基于动态规划的面试时间优化模型概述

2015年天津商业大学数学建模竞赛

承诺书

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、

电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨

论与赛题有关的问题。

我们明白，抄袭不人的成果是违反竞赛规则的, 假如引用不人的成

果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考

文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 参赛队员 (打印并签名) ：1. 叶恒扬

2. 施艺敏

3. 张一鸣

日期： 2015 年 4

月 27 日

基于动态规划的面试时刻优化模型

摘要

现代信息社会中，求职面试差不多成为就业的一个重要环节。科学有效的组织和安排不管对面试者依旧对组织单位、用人单位差不多上省时省力、节略成本的。因此如何紧凑、高效、省时地安排面试者按顺序完成面试具有重要研究意义。

本文综合运用运筹学、统计学、经济学、平面设计、计算机软件等知识，通过建立数学模型来求解面试的最短时刻，进一步规划最优的面试流程。

针对问题一，通过分析给定的面试时期顺序和不同意插队等特性，为满足面试时刻最短，建立了求解最短时刻的0-1非线性规划模型（见公式（1）），然后利用Lingo11.0程序（见附录1），求解出最短面试时刻为100分钟，最佳安排顺序为：3

→

→，同学最早9:40

→

4→

1

5

2

一起离开。接着利用AutoCAD2007分不绘制出同学和面试官的面试过程时刻图（见图1～2）。在此基础上，利用Excel2007制作出同学的

具风光试流程表：

针对问题二，同样满足给定的面试时期顺序、不同意插队和同学们约定一起离开等特性，关于未知的m名同学和n个时期构成的面试时刻矩阵)

(ij

A，以最后一名同学面试的结束时刻最早为目标函数，以不同意插队和同一面试官同一时期只能面试一个同学为约束条件，建立求解面试最短时刻的动态规划模型（见公式（15）），并由Matlab生成随机面试时刻矩阵

A（面试由5名同学和5时期组成）和56?A（面

5?

5

试由6名同学和5时期组成），由Lingo程序（见附录3、5）求解出最短面试时刻分不为101分钟和135分钟，比未经优化按原始顺序面试的110分钟和142分钟分不缩短9分钟和7分钟，接着运用AutoCAD2007分不绘制出优化前后的面试过程时刻图（见图3～13）。同样，运用Excel2007制作出同学的具风光试流程表(见表3～6)。优化后的面试时刻较未优化的面试时刻有所缩短，验证了模型的正确性，

也是对模型的检验。

针对问题三，基于第一问和第二问的建模思想，同时进一步考虑到同学和面试官的等待过程是对时刻成本的极大消耗，摒弃现有面试模式中同学同时到达再一起离开这一传统模式，建立不管是关于同学依旧面试官只要完成自己的面试便可离开的新模式，基于问题一的已知面试时刻矩阵，绘制出同学和面试官的面试时刻图（图1和图11），并分不绘制同学和面试官的具风光试时刻流程表（见表7～8），同学和面试官可依照时刻流程表提早安排行程和合理利用等待时刻，节约时刻见下表：

【关键字】面试时刻，排序，动态规划，优化模型，lingo软件

一、问题的提出与重述

现代信息社会中，求职面试差不多成为就业的一个重要环节。在面试的组织实施过程中，一个常见的差不多问题是如何紧凑、高效、省时地安排面试者按顺序完成面试，科学有效的组织和安排不管对面试者依旧对组织单位、用人单位差不多上省时省力、节略成本的。面试过程的安排无疑要依照面试者的差不多情况、用人单位的要求与面试设置项目有直接关系。比较典型的情况是用人单位或组织单位设置了几个时期的面试，参加面试的人员必须逐一完成各个时期的面试才能录用，另外由于面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个时期的面试时刻也有所不同。

对上述面试情况，作简化和抽象后可描述为以下数学问题。

问题一某高校毕业生中有5名同学到一家公司参加四个时期的面试。面试程序上，要求每个同学都必须从第一时期面试开始，然后进行第二时期面试,…，最后进行第四时期的面试，同时在任何一个时期5名同学的顺序是一样的,假定开始面试时刻是早晨8:00，建立的数学模型，求出他们最早离开公司的时刻。

问题二假设该高校毕业生中有m名同学到一家公司应聘，按类似于问题1的面试规则需要参加该公司人事部门组织的n个时期的面试。

由于m名同学的专业背景不同,因此每人在每个时期的面试时刻也不同，这m名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。请建立数学模型，以此讨论他们最早何时能离开该面试的公司?

问题三试设计一种更科学、更公平、更合理的面试模式，并给出理由。

二、差不多假设

1．假设面试者从一个时期到下一个时期参加面试的时刻间隔为0；2．假定面试者都能在8：00准时到达面试地点；

3．假定能够任意排列面试者的面试顺序；

4．假定面试者均会参加每个时期的面试，而且没有中途退场的情况出现；

5．假设参加面试的求职者差不多上平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关。

三、要紧变量的符号讲明

为了便于描述问题，本文将问题中涉及的要紧变量用下表符号来表示：

表一要紧变量符号讲明一览表

T完成全部面试所花费的最少时刻

x第i名同学参加第j时期面试的开始时刻

ij

t第i名同学参加第j时期面试需要的时刻

ij

x第k名同学参加第j时期面试的开始时刻

kj

y第k名同学是否排在第i名同学前面(1表示是，0表示否)

ik

问题是“面试如何安排才能尽早结束”，依照题意可知，因为面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个时期的面试时刻有所不同，如此就造成了按某种顺序进入各面试时期时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试时期，某个面试者会因为前面的面试者所需时刻长而等待，也可能会因为自己所需时刻短而提早完成。因此本问题实质上是求面试时刻总和的最小值问题，其中一个面试时刻总和确实是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时刻之和，如此的面试时刻总和的所有可能情况则取决于面试者的面试顺序的所有排列数。从而原问题可等价于:求所有可能的面试顺序中，使花费总时刻最少的那种顺序，并求出所花费的总时刻。

就问题一而言，实际上，那个问题确实是要安排5名面试者的面试顺序，使完成全部面试所花费的时刻最少。通过分析给定的面试时期顺序和不同意插队等特性，为满足面试时刻最短，可建立求解最短时刻的0-1非线性规划模型，然后利用lingo11.0程序求解出最短面试时刻以及最佳安排顺序。最后依照模型结果可得出同学最早离开面试地点的时刻。另外我们能够利用AutoCAD2007分不绘制出同学和面试官的面试过程时刻图，在此基础上，还能够利用Excel2007制作出同学的具风光试流程表；

就问题二而言，实际上确实是要安排m名面试者的面试顺序，使完成全部面试时期n所花费的时刻最少。同样满足给定的面试时期顺序、不同意插队和同学们约定一起离开等特性，我们能够尝试建立求解面试最短时刻的动态规划模型，并可由Matlab生成随机面试时刻矩阵，然后由Lingo程序求解出最短面试时刻，再运用AutoCAD2007分不绘制出优化前后的面试过程时刻图。同样，可运用Excel2007制作出同学的具风光试流程表。最后能够比较一下优化后的面试时刻较未优化

的面试时刻的改变，从而验证模型的正确性，也是对模型的检验。

就问题三而言，需要我们从科学性、公平性、合理性三个方面对面试模式进行改进。我们能够通过查阅资料了解当前面试模式中存在的普遍性不合理现象，然后针对不合理现象进行面试模式的改进。

五、模型的建立与求解

1. 问题一建模和求解

（1）模型建立

记ij t 为第i 名同学参加第j 时期面试需要的时刻(已知)，令ij x 表示

第i 名同学参加第j 时期面试的开始时刻(不妨记早上8：00面试开始为0时刻))4,3,2,1;5,4,3,2,1(==j i

T 为完成全部面试所花费的最少时刻。

则

有优化目标为：}}{{44i i i t x Max MinT +=

（1） 面试时刻矩阵：???????

? ??=?98111481510871016206182010520151345A 约束条件：

①对时刻先后次序进行约束，即每人只有参加完前一个时期的面试后才能进入下一个时期：1,+≤+j i ij ij x t x )3,2,1;5,4,3,2,1(==j i

（2）

②每个时期j 同一时刻只能面试1名同学，用0-1变量ik y 表示第k

名同学是否排在第i 名同学前面(1表示是，0表示否),

则： ik kj ij ij Ty x t x ≤-+,

);4,3,2,1;5,4,3,2,1,(k i j k i <==

（3）

)1(ik ij kj kj y T x t x -≤-+,);4,3,2,1;5,4,3,2,1,(k i j k i <==

（4） 能够将非线性的优化目标改写为如下线性优化目标： Min T

（5）

.

.t s 1313t x T +≥

（6）

2323t x T +≥

（7） 3333t x T +≥

（8）

4343t x T +≥

（9）

那个问题的0-1非线性规划模型[1]为:

Min T

（10）

..t s 1,+≤+j i ij ij x t x ，)2,1;4,3,2,1(==j i

（11）

ik kj ij ij Ty x t x ≤-+，);3,2,1;4,3,2,1,(k i j k i <==

（12）

)1(ik ij kj kj y T x t x -≤-+，);3,2,1;4,3,2,1,(k i j k i <==

（13）

T t x mj mj ≤+，)4,3,2,1(=i

（14）

（2）模型求解

依照以上所建的模型，我们可编出Lingo 程序（详见附录1），部分运行结果见图1（详细结果请见附录2）：

图1 问题一部分运行结果

（3）结果分析

由变量TMAX 的最优解值为100.00000，知最短时刻为100分钟，即5名同学一起离开公司的时刻是9：40。

由变量Y(S1,S2)的最优解值为0.000000，知student1排在student2之前，即1号同学排在2号同学之前。

由变量Y(S1,S3)的最优解值为0.000000，知student1排在student3之前，即1号同学排在3号同学之前。

由变量Y(S1,S4)的最优解值为1.000000，知student4排在student1之前，即4号同学排在1号同学之前。

由变量Y(S1,S5)的最优解值为0.000000，知student1排在student5之前，即1号同学排在5号同学之前。

由变量Y(S2,S3)的最优解值为0.000000，知student2排在student3之前，即2号同学排在3号同学之前。

由变量Y(S2,S4)的最优解值为1.000000，知student4排在student2之前，即4号同学排在2号同学之前。

由变量Y(S2,S5)的最优解值为0.000000，知student2排在student5之前，即2号同学排在5号同学之前。

由变量Y(S3,S4)的最优解值为1.000000，知student4排在student3之前，即4号同学排在3号同学之前。

由变量Y(S3,S5)的最优解值为1.000000，知student5排在student3之前，即5号同学排在3号同学之前。

由变量Y(S4,S5)的最优解值为0.000000，知student4排在

student5之前，即4号同学排在5号同学之前。

依照模型得出的结果，我们能够作出整个面试过程的图解如下：

图2 整风光试过程（同学）

图3 整风光试过程（面试官）

依照图解,我们可做出这五位同学的具风光试安排如下（不妨设8：00为0时刻）：

第一个进行面试的是4号同学。4号同学在0时刻开始秘书面试，用时8分钟；秘书处面试结束后去副主管处进行面试，用时10分钟；接着去主管处面试，用时15分钟；最后去经理处面试，用时8分钟；最终，4号同学在8：41完成整个面试过程。

第二个进行面试的是1号同学。1号同学在8分钟时刻开始秘书面试，用时13分钟，现在4号同学差不多完成副主管面试；1号同学直接进行副主管面试，用时15分钟，现在4号同学差不多完成主管面试；1号同学直接进行主管面试，用时20分钟，现在4号同学差不多完成经理面试；1号同学开始经理面试，用时5分钟；最终，1号同学在9:01完成整个面试过程。

第三个进行面试的是2号同学。2号同学在21分钟时刻开始秘书面试，用时10分钟完成秘书面试，现在1号同学还未完成副主管面试；2号同学等待5分钟后进行副主管面试，面试用时20分钟，现在1号同学刚好结束主管面试；2号同学直接进行主管面试，用时18分钟，

现在1号同学差不多完成经理面试；2号同学直接进行经理面试，用时6分钟。最终，2号同学在9:20完成整个面试过程。

第四个进行面试的是5号同学。5号同学在31分钟时刻开始秘书面试，用时14分钟完成秘书面试，现在2号同学还未完成副主管面试；5号等待11分钟后进行副主管面试，面试副主管用时11分钟，副主管面试完，2号同学还未完成主管面试；5号同学等待7分钟后开始主管面试，用时8分钟，现在2号同学差不多完成经理面试；5号同学直接进行经理面试，用时9分钟。最终，5号同学在9:31完成整个面试过程。

最后进行面试的是3号同学。3号同学在45分钟时刻开始秘书面试，用时20分钟完成秘书面试，现在5号同学还未完成副主管面试；3号同学等待2分钟后开始面试副主管，用时16分钟，现在5号同学差不多完成主管面试；3号同学直接开始主管面试，用时10分钟，现在5号同学差不多完成经理面试；3号同学直接进行经理面试，用时7分钟，最终，3号同学在9:40完成整个面试过程。

为了更加直观地表示整个面试过程的时刻安排，我们作出面试的时刻安排表如下：

表2 面试时刻安排表

至此，模型所得五位同学的面试顺序为3

→

→

4→

→，以此顺序

1

5

2

依次进行面试，总计用时最短，为100分钟，即这五位同学最早可在9:40离开公司。

2.问题二建模和求解

关于问题一，所建立的数学模型是针对具风光试者与面试时期的特定模型。而问题二需要针对面试者与面试时期不确定建立相应的数学模型，进而求出最短面试时刻。为此，借助问题一的建模思想，将模型进一步推广，假设有m名面试者，n个面试时期，建立求解最小面试时刻的数学模型。

（1）模型建立

实际上，那个问题确实是要安排m名面试者的面试顺序，使完成

全部面试所花费的时刻最少。

面试时刻矩阵：??????

? ?????????=mn m m n n t t t t t t t t t ij A 2

12222111211)( 优

化目标：}}{max {ij ij i

t x MinT += （15） 约束条件：

时刻先后次序约束(每人只有参加完前一个时期的面试后才能进入下一个时期) 1,+≤+j i ij ij x t x ),,2,1;m ,2,1(n j i ?=?=

（16）

每个时期j 同一时刻只能面试1名同学：用0-1变量ik y 表示第k

名同学是否排在第i 名同学前面(1表示是，0表示否)，则

ik kj ij ij Ty x t x ≤-+,);,,2,1;,,2,1,(k i n j m k i

（17）

)1(ik ij kj kj y T x t x -≤-+,);,,2,1;,,2,1,(k i n j m k i

（18）

能够将非线性的优化目标改写为如下线性优化目标：

Min

T （19）

s.t.

n n t x T 11+≥

（20） n n t x T 22+≥

（21）

……

mn mn t x T +≥

（22）

则那个问题的0-1非线性规划模型为：

Min T

（23）

s.t.

1,+≤+j i ij ij x t x ，)1,,2,1;,,2,1(-?=?=n j m i （24）

ik

kj ij ij Ty x t x ≤-+，);,,2,1;,,2,1,(k i n j m k i

)

1(ik ij kj kj y T x t x -≤-+，);,,2,1;,,2,1,(k i n j m k i

T

t x mj mj ≤+，),,2,1(m i ?=

（27）

（2）模型求解 依照模型，我们可编写LINGO 程序如下：

Model:

SETS:

! Person = 被面试者集合，Stage = 面试时期的集合;

Person/1..m/;

Stage/1..n/;

! T = 已知的面试所需要的时刻，X = 面试开始时刻;

PXS(Person,Stage): T, X;

! Y(i,k) = 1: k排在i前，0：否则;

PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;

ENDSETS

DATA:

T=

A;

ij

ENDDATA[obj] min =MAXT;

! MAXT是面试的最后结束时刻;

MAXT >= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage): x(i,j)+t(i,j));

!只有参加完前一个时期的面试后才能进入下一个时期;

@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)

! 同一时刻只能面试1名同学;

@for(Stage(j):

@for(PXP(i,k):[SORT1]x(i, j)+t(i, j)-x(k,j)

j)

);

@for(PXP: @bin(y));

End

具体情况中，只需将面试人数m、面试时期n以及初始时刻矩阵

A

ij 的具体值代入程序即可得最优面试顺序以及最短面试时刻。

（3）结果分析

依照题设要求，我们利用Excel随机生成5人面试5时期的面试时刻和6人面试5时期的面试时刻进行模型结果分析，并对随机产生的面试顺序得出的结果与模型计算得出的面试顺序所得的结果进行对比分析讲明，具体内容如下：

A.5名同学进行5个时期的面试。

面试程序上，每个同学都必须从第一时期面试开始，然后进行第二时期面试，…，最后进行第五时期的面试，同时在任何一个时期5名同学的顺序是一样的。