以用来表示圆形。求圆心在极点且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(-2.sin(2π/6))是否在此圆上。

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心在点(r，0) ρ＝2r cos θ (－ π 2 ≤ θ< π 2 ) 圆心在点(r， π 2 ) ρ＝2r sin θ (0≤θ<π) 圆心在点(r，π) ρ＝－2r cos θ ( π 2 ≤θ< 3π 2 ) 圆心在点(r， 3π 2 ) ρ＝－2r sin θ (－π<θ≤0) (2)00|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.

1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( ) A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线 B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线 C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆 D ．以极点为圆心，半径为4的圆解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆． 2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C. 3．极坐标方程ρ＝cos ? ?? ??π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆解析：选D.ρ＝cos ? ????π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，所以ρ2 ＝22ρcos θ＋2 2ρsin θ，即x 2 ＋y 2＝ 22x ＋22 y . 化简整理得? ? ???x －242＋? ????y －242＝14，表示圆．选D. 4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1，所以面积S ＝πr 2 ＝π. 答案：π 圆的极坐标方程求圆心在C ? ????2， 3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点? ????－2，sin 5π6是否在这个圆上． [解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ， A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .

5. 圆的极坐标方程(教师版)

5 圆的极坐标方程学习目标： 1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形； 2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法. 学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程：一、课前准备阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题： 1．直角坐标系中，单位圆221x y +=在极坐标系中如何表示？答：1ρ= 2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？答：可以，可以表示为2ρ=. 二、新课导学：（一）新知： 1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O 设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ，（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=. （2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2a ρ θ= ，即 2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. （3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中， sin 2PBO a ρ ∠= ，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. 按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：

图5 图4 （4）图4中，设直线OC 与圆交于点A ，则32 POA πθ∠=-，在Rt POA ∆中，3cos()22a ρπθ- =，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则POA πθ∠=-，在Rt POA ∆中，cos()ρ πθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程. （二）典型例题：【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程．【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图，在OPM ∆中， ||OP ρ=，||PM R =，||OM a =，POM θ∠=，由余弦定理可得： 222 cos 2a R a ρθρ +-=，即 0cos 22 2 2 =-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程. 动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦OP 的中点为(,)M ρθ，连MA ，在Rt AMO ∆中，cos 4 ρ θ= ，所以，所求方程为 4cos ρθ=. 【例2】（1）化在直角坐标方程082 2=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3 cos(6π θρ-= 为直角坐标方程. 【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθ ρθ =⎧⎨=⎩，得： 2 2 22cos sin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=. (2) 将)3 cos(6πθρ-=展开，得6cos cos 6sin sin 33 ππρθθ=+，

圆的极坐标方程推导过程

圆的极坐标方程推导过程在极坐标系中，圆的方程是一个经典的问题。本文将介绍圆的极坐标方程的推导过程，让读者了解如何利用极坐标系来描述圆。一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系，其中每个点由它到原点的距离和与正半轴的夹角表示。在极坐标系中，我们通常使用r表示距离，θ表示夹角。二、圆的定义圆是一个平面上的几何图形，由所有与一定点（圆心）的距离相等的点组成。圆的半径是从圆心到圆周上的任何点的距离。三、圆的极坐标方程在极坐标系中，圆的极坐标方程可以用一个参数方程来表示： x = r cosθ y = r sinθ 其中，r是圆心到任意一点P的距离，θ是圆心到点P的连线与x轴的夹角。将x和y代入x+y=r，得到圆的极坐标方程： r = x + y r = (r cosθ) + (r sinθ) r = r cosθ + r sinθ r = r (cosθ + sinθ) r = r

这个方程表明，对于任意的θ，r都等于常数r，它表示了圆的半径r。四、圆的极坐标方程的图形圆的极坐标方程r = r在极坐标系中表示了一个半径为r的圆。当θ从0到2π变化时，圆的每个点都会被覆盖一次，从而形成了一个完整的圆。五、圆的极坐标方程的应用圆的极坐标方程可以用于描述圆的几何特征，如半径、周长和面积等。例如，圆的面积公式为πr，其中r是圆的半径。在极坐标系中，圆的面积可以表示为： A = ∫(0,2π) 1/2 r dθ = 1/2 r ∫(0,2π) dθ = 1/2 r [θ] = 1/2 r (2π) = πr 这个结果与我们在笛卡尔坐标系中得到的结果相同。六、结论圆的极坐标方程r = r可以用于描述圆的几何特征，如半径、周长和面积等。在极坐标系中，圆的半径是常数r，圆的周长是2πr，圆的面积是πr。这个方程还可以用于描述圆的一些变形，如椭圆和双曲线等。通过极坐标系的应用，我们可以更好地理解和描述圆的几何特征。

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程圆是一种常见的几何形状，古希腊几何学家轩辕有一句名言：“天下一切都是圆”，由此可见，圆是数学研究中一个重要的几何形状。历史上几何学家们就圆做了很多研究，其中，圆的极坐标方程也是许多几何学家研究的重点。极坐标是一种坐标系统，它由半径（r）和极角（0）两个变量组成。极坐标也称极坐标系，它的坐标原点（零点）是中心点，它以圆心为原点，以圆上点的极角为坐标值，半径为另一坐标值，可以表示端点的坐标。关于极坐标的种类和特点，在此不做过多介绍，以下主要介绍圆的极坐标方程。圆的极坐标方程是指圆的圆心坐标为（x0，y0），半径为R，极角为θ，极坐标方程就是： x = x0 + R*cosθ y = y0 + R*sinθ 图1 为它的图像，可以看出，该方程为参数方程，可以由0到2π这一段范围内的θ值来确定一条直线，形成一个圆。图1：圆的极坐标方程的图像由于极坐标能够正确描绘圆，因此，圆的极坐标方程在几何学研究中发挥了重要作用。比如，它可以用来计算一个圆上点的坐标，可以用来画出一个圆，也可以用来解决几何问题，如三角形等。此外，圆的极坐标方程可以用来求解曲线方程，它可以用来研究各种曲线的特性。例如，参数曲线r=g(θ)是一种极坐标曲线，由

r=r0+r1*cosθ和r=r0+r1*sinθ组成，因此可以利用圆的极坐标方程来求解它。另外，圆的极坐标方程在数学模型中也有重要的作用。例如，当我们需要求解圆周上点的坐标时，可以利用圆的极坐标方程来解决问题，而不必每个点都计算到圆的坐标系统中，从而提高效率。因此，可以说，圆的极坐标方程在几何学、模型分析和数学模型等方面都发挥了重要作用。圆的极坐标方程是几何学研究中重要的成果，它更深入地领略了圆的形状，为解决几何问题提供了便利。

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程以《圆的极坐标方程》为标题，在数学中，圆的极坐标方程是用来描述圆形的一种方式。圆的极坐标方程可以用来描述多种图形，比如圆，椭圆，抛物线，双曲线等等。换句话说，圆的极坐标方程可以用来描述常见的圆类图形，用它可以很方便地画出圆形的图形。下面介绍圆的极坐标方程的基本概念。极坐标系是一种以原点为中心的坐标系，由它来描述某一直角坐标系中的每个点。它的坐标系外是一个由极轴和极线组成的直角坐标系，而它的坐标系内是一个由极圆和极线组成的极坐标系。在极坐标系中，每个点都有一个极坐标元组（ρ,θ），其中ρ表示极轴到这个点的距离，θ表示极线上极轴到这个点的角度。圆的极坐标方程是： ρ = a 其中a是圆的半径，也就是圆的半径与极轴的距离，ρ表示极轴到该点的距离。从极坐标方程可以看出，圆的极坐标方程的解有两个，一个是ρ=极轴到圆的距离，另一个是θ=任意角度，这两个解表明了圆的极坐标方程，结合极坐标系，这两个解也就完全描述了一个圆。圆的极坐标方程可以用不同的方式来描述。它可以用经典坐标方程： (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 来表示，其中a,b是圆心坐标，r是圆的半径；它也可以用简化

后的弧度方程： r = a + b cosθ 来表示，其中a,b是弧度方程的两个参数。以上就是圆的极坐标方程的基本概念介绍，以及它的表达方式。掌握了圆的极坐标方程，可以方便地画出圆形图形，也能够更加精确地描述曲线或椭圆形图形。圆的极坐标方程在实际应用中也有着广泛的用途。它可以用来设计复杂的图表，分析数据集，绘制轨迹等等。它的应用场景很多，它甚至可以有助于我们进行复杂的数字图像处理。圆的极坐标方程可以说是数学中一个重要的概念，它已经广泛地应用在实际的科学计算和工程设计中，它的概念清晰，应用方便，因此，它一定会给我们带来更多的方便和帮助。

极坐标方程典例剖析

极坐标方程典例剖析山东平邑县第二中学（273300）胡少达一、根据条件求直线或圆的极坐标方程求曲线的极坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似，先建立极坐标系，并设),(θρM 是所求方程的曲线上任意一点，然后找点),(θρM 在曲线上运动时所满足的几何条件（这个几何条件常常是在以θρ,为一边和一个内角的三角形中得到的），并根据这个几何条件得到关于θρ,的一个等式，最后通过化简这个等式得到所求曲线的极坐标方程。例1、自极点O 向直线l 作垂线，垂足为)4,2(π M ，求直线的极坐标方程。分析：由曲线方程的定义和求曲线极坐标方程的基本步骤，只需设),(θρP 是直线上的任意一点，求出θρ,满足的关系式，验证即可。解：如图，设直线l 上任一点),(θρP ，在Rt △OMP 中，2,==OM OP ρ， 4π θ-=∠MOP （或θπ -4），则2)4cos(=-π θρ. 点评：直接求解，建立θρ,的关系式，一般是将θρ,放在一个三角形中，可借助正、余弦定理，特别地，在直角三角形中，求解变得更容易。二、极坐标与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化是重点内容之一，互化时一定要熟悉互化的公式并注意互化的条件。例2、在极坐标系中，点)611,2(πP 到直线1)6 sin(=-πθρ的距离是_____. 分析：把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式求解。解：把点P 的极坐标化为直角坐标是)1,3(-，由1cos 2 sin 23)6sin(=-=-θρθρπ θρ，可得直线的直角坐标方程是023=+-y x ，所以点P 到直线的距离.13)3(1| 2)1(33|22+=-++-⨯-=d 点评：在极坐标系中求距离时，常把极坐标（方程）化为直角坐标（方程）求解，这是为了利用直角坐标系中的距离公式。常见的求长度问题有：求曲线的弦长，切线长等，一般也要转化后在直角坐标系中求解。例3、点)2,1(π关于直线2 1cos =θρ的对称点的极坐标为______.

圆的方程转化为极坐标方程

圆的方程转化为极坐标方程一、引言在数学中，圆是一个非常重要且常见的几何形状。而圆的方程是描述圆的数学表达式，可以用不同的坐标系来表示。其中，极坐标系是一种常用的坐标系，它以极径和极角来确定一个点的位置。本文将探讨如何将圆的方程转化为极坐标方程，通过对圆的性质和极坐标系的了解，我们可以更深入地理解圆的本质和特点。二、圆的方程及性质圆可以由其圆心和半径来确定，常用的圆的方程有两种形式：一般方程和标准方程。 2.1 一般方程圆的一般方程可以表示为：$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 ，其中(a,b)为圆心的坐标，r$为圆的半径。 2.2 标准方程圆的标准方程可以表示为：$ x^2 + y^2 = r^2 ，其中圆心位于原点(0,0)$。圆具有以下性质： •圆上的任意一点到圆心的距离等于圆的半径。 •圆上的任意一条弦都等于圆心到该弦的垂直距离的两倍。 •圆上的任意一条切线都垂直于半径。 •圆上的任意两条弦的垂直距离相等时，它们的长度相等。三、极坐标系介绍极坐标系是一种以极径和极角来确定点的位置的坐标系。在极坐标系中，点的位置由(r,θ)表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与极轴的夹角。

3.1 极径和极角极径r是点到原点的距离，可以是正值或零。极角θ是点与极轴的夹角，可以是0到 2π之间的任意实数。 3.2 极坐标系转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一定的转换关系： •$x = r \cosθ$ •$y = r \sinθ$ 四、圆的极坐标方程推导现在我们来推导圆的极坐标方程。假设有一个圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，我们将其转化为极坐标系。 4.1 将x和y用极坐标表示根据极坐标系的转换关系，将x和y用极坐标(r,θ)表示： •$x = r \cosθ$ •$y = r \sinθ$ 4.2 将圆的方程代入将x和y的极坐标表示代入圆的方程(x−a)2+(y−b)2=r2中： $ (r -a)^2 + (r -b)^2 = r^2 $ 4.3 化简方程将方程进行展开和化简，得到： $ r^2 ^2θ - 2ar + a^2 + r^2 ^2θ - 2br + b^2 = r^2 $ 化简为： $ r^2 - 2ar + a^2 + r^2 - 2br + b^2 = r^2 $ 再化简为： $ - 2ar - 2br + a^2 + b^2 = 0 $

极坐标转化方法及其步骤

极坐标转化方法及其步骤本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

转化方法及其步骤：第一步：把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式第二步：把cosθ化成x/ρ，把sinθ化成y/ρ；或者把ρcosθ化成x，把ρsinθ化成y 第三步：把ρ换成（根号下x2＋y2）；或将其平方变成 ρ2，再变成x2＋y2 第四步：把所得方程整理成让人心里舒服的形式。例：把 ρ＝2cosθ化成直角坐标方程。解：将ρ＝2cosθ等号两边同时乘以ρ，得到：ρ2＝2ρcosθ 把ρ2用x2＋y2代替，把ρcosθ用x代替，得到：x2＋y2＝2x 再整理一步，即可得到所求方程为：（x－1）^2＋y2＝1 这是一个圆，圆心在点（1，0），半径为1

极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP 的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ＜2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ＋2nπ），（－ρ，θ＋（2n＋1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r

1.4.2圆心在点处且过极心的圆

1.4.2圆心在⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛2, πa 处且过极点的圆学习目标：1、掌握圆心在⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛2, πa 处且过极点的圆的极坐标方程， 2、体会圆的极坐标方程的推出过程，感受极坐标系中求曲线方程的方法。学习重点：圆的极坐标方程及其推出过程学习难点：圆的极坐标方程的推出过程探究一：求圆心在⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆的极坐标方程. 思考1：上述关系式对πθπ ≤<2 成立吗？试作图说明. 思考2：该圆的极坐标方程能否利用直角坐标方程得到？如何求解. 例1：写出圆心在⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,2π处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程. 练习：在极坐标系中，以⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,2πa 为圆心，2a 为半径的圆的方程.

例2：写出圆心在点（-1，1）处且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化成极坐标方程. 三、课堂练习： 1、利用圆的极坐标方程的形式直接写出下列过极点的圆的方程： (1)圆心极坐标（2.0）； (2)圆心极坐标⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,1π； (3)圆心直角坐标（3，0）； (4)圆心直角坐标（0，3）. 2、说明下列极坐标方程所表示的曲线. ;cos )1(θρ= ;cos 4)2(θρ= ;sin )3(θρ= ;sin 9)4(θρ= 3、在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是（） ),1.(πA )2,2.(πB )2 ,1.(π C )0,1.(D 4、极坐标方程分别为θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（） 3.A 2.B 1.C 2 2.D 四、能力提升： 1、在极坐标系中，已知圆C 的圆心为C ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,3π，半径为r ＝3.求圆C 的极坐标方程. 2、在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛6,2πC ，半径为1，求圆C 的极坐标方程. 五、课堂小结 1. 2.求曲线的极坐标方程解题思路：涉及长度与角度的问题，实质是解直角或斜三角形问题。

5.圆的极坐标方程

三简单曲线的极坐标方程教学目标： 1、.理解极坐标方程的意义 2、掌握圆的极坐标方程及直线的极坐标方程 3、会求圆及直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化教学重点： 1、极坐标方程的意义 2、理解圆及直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化教学难点：极坐标方程的意义一、复习引入： 1.设M 是平面内任一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则 ①极坐标化直角坐标x= ,y= ; ②直角坐标化极坐标=2ρ ，=θtan 2.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程0),(=y x f 表示，曲线与方程满足如下关系：（1）曲线C 上的点的都是方程。（2）以方程0),(=y x f 的解为坐标的点。 3.问题：在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程0),(=θρf 表示？二、讲授新课： 1、圆的极坐标方程探究：如图，在极坐标系下，半径为a 的圆的圆心坐标为C (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？ 1.极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上的极坐标中有一个满足方程 0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点，那么方程0 ),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。 y M x ρ N θ

2.求曲线极坐标方程的步骤： (1)建立适当的 (2)找出曲线上的动点),(θρP 的 (3)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。说明：求曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件，常用解三角形的知识来建立ρ和θ的关系，注意ρ和θ的取值范围与题设条件。例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？变式练习：求下列圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；（2）圆心为),2(πC ，半径为2的圆的极坐标方程. （3）圆心在)4 ,1(π A ，半径为1的圆；（4）圆心在)2 3, (π a B ，半径为a 的圆。 2、直线的极坐标方程探究：直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是 4 π ，如何用极坐标方程表示直线l ？思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？变式1：求过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程变式2：求过点2,3 p 骣琪琪桫，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程