几何证明定理(最新整理)

高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。图形语言： I//：符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言：符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理：文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行

图形语言：符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二：作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：一 a 丄a 〕任符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另个平面图形语言：符号语言: a 1 P l AB : AB _丨作用：面面垂直=线面垂直五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.

初中数学所有几何证明定理

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初中数学所有几何证明定理证明题的思路很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

证明题要用到哪些原理？要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。

立体几何证明题定理推论汇总

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

高中立体几何常用结论、定理

立体几何中的定理、公理和常用结论一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

牛顿几何三大定理及证明

精品文档 . 牛顿三大定理牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。取BE中点P,BC 中点R,PN∩CE=Q R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线故牛顿定理1成立牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S △BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S △CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。证毕。牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。精品文档

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示：符号表示： 3. 线在面内符号表示：二．平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直线在平面内； ②用来说明平面是无限延展的公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两个平面是相交关系； ②用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点共面，多线共面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使，有且只有一个平面 ∥ 公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线平行

二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O （6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 b a b a∥∥ ? ? ? ? ? ? = ? = ? γ β γ α β α （7）面面平行的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直 βα β α ∥∥ a a ? ? ? ? ?

立体几何公理、定理推论汇总74915

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? I 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）

几何定理证明

几何定理证明 1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG 交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使 GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH， CF∥BH，又E为AC中点，EG为中位线，∴G为AH中点，又CF∥BH，∴FG为中位线，即F为AB中点，∴三条中线交于一点。再证明2倍问题证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求证：AG＝2GD 取CE的中点F，连接DF，则CE＝2EF＝AE ， ∴DF是△BCE的中位线， ∴GE∥DF ， AG／GD＝AE／EF＝2， ∴AG＝2GD 。证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等的三角形） △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∵D、E、F为中点 ∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF =S△ABC／2 ∴S△ADG=S△CEG=S△BEG 同理S△BDG=S△BEG ∴S△ABG=2S△BEG ∴AG／GE=2即AG=2GE 证明3：相似三角形 △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 ∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF/2 , BE=BC/2，又可由①知HF=BE/2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。 ∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．（1）求证：AB⊥CD；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点．（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．（1）求证：DM ⊥平面PBC ；（2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

初中数学所有几何证明定理

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

(完整版)高中立体几何八大定理

l m β α α b a 线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。图形语言：符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言： //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行

n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用：线线垂直?线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用：面面垂直?线面垂直

立体几何证明定理及性质总结

βααβ//',',' //'//??? ?? ? ? ? ??且相交且相交m l m l m m l l 。βαβαα//,////??? ????且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

(完整word版)立体几何常考定理总结(八大定理)

关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a I b A a// b// 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。四、面面平行的性质定理：面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言:如果两个平行平面冋时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行? 文字语言:如果两个平面平行，那么其中符号语言: 亠一个平面内的任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点：找第三个平面与已知平面都相关键：只要是其中一个平面内的直线就行交，则交线平行立体几何的八大定理、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行符号语言：b all a//b 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 1 〃符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行面面平行文字语言：如果一个平面 //

五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面符号语言: 六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. 、亠 l 符号语言: a 关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另个平面? 符号语言： 1 1 AB AB AB I 关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 a

初中几何证明题要用到的一些定理

初中几何证明题要用到的一些定理证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的

弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。

平面几何中几个重要定理的证明

1 平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=．证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==．根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -，所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=．三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=．注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=．因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /

立体几何常考定理总结(八大定理)

立体几何常考定理总结(八大定理) 一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂

直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线（都是直线）⑵线∥面线∥线（相交平面）⑶面∥面线∥线（平行平面）⑷同垂直于一个平面线∥线（线面垂直）线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角

圆的相关定理及其几何证明(含答案)

圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE =

例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则，． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为； . EFD ∠=A B C O P

D C B P A O

C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE =

立体几何判定定理与性质定理汇总

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：α?a ，α?b ，且b a //α//a ?．图形语言：定理二（平面与平面平行的判定定理）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号语言：β?a ，β?b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//?．图形语言：定理三（直线与平面平行的性质定理）文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言：α//a ，β?a ，且b =βα b a //?．图形语言：证明：因为b =βα ，所以α?b ．又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．又因为β?a ，β?b ，所以b a //．定理四（平面与平面平行的性质定理）文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //?．图形语言： α b a P βα b a a α βa b αγ a b αβ

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α?a ，α?b α//c ?．图形语言：定理六（平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：α⊥a ，β?a ，αβ⊥?．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理）文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行．符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //?．图形语言：定理八（平面与平面垂直的性质定理）文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面．符号语言：βα⊥，m =βα ，β?a ，m a ⊥α⊥?a ．图形语言： c a b αP αβa αb a βa m α