[高考数学]高考数学函数典型例题

?0

31．（本小题满分14分）

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处

取得极小值m-1(m≠0)．设f(x)=g(x) x．

（1）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（2）k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点．

32．（20XX年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x∈D,使得当x∈D且x>x时,总有

00

?0

?,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:

①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) .

年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。

2

x 2 +1 xlnx+1 2x 2

x lnx x+1

其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是(

)

A. ①④

B. ②③

C.②④

D.③④

33.

(20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任

意

3 x

x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m )

2 m

恒成立，则实数 m 的取值范围是

。

34 ．（ 20XX

? 2

?1, x < 0

f (1- x 2 )> f ( 2x 的

x 的范围是__▲___。

35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线

(梯形的周长） 梯形的面积

36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 .

（Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；

（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

(x ), f (x ) > f (x ) ? ?

37（20XX 年高考江苏卷试题 20）（本小题满分 16 分）

设 f ( x ) 是定义在区间 (1,+∞) 上的函数，其导函数为 f '( x ) 。如果存在实数 a 和函数

h ( x ) ，其中 h ( x ) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h ( x ) >0，使得 f '( x ) = h( x )( x 2 - ax + 1) ，则称

函数 f ( x ) 具有性质 P(a) 。

(1)设函数 f ( x ) = ln x + b + 2

x + 1

( x > 1) ，其中 b 为实数。

(i)求证：函数 f ( x ) 具有性质 P(b ) ； (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间。

(2)已知函数 g ( x ) 具有性质 P(2) 。给定 x , x ∈ (1,+∞), x < x , 设 m 为实数，

1 2

1

2

α = mx + (1 - m ) x ， β = (1 - m ) x + mx ，且 α > 1, β > 1 ，

1 2

1

2

若| g (α ) - g (β ) |<| g ( x ) - g ( x ) |，求 m 的取值范围。

1 2

38. (20XX 年全国高考宁夏卷 21）（本小题满分 12 分）

设函数 f ( x ) = e x - 1 - x - ax 2 。

（1） 若 a = 0 ，求 f ( x ) 的单调区间；

（2） 若当 x ≥ 0 时 f ( x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围

39.（江苏卷 20）若 f (x ) = 3

x - p 1

1

(x ), f (x ) ≤ f (x ) (x ) = ?? f 1

且 f

1 2 ? f 2

1

2

， f

2

(x ) = 2 3 x - p 2

， x ∈ R, p , p 为常数，

1 2

（Ⅰ）求 f (x ) = f 1

(x ) 对所有实数成立的充要条件（用 p , p 1

2 表示）；

（Ⅱ）设 a, b 为两实数， a < b 且 p , p

1

2

(a, b ),若 f (a ) = f (b )

已知函数 f (x ) =

1

） （Ⅱ）设 x 为 f ( x ) 的一个极值点，证明[ f ( x )]2

=

x

1 + x

2 < a

求证： f (x )在区间 [a, b ]上的单调增区间的长度和为 b - a

（闭区间 [m , n ]的长度定义为

2

n - m ）．

40.（江西卷 22 ．（本

小题满分 14 分）

1

ax + +

1 + x 1 + a

ax + 8

， x ∈ (0, + ∞ )．

(1) ．当 a = 8 时，求 f (x )的单调区间；

(2) ．对任意正数 a ，证明：1 < f (x ) < 2 ．

41.（天津）设函数 f ( x ) = x sin x ( x ∈ R) .

（Ⅰ）证明 f ( x + 2k π ) - f ( x ) = 2k π sin x ,其中为 k 为整数；

0 4 0

2

；

（Ⅲ）设 f ( x ) 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a , a , , a , , 1 2 n

证明

π

n +1

- a < π (n = 1,2, ) 。 n

（2）已知： n ∈ N 且n ≥ 2 ，求证： + + + < ln n < 1 + + + 。

（1）已知： x ∈ (0 + ∞) ，求证 1 x + 1 1

< ln < ；

x + 1 x x

1 1 1 1 1

2 3 n 2 n - 1

1 1

（1）令1 + = t ，由 x>0，∴t>1， x =

x t - 1

1

原不等式等价于1 - < ln t < t - 1

t

令 f(t)=t-1-lnt ，

1 ∵ f '(t ) = 1 - 当 t ∈ (1,+∞) 时，有 f '(t ) > 0 ，∴函数 f(t)在 t ∈ (1,+∞) 递增

t

∴f(t)>f(1)

即 t-1

另令 g (t ) = ln t - 1 + 1 ，则有 g '(t ) = t

t - 1

t 2 > 0

∴g(t)在 (1,+∞) 上递增，∴g(t)>g(1)=0

∴ ln t > 1 -

1

t

综上得 1 x + 1 1

< ln <

x + 1 x x

（2）由（1）令 x=1,2,……(n-1)并相加得

1 1 1

2

3 n 1 1 + + + < ln + ln + + ln < 1 + + + 2 3 n 1 2 n - 1 2 n - 1

1 1 1 1 1

即得 + + + < ln < 1 + + +

2 3 n 2 n - 1

利用导数求和

42 利用导数求和：

（1） ；

（2）

。

单调区间讨论

43 设 a > 0 ，求函数 f ( x ) =

x - ln( x + a)( x ∈ (0,+∞) 的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运

算能力.

t (

44 已知函数 f ( x ) = x - 2 x

+ a(2 - ln x),( a > 0) ，讨论 f ( x ) 的单调性.

分离常数

45 已知函数 f ( x ) = x ln x .（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小值；（Ⅱ）若对所有 x ≥ 1 都有 f ( x ) ≥ ax - 1 ，

求实数 a 的取值范围.

46 已知 f (x ) = x ln x, g (x ) = x 3 + ax 2 - x + 2

(Ⅰ)求函数 f (x )的单调区间;

(Ⅱ)求函数 f (x )在 [ , t + 2] t > 0)上的最小值;

(Ⅲ)对一切的 x ∈ (0,+∞ ), 2 f (x ) ≤ g ' (x )+ 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

．

47 已知函数 f ( x ) = ln x , g ( x ) =

调区间；

a x

(a > 0) ,设 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) （Ⅰ）求函数 F ( x ) 的单

（Ⅱ）若以函数 y = F ( x )( x ∈ (0,3]) 图像上任意一点 P( x , y ) 为切点的切线的斜率 k ≤

0 0

恒成立，求实数 a 的最小值；

1

2

48 设函数 f ( x ) = x 2 + b ln( x + 1) ，其中 b ≠ 0 ；

（Ⅰ）若 b = -12 ，求 f ( x ) 在 [1,3]的最小值；

（Ⅱ）如果 f ( x ) 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小的正整数 N ，使得当 n ≥ N 时，不等式 ln n + 1 n - 1 >

n n 3

恒成

立.

0 50 设函数 f ( x ) = x 3

- x 2

+ 6 x - a ．

（1）对于任意实数 x ， f '( x ) ≥ m 恒成立，求 m 的最

49 设函数 f ( x ) = - x ( x - a)2 （ x ∈ R ）

，其中 a ∈ R ．

（Ⅰ）当 a = 1 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；

（Ⅱ）当 a ≠ 0 时，求函数 f ( x ) 的极大值和极小值；

（Ⅲ）当 a > 3 时，证明存在 k ∈ [-1，]，使得不等式 f (k - cos x) ≥ f (k 2 - cos 2 x) 对

任意的 x ∈ R 恒成立．

9 2

大值；（2）若方程 f ( x ) = 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．

f '(a )

a - a

x

51 已知函数 f ( x ) = x 2 + x - 1 ， α , β 是方程 f (x)=0 的两个根 (α > β ) ， f '(x) 是 f (x)的导数；设

a = 1 ， a

1

n +1 = a - f (a n )

（n=1,2,……）

n n

（1）求 α , β 的值；

（2）证明：对任意的正整数 n ，都有 a >a ； n

（3）记 b = ln a n

-β n

n

（n=1,2,……），求数列{b n }的前 n 项和 S n 。

52 设 二 次 函 数 f ( x ) = x 2 + ax + a ， 方 程 f ( x)- = 0的 两 根 x 和 x 满 足

1

2

0 < x < x < 1 ．

1

2

（I ）求实数 a 的取值范围；

（II ）试比较 f (0) f (1)- f (0) 与 1 16

的大小．并说明理由．

．

53 设 f ( x ) 的 定 义 域 为 (0, + ∞) , f ( x ) 的 导 函 数 为 f '( x ) , 且 对 任 意 正 数 x 均 有

f '( x ) > f ( x)

，

x

(Ⅰ) 判断函数 F ( x ) =

f ( x )

x

在 (0, + ∞) 上的单调性；

(Ⅱ) 设 x ， x ∈ (0, + ∞) ，比较 f ( x ) + f ( x ) 与 f ( x + x ) 的大小，并证明你的结论；

1

2 1 2 1 2

（Ⅲ ）设 x ， x ，

x ∈ (0, + ∞) ， 若 n ≥ 2 ，比较 f ( x ) + f ( x ) +

+ f ( x ) 与

1

2

n

1 2

n

f ( x + x +

+ x ) 的大小，并证明你的结论.

1

2

n

54已知函数f(x)=1

x2+ln x. 2

（I）求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；

（II）求证：在区间[1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=（III）求证：[f'(x)]n－f'(x n)≥2n－2（n∈N*）.2

x3的图象的下方；3