线性代数课后习题答案周勇

线性代数课后习题答案周勇

线性代数课后习题答案周勇

线性代数是一门重要的数学学科，它在各个领域都有广泛的应用。学习线性代数需要理解和掌握其中的概念和方法，而练习习题则是巩固知识和提高能力的重要途径。本文将为大家提供一些线性代数课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解这门学科。

1. 矩阵的秩和零空间

题目：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的秩和零空间。

解答：首先，我们可以通过高斯消元法将矩阵A化为行阶梯形式。经过计算得到：

[1 2 3; 0 -3 -6; 0 0 0]

从中可以看出，矩阵A的主元列为{1, 2}，因此矩阵A的秩为2。

接下来，我们需要求解矩阵A的零空间。由于矩阵A的秩为2，所以矩阵A的零空间的维数为3-2=1。我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来找到矩阵A的零空间。将矩阵A化为增广矩阵形式：

[1 2 3 0; 4 5 6 0; 7 8 9 0]

经过高斯消元法的计算，得到矩阵的行阶梯形式为：

[1 2 3 0; 0 -3 -6 0; 0 0 0 0]

从中可以看出，矩阵A的自由变量为x3，所以矩阵A的零空间可以表示为：x = [-2x3; x3; 1]

2. 特征值和特征向量

题目：给定矩阵B = [2 1; 1 2]，求矩阵B的特征值和特征向量。

解答：首先，我们需要求解矩阵B的特征值。通过求解特征方程det(B-λI)=0，

可以得到特征值的表达式：

(2-λ)(2-λ) - 1*1 = 0

化简得到特征值的方程为(2-λ)² - 1 = 0，解这个方程可以得到两个特征值λ1=1

和λ2=3。

接下来，我们需要求解矩阵B的特征向量。将特征值代入特征方程(B-λI)x=0中，可以得到特征向量的表达式。对于特征值λ1=1，我们有：

[1-1 1; 1-1 1]x = 0

化简得到方程[-1 1; 0 0]x = 0，解这个方程可以得到特征向量x1=[1; 1]。

对于特征值λ2=3，我们有：

[2-3 1; 1-3 1]x = 0

化简得到方程[-1 1; -2 2]x = 0，解这个方程可以得到特征向量x2=[1; -1]。

综上所述，矩阵B的特征值为λ1=1和λ2=3，对应的特征向量分别为x1=[1; 1]

和x2=[1; -1]。

通过以上两个例题，我们可以看到线性代数课后习题的答案并不是简单的计算

结果，而是需要运用相关的知识和方法进行推导和求解。通过练习习题，我们

可以加深对线性代数的理解，提高解决实际问题的能力。希望以上答案能够帮

助大家更好地掌握线性代数的知识。