数学建模--葡萄酒的分级(正式版)

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子

邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关

的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其

他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式

在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违

反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 郑晓东

2. 罗璐

3. 宫维静

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2013 年 05月

10 日

葡萄酒质量的综合评价分析

摘要

近年来，随着人们生活水平的提高，葡萄酒也随之受到人们的喜爱，加之食品科学技术的提高，人们对葡萄酒的品质也有了更高的要求，本文就针对葡萄酒品质的相关问题进行建模，求解和有关分析。

对问题一，首先基于两组评酒员对同一批葡萄酒的评价分数数据，采用假设检验中的t检验法建立评估两组数据差异的模型，运用Spss软件求解，得到两组数据存在显著性差异的结论，其次，通过计算两组数据的方差，用以比较稳定性，得到第二组更可信的结论。

对问题二，首先对酿酒葡萄理化指标数据进行标准化处理，经过主成分分析法将葡萄分为四个等级，其次，按可信度高的一组（第二组）得分将葡萄酒分为五级，综合两种分级，将酿酒葡萄分为了——级。

对问题三，首先同问题二对酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标进行主成分分析，用Matlab的曲线拟合得到葡萄酒的得分,分别与酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的函数关系，再进行反解即得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间联系。

对问题四，采用灰色关联度分析的方法进行求解，分别求出酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒质量的关联度、葡萄酒理化指标与其质量的关联度，通过关联度值的大小，即可看出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响大小，并以此为基准来论证酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标能否用来评价葡萄酒的质量。

关键词：t检验主成分分析曲线拟合灰色关联度分析

一、问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信

2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量

二、问题分析

问题一

本题给出了两组评酒员对同一批葡萄酒的评价分数，在本文，采用假设检验中的t检验建立评估两组数据差异性的模型，研究两组评论员的评价是否存在差异，判断能否接受它们存在显著性差异的假设。若接受，则继续第二步：可靠性分析，分别对两组数据求方差，方差小的说明波动小，既评酒员的评价较稳定，可靠性高。

问题二

首先，我们利用问题一得到的结果，对可靠性高的一组数据进行处理，降低评论员之间的差异，提高葡萄酒样品最终得分的可靠度。按得分对葡萄酒进行分级。

然后，用标准化处理后的酿酒葡萄的理化指标对葡萄进行主成分分析。

最后，结合葡萄酒的分级对酿酒葡萄进行分级。

问题三

首先，用处理酿酒葡萄的理化指标的方法对葡萄酒的理化指标做同样的处理，得到葡萄酒理化指标的主成分。

然后，分别根据主成分获得红葡萄和红葡萄酒的的得分。通过曲线拟合，分别建立红葡萄得分和专家的评分之间的关系；红葡萄酒得分和专家评分之间的关系。

最后，根据两种理化指标和专家的评分之间的关系，建立两种理化指标之间的关系。

问题四

运用灰色关联度分析的方法，定量描述酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，以此为基准来论证酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标能否用来评价葡萄酒的质量。

三、问题假设

1．同种葡萄酒在同一组评酒员的得分下成正态分布。 2．一种葡萄对应酿制一种葡萄酒。

3．葡萄的成分充分转化为葡萄酒里的成分，不存在意外的浪费和挥发。

四、符号说明

这里只列出主模型的全局参数，其他局部参数见具体模型。

(1)i J ：第i 个红葡萄酒样品

(1)

ij a ：第i 个红葡萄酒样品的得分

T1：第一组评酒员全体 T2：第二组评酒员全体

五、模型的建立与求解

模型一：基于t 检验建立差异评估模型

我们采用假设性检验验证是否能接受两组评酒员的评价结果存在显著性差异的假设。然后用方差分析两组评酒员评价数据的波动，认为较平稳的一组比较可靠。

、数据预处理

我们在分析数据是发现了几个显著性的异常数据：

第一组红酒数据——样品20——色调——评酒员4号 数据缺失 第一组白酒数据——样品3——持久性——评酒员7号 怀疑多了一个7 第一组白酒数据——样品8——口感分析——评酒员2号 数据明显异常 因为随机样本在均值附近振荡，所以我们选用均值来代替异常数据以求误差最小。

t 检验模型的建立

21,T T 分别代表第一，第二组整体，分别对红葡萄酒i R （i=1,2， (27)

和白葡萄酒

i

W （i=1,2,…,27）进行感官评价，1T 的评价结果通过组内的每一

评酒员的评分的均值来表示。同样的，T2的评价结果通过组内的每一评酒员的评分的均值来表示。

从而得到两组评论员分别对红葡萄酒的评价结果见表一：

表1 红葡萄酒的评价结果

表中对于同一酒样品的两个评价差异是由两个评酒员引起的，为鉴定他们的评价结果有无显著性差异，可对两组数据对同一样品的差值进行分析，既表中的D 。

以红葡萄酒为例：有27对相互独立的评价结果（X1，Y1）（X2，Y2）...（X27,Y27）,D1=X1-Y1,D2=X2-Y2,...,D27=X27-Y27，由于Di （i=1,2， (27)

是由同一因素造成的，可认为它们服从同一分布。现假设Di~N （D μ，2D σ），i=1,2…,27,且D μ，2

D σ未知，基于这一样本检验假设：

0:,0:100≠=D H H μμ （1）

分别记

1227

,,,D D D L 的样本均值和样本方差的观测值为d ，2

D s 。对

1227

,,,D D D L 进行单个均值的t 检验，检验问题的拒绝域为（显著水平为

α）：

2(1)t t n α=

≥-. （2）

当t 的值不落在拒绝域内时，接受0H ，既认为两组评价无显著性差异。否则，两组评价有显著性差异。

对白葡萄酒的处理同红葡萄酒。 2）模型的求解

现以红葡萄酒为例求解，首先，作出同一酒样品(1)i J (1,2,,27)i =L 分别由两组品酒员1T 、2T 得到的评价结果之差,列于表一的第三行，根据建立的模型检验假设：

01:0,:0D D H H μμ=≠. （3）

取α=，运用spss 软件求解得到表二：

表二 t 检验求解结果

根据上表得到的Sig=<,所以拒绝接受，即认为两组品酒员的评价结果有显著性差异。 可信度定量分析

记第一组10位品酒员对红葡萄酒样品

(1)i J (1,2,,27)i =L 的评分为(1)ij a (1,2,,10)

j =L

10(1)

(1)1

110i

ij j a a ==∑，10(1)(1)2

(1)2111()10i ij i j s a a ==-∑ （4）

其中，(1)

i a 表示第一组品酒员对红葡萄酒样品(1)i J 的评分均值，(1)2

1i s 表示

(1)i J 的评分方差；同样，第二组对红葡萄酒样品(1)i J 的评分均值和方差分别为

10(1)

(1)1

110i

ij j c c ==∑，10(1)(1)2

(1)2211()10i ij i j s c c ==-∑ （5）

从而对每一组品酒员得到一个评分方差向量

(1)2(1)2(1)2(1)211112127(,,,)S s s s =L

(1)2

(1)2(1)2(1)222122227(,,,)S s s s =L

同理可求得白葡萄酒的

(2)2

1S ，

(2)22

S 。再对(1)21S 和(1)22S 中的元素分别求和得

到总方差，对于同一批红葡萄酒用总方差来代表两组不同的评价水平。总方差小的稳定性好，评价结果是更可信的。

运用excel 软件可以求解得到(1)21S ，(1)22S ，(2)21S 和(2)22S 。得到(1)2

1S = ，(1)2

2

S =，(2)21S =，(2)22S =。不管是红葡萄酒还是白葡萄酒，第一组的总方差总是远

远大于第二组。说明第二组的评价结果更为可信。 5.2 模型二：

对于问题二，是要基于酿酒葡萄的理化性质和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级，因此，对于模型二可分为三步进行，即：

1) 根据酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄进行分级； 2) 根据评酒师的评分对葡萄酒的质量进行分级； 3) 综合两种因素，对酿酒葡萄进行分级。 根据酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄进行分级

根据附录给出的酿酒葡萄的理化指标，可以看出，有些理化指标含量很低，有些理化指标含量很高。所以对于此种情况，我们采用主成分分析法对附录中的理化指标进行处理，将理化指标分为几种主成分，然后根据主成分对酿酒葡萄进行打分，通过得分对酿酒葡萄进行分级。

对于不同的理化指标可能存在着不同的量纲，因此在进行主成分分析之前应对酿酒葡萄的理化指标进行标准化处理。处理方法如下： 将原始数据标准化，即做如下数据变换：

（6）

其中 ， ，j = 1，2，…，p 。标准化后的数 *1,2,...,;1,2,...,ij j

ij j

x x x i n j p

s -===1

1n

j ij i x x n ==∑221

1()1n j ij j i s x x n ==--∑

据阵记为X *，其中每个列向量（标准化变量）的均值为0，标准差为1，数据无量纲。

标准化后变量的协方差矩阵（Covariance Matrix ）Σ = (s ij )p p ，即原

变量的相关系数矩阵（Correlation Matrix ）R= (r ij )p

p ：

i ，j = 1，2，…，p （7） 此时n 个样品在m 个主成分上的得分应为：

F j = a 1j X 1* + a 2j X 2* +...+ a pj X p * j = 1，2，…，m （8）

主成分分析法的步骤如下： 步骤一：计算协方差矩阵

计算样品数据的协方差矩阵：Σ = (s ij )p

p ，其中

i ，j = 1，2，…，p （9）

步骤二：求出Σ的特征值及相应的特征向量 求出协方差矩阵Σ的特征值1

2…

p >0及相应的正交化单位特征向

量：

1

1()()1n

ij ki i kj j k s x x x x n ==---∑??????

?

??=???

???? ??=??????? ??=pp p p p p p a a a a a a a a a a a a ......,,...,...21222122121111**1

1222

2

1

1

1

1

()()

1111()()()()11

n

ki

i kj j n

n ki i

k ij

ki kj ij

n

n

n

n

k k ti i tj j ti

i tj

j t t t t x

x x x x x x s x x r n n x x x x x

x x

x n n =======---===

=--------∑∑∑

∑

∑∑

则X 的第i 个主成分为F i = a i 'X i = 1，2，…，p 。 步骤三：选择主成分

在已确定的全部p 个主成分中合理选择m 个来实现最终的评价分析。一般用方差贡献率

（10） 解释主成分F i 所反映的信息量的大小，m 的确定以累计贡献率

（11）

达到足够大（一般在85%以上）为原则。 步骤四：计算主成分得分

计算n 个样品在m 个主成分上的得分：

i=1,2,3,……，m （12）

模型的求解

利用MATLAB 软件编程，对酿酒葡萄的理化指标进行主成分分析（以红葡萄的指标为例），根据累计贡献度大于85%的原则筛选，得到的前12个特征值及其贡献度率如表所示：

表三 酿酒红葡萄理化指标的主成分分析结果

1

/p

i i k

k αλλ==∑1

1

()/p

m

i k

i k G m λλ===∑∑1122...i i i pi p

F a X a X a X =+++

序号特征值贡献度

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分表达式为：

(13)

得分如下所示：

品种123456789得分-2.1822-0.36180.1567 1.2699-0.0978-0.33880.2743-1.259-0.4818

品种101112131415161718得分-0.5547-1.24770.8408-0.101-0.2899-0.7194-0.0704-0.1212-1.0973

品种192021222324252627得分0.4220.5899-0.3420.70010.009-0.12480.15270.02040.2406

表四酿酒葡萄的得分

根据得分的大小对酿酒葡萄进行分级

中上级酿酒葡萄：4,12,22,20

中级酿酒葡萄：19,7,27,3,25,26,23,16,5,13,17,24,14

中下级酿酒葡萄：6,21,2,9,10,15, 18

下级酿酒葡萄：11,8,1

根据评酒师的评分对葡萄酒的质量进行分级

对于“根据评酒师的评分对葡萄酒的质量进行分级”这一问题，我们认为品质优良的葡萄酿出来的葡萄酒的品质也应是优良的。它们之间存在着一一对应关系。所以可以通过专家评委们的打分对葡萄酒进行分级。

根据我们对问题一模型的求解，得知第二组评委的评分更可信，所以针对于第二组评委对每种葡萄酒的综合得分的平均值进行排序，如下所示：

葡萄酒样品的分级标准：

80~85分：高级葡萄酒

75~80分：中上级葡萄酒

70~75分：中级葡萄酒

65~70分：中下级葡萄酒

60~65分：下级葡萄酒

所以采用上面的分级标准，可将27中葡萄酒分为如下级别：

中上级葡萄酒：9，23,20

中级葡萄酒：3,17，2,14,19,21,5,26，22,24,27,4

中下级葡萄酒：16,10,13,12,25,1,6,8,15,18,7

下级葡萄酒：11

综合两种因素，对酿酒葡萄进行分级

综合两种因素分级的结果，对酿酒葡萄进行综合评价，并得到酿酒葡萄的分级。具体步骤如下：

1.分别对两种分级结果进行编号：

1)中上级葡萄酒编号为0

2)中级葡萄酒编号为1

3)中下级葡萄酒编号为2

4)下级葡萄酒编号为3

对酿酒葡萄的分级结果编号同上。

2.计算同一样品在两种不同情况下的编号与编号0的差值，分别记为

，，并计算总差值=+。

3.根据总差值的大小对酿酒葡萄进行分级。

酿酒葡萄的分级标准：

0~1：中上级酿酒葡萄

2：中级酿酒葡萄

3~5：中下级酿酒葡萄

6：下级酿酒葡萄

分级结果为：

中上级酿酒葡萄：20,23,22,4

中级酿酒葡萄：12,9,3,19,17,27,24,26,5,14，

中下级酿酒葡萄：7,25,16,13,6,21,2,10,15,1811,8

下级酿酒葡萄：1

模型三

对于问题三，我们同样采用主成分分析法，得到葡萄酒的主成分记为G

i i=1,2，n，n为主成分的个数。

应用Matlab软件编程，对葡萄酒的主成分进行求解（以红葡萄酒为例）根据累计贡献度大于85%的原则筛选，得到的前5个特征值及其贡献度率如表所示：

表六红葡萄酒理化指标的主成分分析结果

序号特征值贡献度

1

2

3

4

5

得分表达式：

得分如下所示：

经分析直接求解葡萄酒理化指标与酿酒葡萄理化指标之间的联系难度较大，但我们发现它们都可与葡萄酒质量建立数学关系，将葡萄酒质量作为因变量，葡萄酒理化指标与酿酒葡萄理化指标的主成分分别作为自变量，采用曲线拟合，即可分别得到两理化指标与葡萄酒质量间的数学关系，再反解出两指标间的数学关系，这样不但简化了求解过程而且可减小误差。

根据曲线拟合的方法对酿酒葡萄理化指标的主成分和评委的得分之间建立函数关系为

y=^8+^^^5- ^4+^3+^+

-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.5

2.6

2.83

3.23.43.63.84

4.2

图一 酿酒葡萄理化指标的主成分与评委得分的关系图

根据曲线拟合的方法对葡萄酒理化指标的主成分和评委的得分之间建立函数关系为

y=^^^5+^4+^3+^+

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

33.13.23.33.43.53.63.73.83.9

4

图二 葡萄酒理化指标的主成分和评委的得分的关系图

-1.5

-1-0.500.51 1.5

01

2

3

4

5

6

24

图三 酿酒葡萄理化指标的主成分和葡萄酒理化指标的主成分的关系图

模型四：运用灰色关联度求解相互联系

5.4.1问题分析

该问题需要分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，为方便运算，我们分别考虑酿酒葡萄的理化指标对葡萄酒质量的影响与葡萄酒的理化指标对酿酒葡萄的影响，为此我们引入灰色关联度的概念。灰色关联度能够定量描述事物或因素相互变化的情况，即变化的大小，方向和速度方面的关系。关联度越大，代表相互间联系越紧密，变化态势越一致，反之，若变化态势越不一致，则关联度越小。

5.4.2模型的建立与求解

灰色关联度方法的计算介绍：

1)原始数据的标准化

由于原始数据存在数量级和量纲的差异性，所以先进行标准化而方便进行计算。

=，= k=1，2，3……n

2)关联度的计算

经数据处理后的参考数列为:

比较数列为;

i=1,2,3……m

从几何角度看，关联程度实质是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度，参考数列与比较数列曲线形状接近，则两者关联度较大；反之参考数列与比较数列曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量指标。

则：

k=1，2，3，……，n

两极最大值和最小值：