圆的渐开线与摆线教案
第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：
1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐
开线的参数方程为???-=+=)
cos (sin )sin (cos ??????r y r x （?为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
??
?-=-=)
cos 1()
sin (???r y r x （?为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当2π
?=，π时，求圆渐开线?
??-=+=??????cos sin sin cos y x 上对应点A 、B
坐标并求出A 、B 间的距离。
变式训练 2 求圆的渐开线?????-=+=)
cos (sin 2)
sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐
标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3：求摆线???-=-=t y t
t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。 （四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问
题。
（五）、作业： 五、教学反思：
圆的渐开线与摆线教案
第七课时 圆的渐开线与摆线 一、教学目标： 知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析： 1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐 开线的参数方程为???-=+=) cos (sin )sin (cos ??????r y r x （?为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。 ?? ?-=-=) cos 1() sin (???r y r x （?为参数）
（三）、例题与训练题： 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2π ?=，π时，求圆渐开线? ??-=+=??????cos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。 变式训练 2 求圆的渐开线?????-=+=) cos (sin 2) sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐 标。 例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程 变式训练3：求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标 例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。 （四）、小结：本节课学习了以下内容： 1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问 题。 （五）、作业： 五、教学反思：
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：2.4平摆线和渐开线 Word版含解析
§4平摆线和渐开线 课后篇巩固探究 A组 1.已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是() B.π C.2 D.2π 1,故其面积为π. 2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是() A.(π,0) B.(π,1) C.(2π,2) D.(2π,0) . 3. 如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是() A.3π B.4π D.6π ,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π. 4.导学号73144041我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为() A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) (φ为参数) y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出平摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,只需把其中的x与y互换. 时,圆的平摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是. π-4,4) 6.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数),则该圆的面积为,对应圆的
渐开线方程为. π(φ为参数) 80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高. 平摆线的生成圆的半径r=40 mm, ∴此平摆线的参数方程为(t为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为2r=2×40=80(mm). 8.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积. (3,0)代入参数方程得 解得 所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π. 9.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l对应的普通方程是x-y-6=0. (1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系? (2)写出平移后圆的摆线方程. x轴的交点. 圆C平移后圆心为O(0,0),圆心到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)因为圆的半径是6,所以可得摆线方程是(φ为参数). (3)令y=0,得6-6cos φ=0?cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=6φ-6sin φ,得x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z). B组 1.半径为4的圆的平摆线的参数方程为() A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) (φ为参数) 2.给出下列说法: ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程; ②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题; ③在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程; ④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有() B.②④ C.②③ D.①③④ ,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 3.已知半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能是() B.2π C.12π D.14π (φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,
高中数学人教A版选修4-4检测：第二讲四渐开线与摆线 Word版含解析
第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线 A 级 基础巩固 一、选择题 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C 2.?????r ＝5（φ－sin φ）， y ＝5（1－cos φ） (φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B 3．下列各点中，在圆的摆线? ????x ＝φ－sin φ， y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是 ( ) A ．(π，0) B ．(π，1) C ．(2π，2) D ．(2π，0) 答案：B 4．圆? ????x ＝3cos θ， y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那 么其横坐标可能是( ) A ．π B ．3π C ．6π D ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 ? ????x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)． 答案：C 5．已知一个圆的参数方程为?????x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的 摆线方程中与参数φ＝π 2对应的点A 与点B ? ?? ??3π2，2之间的距离为 ( ) A.π 2 －1 B. 2 C.10 D. 3π2 －1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的 参数方程为? ????x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中
2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线自我小测苏教版选修
2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线自我小测 苏教版选修 1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________． 2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为__________． 3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________． 4．已知圆的渐开线的参数方程是 (φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________． 5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________． 6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________． 7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________． 8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线 (φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________． 9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高． 10．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
参考答案 1答案：(，0)和(，0) 解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c==(，0)和(，0)．2答案： 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参 数)，把代入参数方程中可得 π 3(1), 2 3, x y ? =- ? ? ?= ? )即. ∴| AB== 3答案：(π，2) 解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)． 当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)． 4答案：2 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为. 5答案：半径为3的圆的渐开线 解析：由参数方程的形式可直接得出答案． 6答案：(π－2,2)或(3π＋2,2) 解析：由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2， 2 33 2πsinπ3π2 22 x ?? - ? ?? ＝＝＋ ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)． 7答案：5π 解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π. 8答案：(φ为参数) 解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的
人教新课标版数学高二人教A选修4-4试题 2.4渐开线与摆线 (2)
(时间40分钟，满分60分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知圆的渐开线的参数方程是? ???? x ＝cos θ＋θsin θ， y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基 圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 【答案】 B 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④ 【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C. 【答案】 C 3．已知一个圆的参数方程为? ??? ? x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ ＝π2对应的点A 与点B (3π 2 ，2)之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2 －1 【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为
????? x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2 代入参数方程中可得????? x ＝3(π2 －1)，y ＝3， 即A (3π 2－3,3)， ∴|AB |＝ (3π2－3－3π 2 ))2＋(3－2)2＝10. 【答案】 C 图2－4－1 4．如图2－4－1，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π 2，继续旋转可 得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π 2；GH 是半 径为4的1 4 圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 【答案】 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π 2，则点P 的 坐标为________． 【解析】 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为 ? ?? ?? x ＝2(cos φ＋φsin φ) y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)． 当φ＝π 2 时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．
2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修
2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A 版选 修 一、基础达标 1.已知圆的渐开线的参数方程是? ????x ＝cos θ＋θsin θ， y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的 基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3π D.4π 解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B 2.已知一个圆的参数方程为??? ? ?x ＝3cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝ π2对应的点A 与点B ? ????3π2，2之间的距离为( ) A.π 2 －1 B. 2 C.10 D. 3π 2 －1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为 ?????x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π 2代入参数方程中可得?? ? ??x ＝3? ????π 2－1，y ＝3， 即A ? ?? ? ?3π2－3，3，∴|AB |＝ ? ?? ??3π2－3－3π22 ＋（3－2）2＝10. 答案 C 3.摆线? ????x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线 y ＝2的交点的直角坐标是 ( ) A.(π－2，2)，(3π＋2，2) B.(π－3，2)，(3π＋3，2) C.(π，2)，(－π，2) D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)
解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π 2.代入参数方程 得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2). 答案 A 4.已知圆的渐开线的参数方程是? ????x ＝cos θ＋θsin θ， y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的 基圆的直径是________，当参数θ＝π 4时对应的曲线上的点的坐标为________. 解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π 8，由此可得对 应的坐标为? ????22 ＋2π8，22－2π8. 答案 2 ? ????2 2＋2π8，22－2π8 5.已知圆的方程为x 2＋y 2 ＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐 标为________. 解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为? ????x ＝2（cos φ＋φsin φ） y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ 为参数). 当φ＝π 2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2). 答案 (π，2) 6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程. 解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6， 所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是? ????x ＝3cos φ＋3φsin φ， y ＝3sin φ－3φcos φ (φ为参数). 以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为 ? ????x ＝3φ－3sin φ， y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π 2 ，求A 、B 两点的距离.
高二数学北师大选修同步精练：第二章 平摆线和渐开线
平摆线和渐开线练习 1给出下列说法： ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程； ②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题； ③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程； ④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④ 2平摆线=2sin =21cos x t t y t (-)??(-) ?，(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )． A ．(π－2,2) B ．(3π＋2,2) C ．(π－2,2)或(3π＋2,2) D ．(π－3,5) 3如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 4我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线()() sin ,1cos x r y r ???=-???=-??(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为( )． A ．=sin ,=1cos x r y r ???(-)??(-) ?(φ为参数) B ．=1cos ,=sin x r y r ???(-)??(-) ?(φ为参数) C ． ,1x rsin y r cos ??=??=(-) ?(φ为参数) D ．1cos ,sin x r y r ?? =(-)??=?(φ为参数) 5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．
渐开线与摆线
渐开线与摆线 1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线方程： (2)摆线的参数方程： 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程． 直线的参数方程 直线的参数方程：
过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。 直线的参数方程及其推导过程： 设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α， 定点M0、动点M的坐标分别为 直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M到定点 Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0． 抛物线的参数方程 抛物线的参数方程： 如图，抛物线y2=2px（p＞0）（或x2=2py（p＞0））的参数方程为 （或）（t为参数，t∈R）。
几何意义为： t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。即M（x,y）为抛物线上任意一点，则有 抛物线的参数方程的推导： 设抛物线的普通方程为 因为点M在α的终边上,根据三角函数的定义可得 由(5)(6)解出x,y，得到 这就是抛物线（5）（不包括顶点）的参数方程。 如果令，则有
2019-2020学年高中数学 2.5.2圆的渐开线与摆线教案 新人教版选修4-4.doc
2019-2020学年高中数学 2.5.2圆的渐开线与摆线教案 新人教版选修4-4 一、教学目标： 知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析： 1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 ? ? ?-=+=)cos (sin ) sin (cos ??????r y r x （?为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。 ? ? ?-=-=)cos 1() sin (???r y r x （?为参数）
（三）、例题与训练题： 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2 π ?=，π时，求圆渐开线?? ?-=+=? ??? ??cos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。 变式训练2 求圆的渐开线?????-=+=) cos (sin 2) sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。 例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程 变式训练3： 求摆线?? ?-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标 例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。 （四）、小结：本节课学习了以下内容： 1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。 （五）、作业： 五、教学反思：
2021年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线课后训练苏教版选修
2021年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线课后训练苏教版 选修 1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________． 2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为__________． 3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________． 4．已知圆的渐开线的参数方程是 (φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________． 5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________． 6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________． 7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________． 8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线 (φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________． 9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高． 10．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
参考答案 1.答案：(，0)和(，0) 解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c==(，0)和(，0)． 2.答案： 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参 数)，把代入参数方程中可得 π 3(1), 2 3, x y ? =- ? ? ?= ? )即. ∴| AB== 3.答案：(π，2) 解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)． 当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)． 4.答案：2 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为. 5.答案：半径为3的圆的渐开线 解析：由参数方程的形式可直接得出答案． 6.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2) 解析：由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2， 2 33 2πsinπ3π2 22 x ?? - ? ?? ＝＝＋ ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)． 7.答案：5π 解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π. 8.答案：(φ为参数) 解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换． 9.解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40 mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)． 10.解：把已知点(3,0)代入参数方程 得 解得 所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.
2021年高中数学 第二章 平摆线和渐开线练习 北师大版选修4-4
2021年高中数学第二章平摆线和渐开线练习北师大版选修4-4 1给出下列说法： ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程； ②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题； ③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程； ④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )． A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 2平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )． A．(π－2,2) B．(3π＋2,2) C．(π－2,2)或(3π＋2,2) D．(π－3,5) 3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )． A．3π B．4π C．5π D．6π 4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为( )． A．(φ为参数) B．(φ为参数) C．(φ为参数) D．(φ为参数) 5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________． 6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________． 7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．
8已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
高中数学 第2章 圆锥曲线 2.4 平摆线和渐开线学案 北师大版选修4-1
§4 平摆线和渐开线 4.1 平摆线 4.2 渐开线 1.了解平摆线和渐开线的生成过程. 2.能推导平摆线和渐开线的参数方程.(难点) 3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用.(重点) [基础·初探] 教材整理1 平摆线及其参数方程 1.一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线. 2.设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是????? x ＝r α－sin α， y ＝r 1－cos α (－ ∞<α<＋∞). 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹.( ) (2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程 1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线
头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆. 2.设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是 ????? x ＝r cos φ＋φsin φ，y ＝r sin φ－φcos φ (φ是参数). 关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号). ①只有圆才有渐开线； ②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形； ③正方形也可以有渐开线； ④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同. 【解析】 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 【答案】 ③ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
【人教a版】高中数学：第二讲四渐开线与摆线127
第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线 A 级 基础巩固 一、选择题 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C 2.???r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ） (φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B. 答案：B 3．下列各点中，在圆的摆线???x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ (φ为参数)上的是( ) A ．(π，0) B ．(π，1) C ．(2π，2) D ．(2π，0)
4．圆???x ＝3cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．3π C ．6π D ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 ? ??x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)． 答案：C 5．已知一个圆的参数方程为???x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ? ?? ??3π2，2之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2 －1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为 ???x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得?????x ＝3? ????π2－1，y ＝3， 即A ? ?? ??3? ????π2－1，3， 所以|AB|＝ ??????3? ????π2－1－3π22 ＋（3－2）2＝10. 答案：C 二、填空题 6．已知一个圆的摆线的参数方程是???x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ (φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________． 解析：由圆的摆线的参数方程???x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
苏教版数学高一苏教版选修4-4教案 4.4.7《圆的渐开线与摆线》
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 246 j D O'O B C 第七课时 圆的渐开线与摆线 一、教学目标： 知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析： 1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数 方程为? ??-=+=)cos (sin )sin (cos ??????r y r x （?为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴， 定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系， 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。 ? ? ?-=-=)cos 1() sin (???r y r x （?为参数） （三）、例题与训练题： 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2 π ?= ，π时，求圆渐开线?? ?-=+=? ??? ??cos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并 求出A 、B 间的距离。 变式训练2 求圆的渐开线?????-=+=) cos (sin 2) sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。 例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
人教A版 选修4-4 第二讲 第四节 渐开线与摆线教案设计
选修4_4坐标系与参数方程 渐开线与摆线 目的要求：了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。有条件可以应用计算机展现心脏线、螺线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的数学美。 重点难点：曲线参数方程的推导； 教学过程： 一、探究 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ 动点（笔尖）满足什么几何条件？设开始时绳子外端（笔尖）位于点A ， o?当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角的一段弧AB ，展开后成为切线，所以 o切线BM 的长就是AB 的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。 二、渐开线的参数方程 以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标 系。 设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为（x ，y ）。显然， 点M 由角?唯一确定。 B ???取为参数，则点的坐标为（rcos ,rsin ）,从而 (cos ,sin ),||.BM x r y r BM r ???=--=u u u u r u u u u r 1(cos ,sin )e OB ??=r u u u r 由于向量是与同方向的单位向量， 2(sin ,cos )e BM ??=-r u u u u r 因而向量是与向量同方向的单位向量。 2||(),BM r e ?=u u u u r r 所以即 ||(cos ,sin )(sin ,cos )BM x r y r r ?????=--=-u u u u r (cos sin )()(sin cos ) x r y r ???????=+??=-?解得 是参数。 所以，圆渐开线的参数方程为? ??-=+=)cos (sin )sin (cos ??????r y r x （?为参数） 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 x y r E D M A O B
苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.4.4平摆线与圆的渐开线
平摆线与圆的渐开线练习 1．渐开线6(cos sin )6(sin cos ) x y ??????+???＝，＝－(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________． 2．已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=??=? (θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数π2?=对应的点A 与点B 3π,22?? ??? 之间的距离为__________． 3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数π2 ?=，则点P 的坐标为________． 4．已知圆的渐开线的参数方程是 cos sin ,sin cos x y ?????? =+??=-? (φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数π4 ?=时对应的曲线上的点的坐标为________． 5．参数方程3(cos sin ),3(sin cos ) x y ??????=+??=-?(φ为参数)表示的曲线是__________． 6．平摆线2(sin ),2(1cos )x t t y t =-??=-? (0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是__________． 7．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是__________． 8．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线 (sin ),(1cos ) x r y r ???=-??=-?(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为__________． 9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm ，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高． 10．已知圆的渐开线(cos sin ),(sin cos ) x r y r ??????=+??=-?(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
2.4 渐开线与摆线
2．4 渐开线与摆线 ?预习梳理 1．以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程 为：_______________________________________________________ _________________(其中r为基圆的半径)． 2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径 为r，可得摆线的参数方程为： ______________________________________________________． ?预习思考 半径为8的圆的渐开线参数方程为(?为参数)，摆线参数方程为______________．, 预习梳理 1.(?为参数) 2.(?为参数) 预习思考 (?为参数) 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
1．C 2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( ) A.(?为参数) B.(?为参数) C.(?为参数) D. 2.C 3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程 比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研 究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的 坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆 的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( ) A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 3.C 4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________． (?为参数) 5．如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫 作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次 按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )