二元关系与函数
第四章二元关系与函数
一、选择：
1．设集合A={a, b, c}，R={
2．集合A={a, b, c, d, e, f, g}，A上的一个划分π={{a, b}, {c, d, e}, {f, g}}，则π所对应的等价关系R应有个有序对。
①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27
3．A={2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}，R是A上的整除关系，则A的极大元是；极小元是。
①2和3 ②2, 3和5 ③10和24 ④10, 12, 24
⑤24和6 ⑥只有24 ⑦1 ⑧1, 2, 3, 4, 5
4．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系。子集B={2, 4, 6, 8}，则B的最小元是；B的最大元是。
①8 ②1 ③2 ④12 ⑤不存在
5．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}，R是A上的整除关系，子集B={1, 2, 3, 4}，则B 的上界是；B的下界是。
①1 ②6和8 ③1和2 ④24和36
⑤只有24 ⑥只有36 ⑦10, 24, 36 ⑧8, 24, 36
6．A={1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 24, 36}，R是A上的整除关系。子集{4, 6, 12}的上确界是；下确界是。
①1 ②2 ③4 ④3 ⑤24 ⑥12 ⑦18 ⑧36
7．设A={a, b, c}，B={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A到B的二元关系，且R1={
①R1和R2②R1③R2④R3⑤R1和R3⑥R2和R3⑦R1, R2和R3
8．设A={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A上的二元关系，且R1={<1, 2>, <1, 3>, <1, 1>}, R2={<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}，R3={<1, 1>, <2, 3>, <3, 2>}，则这三个二元关系中的逆关系
可定义为A到A的函数。
①R1-1, R2-1, R3-1②R1-1③R2-1④R3-1
⑤R1-1和R2-1⑥R1-1和R3-1⑦R2-1和R3-1
9．设A={1, 2, 3}，f, g, h是A到A的函数，其中f(1)=f(2)=f(3)=1；g(1)=1，g(2)=3，g(3)=2；h(1)=3，h(2)=h(3)=1，则是单射函数；是满射函数；
是双射函数。
①f②g③h④f和g⑤f和h⑥g和h
10．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f(n)=2n+1，g(n)=n2，则复合函数f?f(n)= ，g?g(n)= ，f?g(n) ，g?f(n) 。
①n3②n4 ③4n+3 ④4n+2 ⑤2n2+1 ⑥(2n+1)2⑦4n+1
二、综合练习题：
1． 设A ={a , b }, B ={x , y }，求A ?B , A ?A , B ?B , B ?A 。 2． 设A ={1, 2}，求P(A ?A )和A ?P(A )。
3．
设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，当x , y ∈A 且x 和y 都是素数时，
设A ={1, 2, 3, 4, 6, 8}，R 是A 上的整除关系，S 是A 上的小于等于关系，求R
∪S 和R ∩S 的表格表示、关系矩阵和关系图。 5．
设A ={a , b , c }，R 是A 上的二元关系，R ={, , , ,
问：R 是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？ 6．
设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，R 是A 上的模4同余关系，证明R 是等价关
系，写出R 的表格表示和图形表示。 7．
设A ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}， R 是A 上的模3同余关系，写出R 的所有不
同的等价类。 8．
设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 24}，R 是A 上的整除关系，试画出R 的哈
斯图。 9．
设是偏序集，A ={a , b , c , d , e }，下图是R 的关系图，试将其改画成哈斯
图。
10． 设是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24}，≤是整除关系，试写出
A
的极大元、极小元、最大元、最小元。
11． 下图a , b , c 分别是三个偏序关系的哈斯图，试写出各图中的极大元和极小元，并指出哪个图中有最大元或最小元。
(a) (b) (c)
12． 设是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 60}，R 是A 上的整除关系，子集B ={2, 4, 6, 12}，试写出B 的极大元、极小元、最大元、最小元。
13． 设是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 28}，R 是A 上的整除关系，求子集{1, 2, 7}和子集{3, 4, 5, 7, 14}的上界、下界、上确界和下确界。 14． 偏序集的哈斯图如下，求B ={e , f , g }的上界、上确界、下界和下确界。
15． 设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，R ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 3>, <3, 4>, <5, 1>, <5, 4>}，求t (R )。 16．
e
f
k
二元关系与函数
第四章二元关系与函数 一、选择： 1．设集合A={a, b, c}，R={
6．A={1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 24, 36}，R是A上的整除关系。子集{4, 6, 12}的上确界是；下确界是。 ①1 ②2 ③4 ④3 ⑤24 ⑥12 ⑦18 ⑧36 7．设A={a, b, c}，B={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A到B的二元关系，且R1={
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作
不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集，则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取
第五组 二元关系和函数 题目及答案
选择（单选） 1. 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中不一定是等价关系的有 ( ) A、R∪S B、R∩S C、R－S D、R⊕S 2. 设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={
填空 1. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是 __________________________ _____________, 其中双射的是 __________________________. α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}; α3, α4. 2. 设A={a,b,c}考虑以下子集 S1={{a,b},{b,c}} S2={{a},{a,b},{a,c}} S3={{a},{b,c}},S4={{a,b,c}} S5={{a},{b},{c}} S6={{a},{a,c}} 则A的覆盖有A的划分有 S1, S2, S3, S4, S5 S3，S4, S5 3. 偏序集
6二元关系4
离散数学第二章二元关系 第六节等价关系第七节序关系
). ()(3); ()(2); ()(1R ts R st R tr R rt R sr R rs ?==）））定理 设R 是A 上的关系。 ).()()()()()(R str R srt R rst R rts R tsr R trs ==?==定理 对集合A 上的任意关系，trs(R)是包含R 并同时有自反、对称、传递特性的最小关系。
简化关系图：将关系图中每个结点的环略去、两结点间的双向边用一条无向边替代，这样简化后得到的图。
简化关系矩阵：设M R =(a ij )。用M R 中的元素构造出的如下三角阵： 12112132313 212 --n nn n n n x x x a a a x a a x a x ????????? ???????????101010011000111011 0001001010110010111451051914601010 203100014501110500191 14
1）关系图法 先画出R的简化关系图，则其中每个“极大完全多边形”的顶点的集合，就是R的一个极大相容类。“完全多边形”指任两个结点间都有一条无向边，“极大”指只要再给它增添简化关系图中另外一个结点，它就不是完全多边形。
2）关系矩阵法 (1)列出R 的简化关系矩阵； (2)R 的所有第n 级相容类为{x 1},{x 2},…,{x n }； (3)若n=1，则终止； (4)若n>1，则i←n -1； (5)A←{x j |a ji =1且i