线性代数第五版答案(完整版)
线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2
221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
解 逆序数为2)
1(-n n :
3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)
7 2, 7 4, 7 6(3个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.
解逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)t a11a23a3r a4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是
(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
(1)71100251020214
214; 解 71
1
00251020214214
100142310
20211021473234
-----======c c c c 34)1(1431022110
14+-⨯---= 143102211014--=014
171720010
9932321
1=-++======c c c c .
(2)2605232112131412-; 解 26
05232112131412
-2605
3212213041224--=====c c 0
41203212213
041224--=====r r 00
000032122130
412
14=--=====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e
c b adf ---=
abcdef adfbce 41
111111
11=---=.
(4)d
c b a 100110011001---. 解
d c b a 100110011001---d
c b a
ab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+0
1011123-+-++=====cd c ad
a a
b d
c c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:
(1)111222
2b b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz
ay y x by ax x z bx
az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y x z x
z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
22222222
2222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明
2
222222222222
222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5
232125232125232125
232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)
02
212221222122
2122222=++++=d d c c b b a a . (4)4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a )
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a
d a c a b ---------=
)
()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=
)
)(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=
)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)1
22
1
1 000 0
0 10
00 01a x a a a a x x x
n n n
+⋅
⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明.
当n =2时, 2121
221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有 1
1
1
00 100 01
)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x
x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得
n nn
n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以 n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 221
1
111
111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-
⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a D D n n n n 2
)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.
同理可证 nn
n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112
)1(2D D n n T
n n 2)
1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22
)1(3)1()
1()
1()1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a
a D n 1
1⋅
⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素
都是0; 解
a
a a a a D n 0 0010 000 00 00
0 00
10 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )
1()1(1
0 0
0 0
0 00
0 001
0 000)1(-⨯-+⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a
n n n n
n a a a
+⋅
⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1
)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a
a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 a
x x a a
x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=00
0 0 00 0
, 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 0
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1
11 1 )( )1()( )1(1
1
11⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n
n n n ; 解 根据第6题结果, 有 n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11 11)1(1
112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1
12
1
)1(2
)1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=1
1)(j i n j i .
(4)n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112; 解
n n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112(按第1行展开) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(.
而 11111
11
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0
4321 4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0
432
1
1 11111 11111 1111
1 1111 2132⋅
⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r
1
5242321 0 22210 02210 0021
0 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.
(6)n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n
≠0.
解
n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111 1
12
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10
0001 000 100 0
100 0100 00
113322
1
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
00011 000 00 110
00 011
00 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n
n n a a a a a a a a
∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++0112325322
4254
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为 14211
2
1
3
5132
41211
111
-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 28411
2035122
4121
1
15
12-=-----=D , 426110135
232
42211511
3-=----=D , 1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 111==
D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D
D
x .
(2)⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
1
000
6510006510
0651
00065==D , 1507510016510006510
00650
000611==D , 11455101065100065000
06010001
52-==D , 70351
1
6500006010
00051
001653==D , 3955
1
60100005100
0651010654-==D , 2121
10000510006510
0651
100655==D , 所以
66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 665
3954-=x , 6652124=x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非
零解？
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0, 得 μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有
非零解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,
故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,
⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=321332123
11542322y y y x y y y x y y x ,
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010
201
3514232102z z z
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,
所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T
.
4. 计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=49635.
(2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(;
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛;
解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=6321
42. (4)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131210131
43110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131
210131
43110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101
B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43AB , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .
(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+52
22
52
22)(2B A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2914148,
但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=-1020
B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+9060
102052
22))((B A B A ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-71
8243011148322B A ,
故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的:
线性代数第五版答案(全)
线性代数课后习题答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然 数 从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)
线性代数同济大学第五版课后习题答案
线性代数同济大学第五版课后习题答案 第五版线性代数同济版答案第一章行列式 1用对角法则计算下列三阶行列式 (1) 2011年？4？1？183 解决办法 2011年？4？1？183 2(4)3 0(1)(1)1 1 8 0 1 3 2(1)8 1(4)(1)24 8 16 4 4 (2) abcbcacab 解决办法 abcbcacab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111abc222abc (3) 111abc222abc解决方案 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a)b)c)c)a) xyx？yyx？yxx？yxy (4) 解决办法 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3 x3 3xy(x y)y3 x2 y x3 y3 x32(x3 y3) 根据自然数从小到大的标准顺序，找出下列排列的逆序数xyx？yyx？
yxx？yxy (1)1 2 3 4解的逆序数是0 (2)4 1 3 2 反向订单号是4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 逆解的数目是5 3 2 3 1 4 2 4 1，2 1 (4)2 4 1 3 逆解的个数是3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n )?1)解的逆序数为 2 3 2 (1) 5 2 5 4(2) 7 2 7 4 7 6(3) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n (6)13(2 n1)(2n)(2 N2)2解的逆序数是n(n 1) 3 2(1) 5 2 5 4 (2) (2 n1)2(2 n1)4(2 n1)6(2 n1)(2 N2)(n42(1) 6 2 6 4(2) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1) 3将包含因子a11a23的项写入四阶行列式以求解包含因子a11a23的项的一般形式是(1)ta11a23a3ra4s 当rs是2和4的排列时，有两个这样的排列，即24和42，因此包含因子a11a23的项分别是 (1)ta 11a 23 a 32 a 44(1)1a 11 a 23 a 32 a 44 a 11 a 23 a 32 a 44)11 (1)ta 11 a 23 a 34 a 42(1)2 a 11 a 23 a 34 a 42 a 11 a 23 a 34 a 42 4计算下列行列式
线性代数第五版答案(完整版)
线性代数第五版课后习题答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==01 1y x x ； (2) ???+=-=??? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，???? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ??
(2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 3213 3212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=??? ??,?????+-=+=+-=3233122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1 +…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，? ?? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2 = O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .
工程数学-线性代数第五版课后习题答案
第二章 矩阵及其运算 13. 已知线性变换: ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3 21332123211 3235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211 221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32 1423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3 21332123211 423736947x x x y x x x y x x x y . 3. 已知两个线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3 2133212311 542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3 23312211 323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z
⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3 21332123211 1610941236z z z x z z z x z z z x . 2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 1. 计算下列乘积: (1)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛123)321(;
线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ??==11111a b , ???? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ? ? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ? ??-==110111a b ? ? ?? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ? ? ?? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b 2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T ) T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1 A T B 1 B T (AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
《线性代数》练习题及答案
《线性代数》练习题及答案 一、单选题 1、若矩阵A与矩阵B相似，则两个矩阵的特征多项式(相同） 2、向量(1,2,3) 和(-1,-1,1)的关系为(正交) 3、向量(113)和(2.2.6)的关系为(线性相) 4、若方程组Ax=b的系数矩阵A的秩比其增广矩阵的秩小1,则方程组(无解) 5、若矩阵A与矩阵B合同是指存在可逆矩阵C使(A=cT BC ) 6、若矩阵A的行秩与列秩的关系为(相等) 7、若A为4x4矩阵且|A|=1，则|A4|= ( 1) 8、若A为nxn矩阵且|A|=3，则A为(可逆矩阵) 9、三个向量(1,0, 0),(L1,0),(2,2,0)的极大无关组元素个数为( 2 ) 参考答案:-32 11、非齐次线性方程组AX=B的解(可能不存在) 则A~'中第一行第二列元素为-1 13、线性方程组AX=0的基础解系的元素个数为 2 14、若5x5矩阵A的某2列线性相关，则|A|=(0 )
15、向量(-2, 0)对应的单位向量为(1,0) 16、的迹tr(A)= 5 17、若xTAX≥0,X≠0，则矩阵A称为（半正定矩阵） 矩阵B的第一行第一列元素为（-7 ） 19、向量(0,-1,1)与(37, 1, 1)的夹角为90 度 的最小特征值为（1 ） 21、若nxn矩阵A存在线性相关的行，则其秩小于（n） 22、二次型f(X)=xT4x<0,x≠O，则矩阵A称为（负定矩阵） 4、若A为4x4矩阵且|A|=1，则|A4|= (1 ) 5、向量(1，1，3)和(2，2，6)的关系为(线性相关) 矩阵A的伴随矩阵A"的第一行第一列元素为-5
则|A|=（- 3abc） 不同特征值个数为 2 15、若A为nxn矩阵，其秩为m
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案 第一部分选择题共28分 一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目 要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分; 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于 A. m+n B. -m+n C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ,则A-1等于 A. 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C. 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D. 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是 A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有 A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则 A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β 1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中 A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是 A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册(答案) x1 2x2 x3 x4 1 2．已知线性方程组2x2 2x3 6x4 2，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变 2x 3x 2x 9 24 1 换化为阶梯形、行最简形。 2 10 3．已知A ，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。 132 021 4．已知A 2 13 ，利用矩阵的初等变换，求A 1。 33 4 5117 A 1 132 3 6 4 1 10 1 1 ，AX 2X A，求X。 5．已知A 0 101
练习二 班级学号姓名1.选择题： 1）Am n的行阶梯形中只有前r（r＜m 且r＜n）行为非零行，则R(A)为（ C ）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n. 2）非零矩阵Am n（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为（D ） Em （A） 00 00 00 10 ；（B）；（C）；（D） 0E00000 m n m n m nm m n 3）方阵An的秩R(A)= n，则An必定不满足（D ）（A）An可逆；（B）An与E等价；（C）R(A) n；（D）存在B O,使AB O 4）An为奇异矩阵，下列的错误的是（C ） T （A）R(A) R(A)；（B）R(A) n；（C）A 0；（D）An不与单位阵E等价 3102 2. 已知矩阵A 1 12 1 ，求R(A)。 13 44
R(A)=2 1 23k 3.设A 12k 3 ，问k为何值时，可分别使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？ k 23 4.已知n阶方阵A，使A 2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。 练习三 班级学号姓名1．选择题： 1）当（D ）时，齐次线性方程组Am nx 0一定有非零解。 （A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n . 2）设A为n（≥2）阶方阵，且R(A)=n-1，1, 2是Ax 0的两个不同的解向量，k为任意常数，则Ax O的通解为（ C ）（A）k 1；（B）k 2；（C）k( 1 2)；（D）k( 1 2). 2．填空题: 1）设4阶方阵A ( 1 2 3 4)，且1 2 3 4，则方程组Ax 的一个解 向量为(1 11 1)。 2）设方程组A(n 1) nx b有解，则其增广矩阵的行列式Ab x1 x2 a1 x x a 232 3）若有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件x x a3 34 x4 x1
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒ ∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数第四章习题答案
习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113 (2) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---122212221 (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022 (4) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--201034011 (5) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011102124 (6)⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛----533242 111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ， 所以A 的特征值为4,221==λλ． 对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)． 对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解 系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． （2）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ． 对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ． 对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
线性代数练习册附答案
姓名班级学号 第1章矩阵 习题 1.写出下列从变量 x, y 到变量 x1, y1的线性变换的系数矩阵： x1x x1x cos y sin (1)；(2) x sin ycos y10y1 2.( 通路矩阵 ) a 省两个城市 1 2 和b省三个城市b1 2 3的交通联结情况如图所示，每条线a ,a,b ,b 上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 4。 b1 a1。 3 1。 b2 a2。 2 2。 b3 111123 3.设Α11 1 ，B124，求 3AB- 2A和A T B. 111051 4.计算 2 2 11 (1) 3 1 0 0 1 2
a 11a 12b1x (2) (x, y, 1) a12a 22b2y b1 b 2c1 x1 2 y1y3y13z1z2 5.已知两个线性变换x22y13y 2 2 y3,y22z1z3, 写出它们的矩阵表 x34y1y2 5 y3y3z23z3 示式 ,并求从 z1 , z2 , z3到 x1 , x2 , x3的线性变换.
姓名班级学号 6.设0 m1 m- 1 +,+ a m，A是n阶方阵，定义f (A)= a0m1m- 1m E. f (x)= a x + a x A + a A+,+ a 当 f (x)=x2- 5x+3，A21时，求 f (A). 3 3 7.举出反例说明下列命题是错误的. 2 (1) 若A=O，则A=O. (2) 若A2= A，则A= O或A= E. .
7.设方阵 A 满足 A2- 3A- 2E =O，证明 A 及 A- 2E 都可逆，并用 A 分别表示出它们的逆矩阵． 8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵： 1 2 31 (1)A2 4 62 1 231
线性代数第一章习题答案
习 题 1-1 1．计算下列二阶行列式： （1） x x 1 1； （2） α αα αsin cos cos sin -． 解 （1） () 111 12 -=-= x x x x ． （2） 1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-ααα α α α． 2．计算下列三阶行列式： （1）121223 1 12 --； （2）0 000 0d c b a ； （3）22 2 111 c b a c b a ； （4）c b a b a a c b a b a a c b a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++= 3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-． 3．证明下列等式： =33 3231 232221 13 1211a a a a a a a a a 33 32 2322 11a a a a a 33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 证明 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= )()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---= 33 32 232211 a a a a a =33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 4．用行列式解下列方程组： （1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1 2361 32321 321321x x x x x x x x x ． 解 （1）74334== D ，246351==D ，96 35 42==D ，
线性代数教材答案
第二章 习题2-2 4. 123412341234 ()12340010 0100(1) (1)00011000 N j j j j j j j j j j j j a a a a = -∑ 求出代数式中的非零项， 一般项为12341234j j j j a a a a ，只有当12343,2,4,1j j j j ====时，123412340j j j j a a a a ≠， 所以 123412341234 ()(3241)12340010 0100(1)(1)1111100011000 N j j j j N j j j j j j j j a a a a = -=-⨯⨯⨯=∑ 。 123412341234 1 11 1 ()1234222 2 0000(2) (1)000 N j j j j j j j j j j j j a b c d a a a a a b c d =-∑ ， 对一般项12341234j j j j a a a a 只有当 12341,2,3,4j j j j ====或者 12341,4,3,2;j j j j ====或者 12343,2,1,4;j j j j ====或者12343,4,1,2j j j j ====时，123412340j j j j a a a a ≠， 所以 1 11 1 (1234)(3214)11221122222 2 00 00(1)(1)000 N N a b c d a c b d b c a d a b c d =-+- (1432)(3412)11221122(1)(1)N N a d b c b d a c +-+-=1122a c b d -1122b c a d +1122a d b c -1122b d a c 121212 (1)() ((1)21) 2 12000100 20 (3) (1) (1) 12(1) ! 0100000 n n n n n N j j j N n n j j nj j j j a a a n n n n --=-=-⨯⨯⨯=--∑ 123451234512345 111213141521 22232425()31 3212345414251 52 (4)000(1)0000 N j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑ . 找非零项。当31j =时，45,1j j ≠，假设42j =，则51,2j ≠，则550j a =，即
线性代数练习册-答案
第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式与n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 〔1〕 23112 =； 〔2〕 cos sin 1sin cos θθθ θ -=； 〔3〕 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++112211221122 1122a a a b b a b b 1221 122112211221a a a b b a b b 〔4〕 11121112 21222122 a a b b a a b b + 1122 1122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 〔1〕103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a 〔3〕a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： 〔1〕3214； 〔2〕614235. 123t 112217t 〔3〕() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n
其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式： 〔1〕 0001 002003004000(4321) (1) 2424 〔2〕 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd