16.1 分式(导学案)
第十六章分式
16.1分式
16.1.1从分数到分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能够确定一个分式有意义、无意义、为零的条件.
3.能用分式表示现实情境中的数量关系.
自学指导：阅读课本2页至4页，完成课前预习.
知识探究（一）
式子
a s ，s v 以及引言中的v 20100+，v -2060有什么特点？
它们与分数的相同点是：形式相同都有分子和分母；
不同点是：分式中分母含有字母.
它们与整式的相同点是：形式相同，都含有分子和分母，并且都含有字母； 不同点是：整式的分子含有字母，分母不含有字母；分式的分母含有字母.
一般的如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
B
A 叫做分式，其中A 叫做分子，
B 叫做分母.
自学反馈
独立思考下列各式中，哪些是分式？ （1）
s -b 2（2）a -3003000（3）72（4）S V （5）32
S （6）2x 2+51（7）c 5b 4+（8）-5（9）3x 2-1 （10）1
-2x y xy -x 2
2+（11）5x-7
解：分式有（1）（2）（4）（7）（10）
教师点拨：判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
知识探究（二） 思考：1.分式AB 的分母有什么限制？
当B=0时，分式
B
A 无意义. 当B≠0时，分式B
A 有意义. 2.当B
A =0时分子和分母应满足什么条件？ 当A=0且B≠0时，分式
B A 的值为零. 自学反馈
1.当x 取何值时，下列分式有意义?当x 取何值时，下列分式无意义?
（1）2x 3+（2）2x
-35x +
解：（1）当x+2≠0时，即x≠-2时，分式
2x 3+才有意义.当x=-2时，分式2
x 3+无意义. （2）当3-2x≠0时，即x≠23时，分式2x -35x +才有意义.当x=23时，分式2x -35x +无意义. 教师点拨：分母是否为0决定分式是否有意义.
2.当x 为何值时，分式的值为0？
（1）5x 7x +（2）3x
-217x 解：（1）x+7=0且5x≠0即x=-7；
（2）7x=0且21-3x≠0即x=0.
活动1 学生独立完成
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
（1）甲每小时做x 个零件，他做80个零件需_______小时.
（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是____千米/时，轮船的逆流速度是________千米/时.
（3）x 与y 的差除以4的商是______.
解：（1）x
80；分式 （2）a+b a-b ；整式
（3）4
y -x ；整式 例2 当x 取何值时，下列分式有意义?当x 取何值时，下列分式无意义?当x 取何值时，下列分式值为零?
（1）4-x 5-2x 2（2）x
-x 1-x 22 解：（1）有意义：x 2-4≠0，即x≠±2；
无意义：x 2-4=0，即x=±2；
值为0：2x-5=0且x 2-4≠0，即x=2
5. （2）有意义：x 2-x≠0，即x≠0且x≠1；
无意义x 2-x=0，即x=0，或x=1；
值为0：x 2-1=0且x 2-x≠0，即x=-1.
教师点拨：分式有意义的条件：分式的分母不能为0.
分式无意义的条件：分式的分母等于0.
分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.
分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2 跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？
（1）x 4（2）4a （3）y -x 1（4）43x （5）21x 2
人教版八年级下册第十六章-分式的导学案
16、1、1 从分数到分式 八年数学 备课人：韩见光 刘恒哲 审核 2012、3、1 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、课前热身： 1、 什么是整式？ 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现，a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 4、 归纳：分式的意义： 。上面所看到的a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件是 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7 )(p n m +；（5）、—5 ；（6）、1 22 2-+-x y xy x 。 （7）、72；（8）、c b +54。 例2、p 3的“例1” 例3、x 为何值时，下列分式有意义？
（1）、1 -x x ； （2）、15622++-x x x （3）、242+-a a ； 例4、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、1 1+-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x 三、随堂练习： p 4的“练习” 四、课堂检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1 32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）14.3--πb a （6）0.整式是 ，分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式2 +x x 没有意义。3、当x= 时，分式112+-x x 的值为0 。 4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1 132+-a a 的值非负。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a b +- 6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式6 3||2---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）A.―3、B.―2、C. 3或―2、D. ±3 五、小结与反思：
《分式》全章导学案
第十五章 分 式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 一、自学指导 自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟) 总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，分 式A B 中，A 叫做分子，B 叫做分母． 点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟) 总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A B ＝0. 点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3. 小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式3x 2x －1无意义？(4) 分式12x |x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3 的值为0? 解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x 2x 2＋3有意义，则分 母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式3x 2x －1无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝1 2；(4)要使分 式 12x |x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4的值为0，则有? ????|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9 x －3的值为0，则有? ????x 2 －9＝0x －3≠0，即x ＝－3. 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
八年级数学上册第15章分式小结与复习导学案新版新人教版
分式小结与复习 【学习目标】： 了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用,并综合应用知识点解决问题。 学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。 学习难点 ：分式方程的应用。 学习过程 ： 一、知识点复习： 1. 分式的概念 （1）如果 A 、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件： 分式的分母不能为 0,即A B 中, B ≠ 0 时,分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0,对于A B ,即00A B =??≠? 时,A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。 A A M B B M ?=?, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 ①取各分母系数的最小公倍数。 ②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。 ③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时,要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式,即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个,分式的值不变。用式子表示为：a a a b b b -==--；a a a a b b b b ---=-==-- 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
第十五章分式导学案
第十五章分式导学案 16.1.1 从分数到分式 1、能判断一个代数式是否为分式 2、能说出一个分式有意义的条件 3、会求分式值为零时，字母的取值 会求分式有意义时，字母的取值范围 求分式值为零时，字母的取值 1.自主探究：什么是整式？ 2.完成 P127--128 页思考后回答问题： 一般的，整式A除以整式 ____________ B，可以写成的形 式。如果 B 中含有 __ A 式子A就叫 _ ，其中 A叫___ ， B叫 ___ 。 B 3.分式有意义的条件是什么？分式的值为O的条件是什么？ 4.我的疑惑： 1.下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？ ① b ② 2a+b ③ - 2 ④ 2x ⑤ a ⑥ 2 ⑦ x- z 2a 3x 3 3 x 5 y 整式有：；分式有： 2.（对照例 1 ）解答： 已知：分式x 2 3x 4 1）当x 取何值时，分式没有意义？ 3.当 x 为何值时，下列各式有意义？2 ）当 x取何值时，分式有意义？ 4. 当 x 取何值时，分式的值为 0？
2x 2x 5x ，，2. 2 x 4 x 1 x21 、质疑导学： 1 ．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
2x 1 时 , 分式 2x 1 无意义 .4. 当 ___ 3x 4 4x 3 __时 , 分式 x 的值为 1.6. 当 时 , 分式 x 有意义 . 8x 6 ___时 , 分式 1 的值为正 . x5 归纳小结： 1. 判别分式的方法： 9x+4, 7 , 9 y x 20 整式有： 2. 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ m4 5 8y 3 1 x9 x1 x （ 3） 2x 1 x3 （ 2） 2 1） 1 （ 4） 1 ） 2） 3） 需要的条件为（ 1） 2） 1 、式子① 2 ② x y x5 1 2a A. ①②③⑥ B . ①③⑤ 2、分式有意义的条 件 3. 分式的值为零所 1 ⑤ ＋4 1a C. ①③ D. ① ② y 中，是分式的有 （ 2 、分式 x a 中，当 3x 1 A ．分式的值为零 a 时，下列结论正 确的是 （ B . 1 C. 若 a 时 , 分式的值为零 3 分式无意义 1 D. 若 a 时 , 分式的值为零 3 五、学后反思 ： 时分式 2 x 的 值 为负 1 16.1.2 分式的基本性质（ 1 ）
分式方程导学案
归纳：15.3 分式方程 15.3.1 分式方程及其解法 学习目标： 1.知道分式方程的概念； 2.会解分式方程。 重点：分式方程及其解法. 难点：分式方程产生增根的原因. 学习过程： 一、复习回顾： 1.什么是一元一次方程？ 2.怎么解一元一次方程？ 二、新课导入： 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设：江水流速为v 千米/时，可得方程： 总结： 分式方程：______中含有___________的方程叫做分式方程. 练一练：下列方程哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5 23x x +=-π 探究：怎样解上面问题中的方程呢？ 例1 解方程： ⑴ 233x x =- ⑵11 4112=---+x x x 解分式方程的基本思路： 把分式方程“转化”为___________，再利用________和解法求解。 解分式方程的方法： 在方程的两边同乘___________，就可约去___________，化成__________________。 总结： 解分式方程的基本步骤： 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________
三、课堂达标检测： 解下列方程： ⑴x x 132=- ⑵x x 527=- ⑶31 2=-x x 四、课堂小结： 解分式方程的一般步骤是： 1.“化”在方程两边同乘以最简公分母，化成____________方程。 2.“解”即这个____________方程。 3.“验”即把方程的根代入____________，如果值____________，就是原方程的根；如果值____________，就是增根，应当____________。 五、课后检测： 1.下列方程是分式方程的是（ ） A. 2513x x =+- B.315226y y -+=- C.212302x x +-= D.81257x x +-= 2.若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A.x =3 B.x =0 C.x =﹣3 D.x =﹣4 3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x +4 D.x （x +4） 4.解下列方程： ⑴1 2511+=-x x ⑵112x =- ⑶x x 325=- ⑷ 3121 x x =- 15.3.2 解分式方程 教学目标： 1.了解分式方程的基本思路和解法. 2.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
新人教版第十五章分式教案
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
鲁教版初三数学分式方程导学案(自己做的很实用)剖析
1.2分式的乘除法 1.会进行分式的乘除法的运算； 类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则 培养学生的创新意识和应用数学的意识. 会进行分式的乘除运算 灵活运用所学的知识解题 小组合作交流，精讲多练 一.创设情境，引入新课 上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？ 下面我们观察下列算式：——探索、交流 32×54=5342??,75×92=9 72 5??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d = a b ÷c d = 与同伴交流. 观察上面运算，可知： 两个分数相乘，把 作为积的分子，把 作为积的分母； 两个分数相除， 。 即 a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. 如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二．探究新知 1.分式的乘除法法则 分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似： 两个分式相乘， 两个分式相除， 2.例题讲解 ［例1］计算：（1）y a 86·2232a y ;（2）c ab 42·(-b a c 2 32). 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一 定要进行约分，使运算结果化为最简分式. ［例2］计算：（1）3xy 2÷x y 2 6;（2）(b a 2-)÷(2 )b a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 巩固练习 (1)2 2 543()512y x y x xy ? ?- (2)322 26()y x x y x x y ÷-?÷ (3) 222522223111212()()()6189a b a y ay cx c x b x -÷-?- 想一想 （1）你会计算 22-+a a ·a a 21 2+吗？ （2）两个分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先怎样进行？ 3.做一做
可化为一元一次方程的分式方程导学案
《可化为一元一次方程的分式方程》导学案 学习目标： 1、理解分式方程的定义。 2、能正确而熟练地判断哪些方程是分式方程。 3、学会解较为简单的分式方程。 学习重点：分式方程的定义应用以及解法。 学习难点：把分式方程转化为整式方程。 导学流程： 一、知识回顾 1、053)1(=-x ， 5 1532)2(-=+x x ，都是________方程。 只含有_________，并且未知数项的最高次数是___的整式方程叫做一元一次方程。 2、 （1） 解方程5 1532-=+x x 的步骤： ○ 1去_________； ○2去________； ○3移项； ○4合并__________； ○5系数化为1。 （2）怎样检验求出的x 的值是不是方程的解？ 3、) 1(21,)1(2+-x x x 的最简公分母是______________ 二、创设情境，导入新课 问题：王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了100个工件后开始采用焊接新工艺，功效提高到原来的1.5倍，共用8天完成了任务，采用新工艺前，王师傅每天焊接多少个工件？ 第一部分形成 分析：如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x 个工件，那么加工100个工件需要______天，采用新工艺后王师傅每天加工_____个工件，加工剩余的工件用了_____天，根据题中的等量关系，可得出方程 _________________。 交流与发现：（1）你所列的方程的分母有什么特点？ （2）像这样，分母中含有_____________的方程式叫做分式方程。 对比：分母里不含有未知数的方程叫做整式方程.如：3x+1=0等。
判断下列方程哪些是整式方程？哪些是分式方程？ 21)1(-=x (2) 121411)3(2-=+--x x x 05432)4(=---x x n m x mx m x -=-+2)5( (6) 第二部分深入 试着解方程 （1）怎样把 85.1210100=+x x 与 3 6660+=x x 中的分母去掉 ？ （2）去掉分母后，原方程变成了什么样的方程，写出得到的两个式子 ____________________ _____________________ 解方程： 85.1210100=+x x 第三部分升华 思路方法与步骤 解分式方程的基本思路和方法： 解分式方程的思路是先将方程的两边同乘一个适当的整式（一般是方程两边同乘 ），化去方程中的______,从而把解分式方程转化成解整式方程。 注意：解分式方程必须 解分式方程的一般步骤： 1、去_________，化成______________;（在方程的两边都乘以____________） 2、解这个_________________; 3、检验； 4、结论. 437x y +=252=x x ）（
新人教版八年级上第十五章分式导学案教材
15.1.1 从分数到分式 学教目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类 代数式。 学教重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 学教过程： 学教难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、 温故知新： 1、 什么是整式？ ，整式中如有分母， 分母中 （含、不含）字母 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 2 1；2x+y ； 2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成p127的“思考”，通过探究发现， a s 、s V 、 v +20100、v -2060 与分数一样， 都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 5、 归纳：分式的意义： 。 代数式 a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、 v +20100、v -2060 都是 。分数有意义的条件 是 。那么分式有意义的条件是 。 二、 学教互动： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7 （2）3x 2-1 （3） 123+-a b （4）7 ) (p n m + （5）—5 （6） 1 22 2-+-x y xy x （7） 72 （8）c b +54 例2、p 128的“例1”填空： （1）当x 时，分式 x 32有意义 （2）当x 时，分式1-x x 有意义 （3）当b 时，分式b 351 -有意义
分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】
分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.
人教版八年级数学上册导学案-15.3 第2课时 分式方程的应用
第十五章 分式 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的应用 学习目标：1.理解实际问题中的数量关系. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 重点：能通过列分式方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程. 一、知识链接 1.解方程： 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 二、新知预习 4.完成下面解题过程： 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系； 答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解； 解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得 _________________________. 解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________. 答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为： 第一步，审清题意； 第二步，根据题意设未知数； 第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________； 第五步，作答． 三、自学自测 1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( ) A.300x －2060＝3001.2x B.300x －3001.2x ＝20 C.300x －300x ＋1.2x ＝2060 D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 241122x x x x += --
人教版八年级数学上册第十五章 分式导学案
第十五章分式 车每 B B 三、自学自测
A.x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．以上结果都不对
想一想：小明说：“因为2x x x =，所以x 取任何实数，分式2 x x 都有意义”，你同意他的观点吗？ 方法总结:分式A B 有意义的条件是B ≠0.（1）如果分母是几个因式乘积的形式，则每 个因式都不为零.（2）判断分式有意义的条件，要看化简之前的式子. 探究点3：分式值为0的条件 想一想：（1）分式 1 2 x +的值可能为零吗？为什么？ （2）当x 为何值时，分式2 2 x x -+的值为零？ （3）当x =2时，分式24 2 x x --的值为零吗？为什么？ 要点归纳：分式A B =0的条件是A=0且B ≠0. 例2：若使分式x 2－1 x ＋1的值为零，则x 的值为 ( ) A ．－1 B ．1或－1 C ．1 D ．1和－1 变式训练 当x 时，分式 ||1 (2)(1) x x x ---的值为零. 方法总结：分式的值为零求字母的值：先根据分子为0，得出字母的值，然后一定要注意若分子中的整式是二次式或含有绝对值，解出的值一般有两个，要注意舍去使分母为0的值. 1．下列各式：①2x ；②3 x ；③22x y x y -+；④32x y -.其中_________是整式，_________ 是分式.（填序号） 2．若分式24 x x -有意义，则x __________；若分式392--x x 的值为零，则x 的值是_______. 3．在分式 31 x a x +-中，当x a =-时，分式（ ）
A.值为零 B. 1 3 a≠-时值为零 C.无意义 D.无法确定 二、课堂小结
分式方程(一)导学案
分式方程（一）导学案 学习目标 1.理解分式方程的意义. 2.了解解分式方程的基本思路和解法. 3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法。 4.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 学习重点解分式方程的基本思路和解法。 学习难点理解解分式方程时可能无解的原因。 学具使用多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等 学习内容 学习活动设计意图 一、创设情境独立思考（课前20分钟） 1、阅读课本P150 ～151页，思考下列问题： （1）什么是分式方程？解分式方程的基本思想是什么？ （2）解分式方程为什么必须检验？ 2、独立思考后我还有以下疑惑： 二、答疑解惑我最棒（约8分钟） 甲： 乙： 丙： 丁：同伴互助答疑解惑 ＄15.3分式方程（一）导学案 学习活动设计意图 三、合作学习探索新知（约15分钟） 1、小组合作分析问题 2、小组合作答疑解惑 3、师生合作解决问题 【1】解一元一次方程的步骤是什么？ 【2】解方程： 【3】问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度是v千米/时． ◆填空：（1）轮船顺流航行速度为20+v 千米/时，逆流航行速度为20--v千米/时．（2）顺流航行100千米所用时间为小时； （3）逆流航行60千米所用时间为小时； （4）根据题意可列方程为． 【4】议一议方程特征： ◆分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【5】想一想方程x+ （x+1）= 是不是分式方程?
新人教版八年级上册第15章分式导学案全册(45页)
2013年秋八年级上册导学案 第十五章 分式 从分数到分式 一、学习目标： 1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 二、学习重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 三．学习难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 四．温故知新： 1、 什么是整式？ ，整式中如有分母，分母中 （含、不含）字母 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成“思考”，通过探究发现，a s 、 s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 5、 归纳：分式的意义： 。 代数式 a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件是 。 五、学习互动： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7 （2）3x 2-1 （3） 123+-a b （4）7 ) (p n m + （5）—5 （6）1222-+-x y xy x （7）72 （8）c b +54 例2、填空： （1）当x 时，分式 x 32 有意义（2）当x 时，分式1-x x 有意义 （3）当b 时，分式 b 351 -有意义（4）当x 、y 满足关系 时，分式y x y x -+有意义 例3、x 为何值时，下列分式有意义？ （1）1-x x （2）1 5622++-x x x （3）242+-a a 六、拓展延伸： 例4、x 为何值时，下列分式的值为0？
八年级数学下册 3.4 分式方程(1)导学案北师大版
八年级数学下册 3.4 分式方程（1）导学案北 师大版 3、4 分式方程（1）学习目标： 1、通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，归纳分式方程的概念。 2、在活动中培养学生乐于探究合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。学习重点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义。学习难点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程。学习过程：问题1：某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨0、4元、小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月份的水费是25元、如果设去年每立方米水费为x元。那么今年每立方米水费为 _________ 元。小丽家去年12月的用水量是________立方米。今年7月份的用水量是____________立方米问题2： 有两快面积相同的小麦实验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 ㎏和15000 ㎏，已知第一块的小麦实验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，如何设未知数列方程？问：（1）如果设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏,
那么第二块实验田每公顷的产量为_______ ㎏、（2）第一块试验田有__________公顷？第二块试验田有__________公顷？ (3）、你能发现这个问题中的等量关系吗？第一块试验田面积=第二块试验田面积(4）、你能根据面积相等列出方程吗？问题3：从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长600 km普通公路，另一条是全长480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间？1）、你能发现这个问题中的等量关系吗？2）、你能根据等量关系列出分式方程吗？解：设走高速公路需时间x小时，可列方程，比较左右两边的方程, 有什么不同?分母中含有_________的方程叫做分式方程练习1：下列各式中，是分式方程的是( ) A、x+y=5 B、 C、 D、=0练习2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额5000元，第二次捐款人比第一次多20人，而且两次人均捐款额正好相等，如果设第一次捐款的人数为x人，那么你能列出分式方程吗？
15.3分式方程导学案(2)
15.3.2 分式方程导学案 【学习目标】： 1、知道分式方程无解的原因及验根的必要性. 2、掌握分式方程的解法步骤,并能熟练解可化为一元一次方程的分式方程. 学习重点：掌握分式方程的解法步骤,并能熟练解可化为一元一次方程的分式方程. 学习难点： 1、知道分式方程无解的原因. 2、最简公分母的确定. 【学习流程】 一、阅读教材,找出本节课的主要内容及自己弄不懂的问题. 二、解方程 (1) (2)2x =3 1-x (3) 三、尝试练习 解方程：（1）232x x =- 【分析】：要解分式方程,首先要 ,即方程两边同乘最简公分母 即可, 【解】： （2）解方程2110525x x =--（P27讨论） 想一想：这个分式方程怎么化为整式方程呢？ 【解】 思考：1、分式方程无解的原因是什么？结合具体例子加以说明. 2、解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是什么？结合具体例子加以说明. 3、解可化为一元一次方程的分式方程和解一元一次方程有什么相同点和不同点？ 4、如何找分式方程的最简公分母？如何找一元一次方程的最简公分母？ 5、解可化为一元一次方程的分式方程和解一元一次方程的过程中蕴含了什么数学思想？
四、巩固练习 解方程： （1） 1112x x =+ （你能用几种方法解这个题） （2） x 2x 1x+13x+3=+ （这个题那个地方易出错） （3） 22510x x x x -=+- （4） x-331x-22x +=- 五、达标测评 1．方程x x --242=0的解是（ ） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =±2 D ．方程无解 2．方程2512x x =-的解是 ． 3．解方程：2131x x =--． 4.解方程： 3131=---x x x 六、本节课你有何收获？
分式方程 精品导学案新人教版
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 分式方程 15.3分式方程(1) 学习目标：1、了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2、掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 课前预习 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程：16 3 242=--+x x 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -=+2060 20100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。
人教版八年级上册课时练：第15章《分式》实际应用提优(一)
课时练：第15章《分式》实际应用提优（一） 1．锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的1.5倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． （2）若计划绿化的区域面积是1900m2，甲队每天绿化费用是0.5万元，乙队每天绿化费用为0.3万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为12.2万元． ②按要求甲队至少施工10天，乙队最多施工22天，当甲乙各施工几天，刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数），并求最少总费用． 2．仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批仙桃每件进价是多少元？ （2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价） 3．新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元． （1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？ （2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共50桶，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3260元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？ 4．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是
分式方程导学案(1)
2.1分式方程（1）导学案 备 学 （第一步） 复习旧知 衔接铺垫 （一）课前准备 1、什么是方程？ 2、解方程：x-2=3； 在以上方程中，x-2和3都是____式，方程属于____________方程 （第二步） 创设情境，导入新课 如果 3 2 21+= x x 像这样的分母中含有字母的方程，就叫做整式方程。 （第三步） 出示目标 明了内容 1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想 2．经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程 自 学 (第四步) 自主学习，探究新知 任务一：探究新知（课本P15） 1、问题1：自学课本P15回答下列问题 解：设____________________________________根据等量关系：__________________________________， 可得方程：_____________________思考：这个方程有什么特点？ 总结：方程的________中含有未知数，像这样的方程叫做__________. 快速判断：方程①11=+x x ，②30015009000+=x x ，③42480 300=-x x ，④x －2＝0 ⑤213-=x x , ⑥x x 312=- ,⑦4x －5＝0中，分式方程的有 2、温故知新：解方程：43 1 21=--+x x 总结：解整式方程的一般步骤： _________________ 任务二：学生自例1：1 2 3-= x x 总结：解分式方程的一般步骤：①在方程的两边都乘以 （通常是 ）约去______ 从而转化成 然后解____________________________________ 互 学 (第五步) 对组群学 展示点拨（注：展示规则不变） 践 学 (第六步) 学以致用 反馈矫正 1、课本P16随堂练习1 2、解方程：3221+=x x 2. 21133 x x x x =+++ 3、623-=x x 4、1 6 13122 -=-++x x x 检 学 (第七步) 知识梳理 整体构建 第八步) 分层堂检 实时达标（4、5、6号同学做对第1题即满分） 1、下列方程中是分式方程的是（ ） A 、1213243=--+x x B 、1 4 1211-= -+-+-x x x x x C 、 0513=+x x D 、x b a a x =+ ※2、下列属于分式方程的是（ ） A 、 3412+++x x B 、 0254=-+x x C 、 x x 35)3(43=- D 、12 1 =-+x x ※※3、解方程 (1) 01152=+-+x x (2) x x x 387 41836--- =-