2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解

答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）

A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。(C) $-\frac{1}{3}$。(D) $-

\frac{3}{5}$.

答】B.

解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-

\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-

z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-

\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）

A) $-1$。(B) $1$。(C) $0$。(D) $2007$.

答】C.

解：

$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当

$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

3.设$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，二次函数$y=(a-

b)x^2-cx+b-a$在$x=1$时取最小值$-\frac{b}{8}$，则$\triangle ABC$是（）

A) 等腰三角形。(B) 锐角三角形。(C) 钝角三角形。(D) 直角三角形.

答】D.

解：由题意可得$\begin{cases} -c=-1 \\ b-a=-\frac{b}{4} \end{cases}$，解得$a=b+\frac{4}{5}c$，$c=\frac{5}{3}b$，

$a=\frac{8}{3}b$，因此$\triangle ABC$是直角三角形，故选（D）。

4.已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它

的外接圆的半径，则角A的度数是多少？

解：锐角三角形ABC的垂心在三角形内部，如图所示。

设△ABC的外心为O，O为BC的中点，BO的延长线交外接

圆于点E，连CE、AE，则CE//AH，AE//CH。由于

OB=AH=CE=2OD，所以∠OBD=30°，∠BOD=60°，所以

∠A=∠BOD=60°。因此答案为C。

5.设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△XXX

的重心分别为D、E、F，则△DEF：△ABC的值为多少？

解：分别延长KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P。由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以S△MNP=1/4S△ABC。易证△DEF∽△MNP，且相似比

为2:3，所以S△DEF=(2/3)^2S△MNP=(4/9)S△ABC。因此，

△DEF：△XXX的值为4/9，即答案为A。

6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出

15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是多少？

解：设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则x,y,z都是正整数，且x≤5,y≤6,z≤7，x+y+z=15.因为y+z≤13，所以x可取值2，3，4，5.当x=2时，只有一种可能，即

y=6,z=7；当x=3时，y+z=12，有2种可能，y=5,z=7或

y=6,z=6；当x=4时，y+z=11，有3种可能，y=4,z=7或

y=5,z=6或y=6,z=5；当x=5时，y+z=10，有4种可能，

y=3,z=7或y=4,z=6或y=5,z=5或y=6,z=4.因此，共有

1+2+3+4=10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个

红球的结果有2种。因此所求的概率为2/10=1/5，即答案为B。

二、填空题

1.设 $x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}$，$a$ 是 $x$ 的小数部分，$b$ 是 $-x$ 的小数部分，则 $a+b+3ab=$ $\dfrac{1}{33}$。

解：因为 $x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1}=2-1$，而

$2<2+1<3$，所以 $a=x-2=2-1$。又因为 $-x=-2-1$，而 $-3<-2-

1<-2$，所以 $b=-x-(-3)=2-2$。因此，$a+b=1$，

$a+b+3ab=(a+b)(1-3ab)=1-2ab$。代入 $a$ 和 $b$ 的值得

$a+b+3ab=\dfrac{1}{33}$。

2.对于一切不小于 $2$ 的自然数 $n$，关于 $x$ 的一元二次方程 $x-(n+2)x-2n=$ 的两个根记作 $a_n$，

$b_n$（$n\geq2$），则

$1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}=$ $-\dfrac{(a_2-2)(b_2-2)(a_3-2)(b_3-2)\cdots(a_{2007}-2)(b_{2007}-2)}{4016}$。

解：由根与系数的关系得 $a_n+b_n=n+2$，$a_n\cdot

b_n=-2n$。所以，$(a_n-2)(b_n-2)=a_nb_n-2(a_n+b_n)+4=-

2n^2-2(n+2)+4=-2n(n+1)$。因此。

begin{aligned} 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}&=-

\dfrac{(a_2-2)(b_2-2)(a_3-2)(b_3-2)\cdots(a_{2007}-

2)(b_{2007}-2)}{(2\cdot 3)(3\cdot 4)\cdots(2007\cdot 2008)} \\ &= -\dfrac{(-2\cdot 3)(-4\cdot 5)\cdots(-4014\cdot 4015)}{(2\cdot 3)(3\cdot 4)\cdots(2007\cdot 2008)} \\ &= -\dfrac{1}{4016}

\end{aligned}

3.已知直角梯形 $ABCD$ 的四条边长分别为 $AB=2$，$BC=CD=10$，$AD=6$，过 $B$、$D$ 两点作圆，与

$BA$ 的延长线交于点 $E$，与 $CB$ 的延长线交于点 $F$，则 $BE-BF$ 的值为 $4$。

解：延长 $CD$ 交圆 $O$ 于点 $G$，设 $BE$，$DG$ 的中点分别为点 $M$，$N$，则易知 $AM=DN$。因为

$BC=CD=10$，由割线定理，易证 $BF=DG$，所以 $BE-

BF=BE-DG=2(BM-DN)=2(BM-AM)=2AB=4$。

4.若 $100a+64$ 和 $201a+64$ 均为四位数，且均为完全平方数，则整数 $a$ 的值是 $17$。

解：设 $100a+64=m$，$201a+64=n$，则 $32\leq

m,n<100$。两式相减得 $101a=n-m$，因为 $101$ 为质数，所以 $a$ 是 $101$ 的倍数。又因为 $32\leq m,n<100$，所以

$0\leq a\leq 17$。代入 $a=1,2,\ldots,17$，发现只有 $a=17$ 时$m$ 和 $n$ 均为完全平方数。

101a=n^2-m^2=(n+m)(n-m)，因为101是质数，且-101

第二试（A）

一、（本题满分20分）设m,n为正整数，且m≠2，如果

对一切实数t，二次函数y=x^2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t+n，求m,n的值。

解：因为一元二次方程x+(3-mt)x-3mt=0的两根分别为mt

和-3，所以二次函数y=2x^2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个

交点间的距离为mt+3.由题意，mt+3≥2t+n，即(mt+3)≥(2t+n)，即(m-4)t+(6m-4n)t+9-n≥0.由题意知，m-4≠0，且上式对一切实

数XXX成立，所以2≤m，且

24(mn-6)≤0。

即mn≤6.所以，m≥2，且

m=3，n=1；或m=6，n=2.

二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD是梯形，点

E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，

过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N。证明：∠AFN=∠DME。

证明：设MN与EF交于点P。因为NE//BC，所以

△PNE∽△PBC，故PB/PC=PE/PN。又因为ME//BF，所以△PME∽△PBF，故PB/PC=PF/PM。因此，

PB×PE=PN×PC=PM×PF。又因为∠XXX∠MPE，所以

△PNF∽△PMC，故∠PNF=∠PMC，故NF//MC，因此

∠ANF=∠EDM。又因为ME//BF，所以∠FAN=∠XXX。因此，∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED，即∠AFN=∠DME。

三、（本题满分25分）已知a是正整数，如果关于x的方程x+(a+17)x+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根。

解：观察易知，方程有一个整数根x=1.将方程的左边分解因式，得

x-1)(x+8)(x+a+9)=0.

因为另外两个根也是整数，所以x+a+9的因数只可能是

±1,±2,±4,±7,±8,±14,±28,±56.因此，a+9的值只可能是-10,-11,-13,-16,-17,-23,-37,-65.只有a=56-(1+8+9)=38时，方程的另外两

个整数根为-8和-9.

因为$a$是正整数，所以关于$x$的方程

$x^2+(a+18)x+56=0$的判别式$\Delta=(a+18)^2-224$大于零，

它一定有两个不同的实数根。而原方程的根都是整数，所以方程$x^2+(a+18)x+56=0$的根都是整数，因此它的判别式

$\Delta=(a+18)^2-224$应该是一个完全平方数。设$(a+18)^2-224=k^2$（其中$k$为非负整数），则$(a+18)-

k=224/(a+18+k)$。显然$a+18+k$与$a+18-k$的奇偶性相同，且$a+18+k\geq18$，而$224=112\times2=56\times4=28\times8$，

所以$(a+18+k)(a+18-k)=224$。因为$a$是正整数，所以只可能$a+18+k=112$且$a+18-k=2$，或$a+18+k=56$且$a+18-k=4$，

或$a+18+k=28$且$a+18-k=8$。解得$a=39$或$a=12$。当

$a=39$时，方程$x^2+57x+56=0$，它的两根分别为$-1$和$-

56$。此时原方程的三个根为$1$，$-1$和$-56$。当$a=12$时，方程$x^2+30x+56=0$，它的两根分别为$-2$和$-28$。此时原

方程的三个根为$1$，$-2$和$-28$。

二、设$m,n$为正整数，且$m\neq2$，二次函数$y=x+(3-mt)x-3mt$的图象与$x$轴的两个交点间的距离为$d_1$，二次函数$y=-x^2+(2t-n)x+2nt$的图象与$x$轴的两个交点间的距离为$d_2$。如果$d_1\geq d_2$对一切实数$t$恒成立，求$m,n$的值。

解：因为一元二次方程$x+(3-mt)x-3mt=0$的两根分别为$mt$和$-3$，所以$d_1=mt+3$；一元二次方程$-x^2+(2t-

n)x+2nt=0$的两根分别为$2t$和$-n$，所以$d_XXX所以，$d_1\geq d_2\iff mt+3\geq 2t+n\iff (m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-

n^2\geq0$。由题意知，$m-4\neq0$，且$(m^2-4)t^2+(6m-

4n)t+9-n^2$对一切实数$t$恒成立，所以$m>2$，且

$\Delta=(6m-4n)^2-4(m^2-4)(9-n^2)\leq0$。解得$24(mn-

6)\leq0$，即$mn\leq6$。因为$m,n$是正整数，所以只可能$m=3$且$n=2$。

二、（本题满分25分）同（B）卷第二题。

三、（本题满分25分）设$a$是正整数，二次函数

$y=x^2+(a+17)x+38-a$，反比例函数$y=\frac{56}{x}$。如果两

个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求$a$的值。

解：设交点为$(x,y)$，则方程组为：

begin{cases}

y=x^2+(a+17)x+38-a \\

y=\frac{56}{x}

end{cases}

消去$y$得到：

x^3+(a+17)x^2+(38-a)x-56=0

将其分解因式得：

x-1)(x^2+(a+18)x+56)=0

显然$x=1$是方程的一个根，因此交点$(1,56)$是两个函数的一个交点。又因为$a$是正整数，所以方程

$x^2+(a+18)x+56=0$的判别式$\Delta=(a+18)^2-224$应该是一个完全平方数。

设$\Delta=k^2$，则有$(a+18)^2-k^2=224$，即

$(a+18+k)(a+18-k)=224$。由于$224=2^5\times 7$，所以有以下可能的情况：

1.$a+18+k=112$，$a+18-k=2$，解得$a=39$；

2.$a+18+k=56$，$a+18-k=4$，解得$a=12$；

3.$a+18+k=28$，$a+18-k=8$，无解。

因此，只有$a=39$或$a=12$时满足条件。当$a=39$时，方程$x^2+57x+56=0$的两个实根为$-1$和$-56$，此时交点为$(-1,-56)$和$(-56,-1)$，不符合题意。当$a=12$时，方程

$x^2+30x+56=0$的两个实根为$-2$和$-28$，此时交点为$(-2,-28)$和$(-28,-2)$，符合题意。

因此，$a=12$。

三、（本题满分25分）已知二次函数

$y=2x^2+(2a+23)x+10-7a$和反比例函数$y=\frac{2}{11-3a}$的

图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求$a$的

值和对应的公共整点。

解：联立方程组消去$y$得$2x+(2a+23)x+(10-

7a)=\frac{2}{11-3a}$，化简得$(2x-1)x^2+(a+12)x+11-3a=0$，

设其有整数根$x_0$，则判别式$\Delta=(a+12)^2-4(11-

3a)(2x_0-1)$是完全平方数。

因为$\Delta=a+36a+100=(a+18)^2-224$，所以$(a+18)^2-224=k^2$，即$(a+18+k)(a+18-k)=224$。由于$224=2^5\times7$，所以$(a+18+k)$和$(a+18-k)$都是偶数，且它们的奇偶性相同。又因为$a$是正整数，所以$a+18+k>a+18-k\geq18$。

解方程组得$(a+18+k,a+18-k)=(112,2),(56,4),(28,8)$或$(16,14)$。因为$k$是非负整数，所以只有$(a+18+k,a+18-

k)=(112,2)$和$(56,4)$满足条件。解得$a=39$或$a=12$。

当$a=39$时，方程$(2)$即$x+51x-106=0$，它的两根分别

为$2$和$-53$，易求得两个函数的图象有公共整点$(2,-53)$和$(-53,2)$。

当$a=12$时，方程$(2)$即$x+24x-25=0$，它的两根分别为$1$和$-25$，易求得两个函数的图象有公共整点$(1,-25)$和$(-25,1)$。