中考数学压轴题典型题型解析

中考数学压轴题精选精析

37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）

如图，

在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二

次方程的两个根，且 （1）求的值．

（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？

（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理

由．

（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得

·············································································· 1分

在中，由勾股定理有

········································································ 1分 （2）∵点在轴上， ········································································ 1分

ABCD 6AD =，OA OB x 2

7120x x -+=OA OB >．sin ABC ∠E x 16

3

AOE S =

△，D E AOE △DAO △M AB F ，A C F M

F 2

7120x x -+=1243x x ==，OA OB >43OA OB ∴==，Rt AOB △225AB OA OB =+=4

sin 5

OA ABC AB ∴∠=

=E x 163

AOE S =

△11623AO OE ∴?=8

3

OE ∴=

880033E E ????∴- ? ?????

，或，x

y A

D

B O C

28题图

由已知可知D （6，4）

设当时有 解得 ················································································ 1分 同理时， ······················································· 1分 在中， 在中， ············································································ 1分

（3）满足条件的点有四个

····························· 4分

说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分.

38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分） 直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段

运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→

运动．

（1）直接写出两点的坐标；

（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

DE y kx b =+，803E ?? ???

，

46803k b k b =+???

=+??65165k b ?=????=-??

∴616

55

DE y x =

-803E ??

- ???

，

6161313

DE y x =+AOE △8

9043

AOE OA OE ∠===°

，，AOD △9046OAD OA OD ∠===°，，OE OA

OA OD

=AOE DAO ∴△∽△123475224244(38)(30)1472525F F F F ????----- ? ?????

，；，；，；，3

64

y x =-

+A B 、P Q 、O A Q OA P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 48

5

S =

P O P Q 、、M P

B

y

（09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）A （8，0）B （0，6） ································· 1分

（2）

点由到的时间是

（秒） 点的速度是

（单位/秒） · 1分 当在线段上运动（或0）时，

·········································································································· 1分

当在线段上运动（或）时，, 如图，作于点，由

，得， ····························· 1分 ······································································· 1分

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3） ···························································································· 1分

···················································· 3分

注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分． 39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO 分)

86OA OB ==，10AB ∴=Q O A 8

81

=∴P 610

28

+=P OB 3t ≤≤2OQ t OP t ==，2S t =P BA 38t <≤6102162OQ t AP t t ==+-=-，PD OA ⊥D PD AP BO AB =4865

t

PD -=21324

255

S OQ PD t t ∴=?=-+82455P ?? ???

，12382412241224555555I M M 2??????-- ? ? ???????

，，，，，

（09年黑龙江绥化28题解析）

40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F

处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO

(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝

，Q 为AE 上一点且QF ＝，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC

上是否存

；

四边形四边形CNMN CFGH

S S m

313

2

在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。

（09年湖北鄂州27题解析）（1）EO ＞EC ，理由如下：

由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分 （2）m 为定值

∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC) S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC) ·CO ∴ ……………………………………………………4分

（3）∵CO=1， ∴EF=EO= ∴cos ∠FEC=

∴∠FEC=60°， ∴ ∴△EFQ 为等边三角形，

…………………………………………5分

作QI ⊥EO 于I ，EI=

，IQ= ∴IO=

∴Q 点坐标为

……………………………………6分 ∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q

，m=1

1

==

CMNO CFGH

S S m 四边形四边形3231

=

=QF CE ，QF ==-3

2

31121

?=∠∠=?=?

-?=

∠30602

60180EAO OEA FEA ，32

=

EQ 3

1

21=EQ 3323=EQ 31

3132=-)31,33()31

,33(

∴可求得，c=1

∴抛物线解析式为

……………………………………7分

（4）由（3），

当时，＜AB ∴P 点坐标为 …………………8分 ∴BP=AO 方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下： ①时，∴K 点坐标为或 ②时， ∴K 点坐标为或…………10分

故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为

…………………………………………12分

方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时， ②当∠RTP=60°时，

∴

……………………………12分 41.（09年湖北恩施州）24.如图，在中，∠°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.

3-=b 1

32

+-=x x y 332

3=

=EO AO 332=

x 3

1

13323)332(2=+?-=y )3

1

,332(

3

2311=-

3

3

232

32=BK 932=BK )1,934(

)1,93

8(32

32

3

32=BK 332=

BK )1,33

4(

)1,0()1,0()31

,0()37,0()35,0(或或或--2333

2=?=

RT 323332=÷=

RT )

1,0()3

1,0()35,0()37

,0(4321T T T T ，，，--ABC ?A 90=10=BC ABC ?25D AB D A B D DE BC AC E x DE =DE ADE DE A '?DBCE

（1）．用x 表示?ADE 的面积;

（2）．求出﹤≤时y 与x 的函数关系式； （3）．求出﹤﹤时y 与x 的函数关系式； （4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？

（09年湖北恩施州24题解析）解:(1) ∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC ∴

即 3分 (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤ 时 6分 （3）﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S △A 'DE =S △ADE =

∴DE 边上的高AH=AH '= 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知

0x 55x 10x y 2

)(BC

DE S S ABC ADE =??2

4

1x S ADE =

?5≤x 2

4

1x S y ADE =

=?x ≤524

1x x 2

12

DE A'MN A')H A'F A'(=??S S 2MN A')5(-=?x S C

B

A

∴ 9分 （4）在函数中 ∵0﹤x ≤5

∴当x=5时y 最大为：

10分 在函数

中

当时y 最大为： 11分 ∵

﹤ ∴当时，y 最大为： 12分 42.（09年湖北黄冈）20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线

与x 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)

(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜

时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．

（09年湖北黄冈20题解析）解：（1），令得，25104

3

)5(41222-+-=--=

x x x x y 2

4

1x y =4

25

25104

3

2-+-=x x y 3202=-

=a b x 3

254253

25320=

x 3

25

214

10189

y x x =

--9

2

21(8180)18

y x x =

--0y =2

81800x x --=

∴或∴；………………………1′ 在中，令得即；………………2′ 由于B C ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由得或 即且易求出顶点坐标为……………………………………3′ 于是，，顶点坐标为。…………………4′ （2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于Q C ∥PA 。故只要QC=PA 即可，而

故得；……………………7′ （3）设点P 运动秒，则，，说明P 在线段OA 上，且不与点OA 、重合，

由于Q C ∥OP 知△QD C ∽△PDO ，故

∴∴…………………9′ 又点Q 到直线PF 的距离，∴， 于是△PQF 的面积总为90。…………………………10′

（4）由上知，，。构造直角三角形后易得

，

① 若FP=PQ ，即，故， ∵∴∴……………………11′ ② 若QP=QF ，即，无的

满足条

()()18100x x -+=18x =10x =-(18,0)A 214

10189

y x x =

--0x =10y =(0,10)B -214

1010189

x x -=

--8x =0x =(8,10)C -98

(4,)9

-

(18,0),(0,10),(8,10)A B C --98

(4,)9

-

184,PA t CQ t =-=184t t -=18

5

t =

t 4,OP t CQ t ==0 4.5t <<1

44

QD QC t DP OP t ===4AF t OP ==18PF PA AF PA OP =+=+=10d =11

18109022

PQF S PF d ?=

=??=(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--0 4.5t <<2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++2

2

18(58)100t =-+2

25(2)

224t +=2

2 6.5t +≤

≤25t +=

=25

t =-22

(58)100(510)100t t -+=++0 4.5t ≤≤t

件；……………12′

③ 若PQ=PF ，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；………………………13′ 综上所述：当时，△PQR 是等腰三角形。…………………………14′ 43.（09年湖北黄石）25．（本小题满分10分）

正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，

在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过

三点．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分） （3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）

（09年湖北黄石25题解析）解：（1）依条件有，． 由知．

∴由得． ∴． 将的坐标代入抛物线方程，

22(58)10018t -+=2

(58)224t -=8414

4.55

t +=

>8414

05

t -=

<0 4.5t ≤≤0 4.5t ≤≤t 414

25

t =

-ABCD A x D y AB y E BC ，x F 1OE =24y ax bx =+-A D F 、、Q D F 、Q x AD M BC N 3

2

FQN AFQM S S =

△四边形AFQM DB P CB H AP PH ⊥AP PH =(04)D -，

(01)E ，OEA ADO △∽△2

4OA OE OD ==(20)A ，Rt Rt ADE ABF △≌△DE AF =(30)F -，

A F 、（第25题图） O y x

B E

A D

C

F

O y x

B E

A D

C

F

N M

Q

得．

∴抛物线的解析式为． ··························································· 3分 （2）设，，． ∴ 设，则 ∴，（舍去） 此时点与点重合，，，，

则为等腰梯形． ·················································································· 3分 （3）在射线上存在一点，在射线上存在一点． 使得，且成立，证明如下：

当点如图①所示位置时，不妨设，过点作，，

，垂足分别为．

若．由得：

， ．

又

． ······························································································ 2分

4240

9340

a b a b +-=??

--=?23a b ?==222

433

y x x =

+-QM m =1(5)||2Q AFQM S m y =

+四边形1

(5)||2

FQN Q S m y =-△3

(5)||(5)||12

Q Q m y m y m +=

-?=()Q a b ，(1

)M a b +，222432(1)4

b a a a

b a ?

=+-?

??=+-?2230a a ?--=1a ∴=-3a =M D QF AM =AF QM >AF QM ∥AFQM DB P CB H AP PH ⊥AP PH =P PA PH =P PQ BC ⊥PM CD ⊥PN AD ⊥Q M N 、、PA PH =PM PN =AN PQ =Rt Rt PQH APN ∴△≌△HPQ PAN ∴∠=∠90PAN APN ∠+∠=°90APN HPQ ∴∠+∠=°AP PH ∴⊥B A N D M C Q H

P ① H

N

A

D C

B M P ③

B

A

D

M C Q

H

P ②

N

当点在如图②所示位置时， 过点作，， 垂足分别为．

同理可证． ． 又，

， ． ······························································································ 1分 当在如图③所示位置时，过点作，垂足为，延长线，垂足为．

同理可证． ． ······························································································ 1分

注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给2分． 44.（09年湖北荆门）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ∥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

（09年湖北荆门25题解析）解：(1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．…………2分

∵AC ∥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4， ∴C (m ，－2)代入得a ＝

．∴解析式为：y ＝(x －m )2－2．…………………………5分 (亦可求C 点，设顶点式)

(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝(x －m )2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 (3)由(1)得D (0，

m 2

－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………………………………………9分 ∴

m 2

－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)． 当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；

当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)

P P PM BC ⊥PN AB ⊥M N ，Rt Rt PMH PAN △≌△MHP NAP ∠=∠MHP HPN ∠=∠90HPA NPA HPN MHP HPM ∠=∠+∠=∠+∠=°PH PA ∴⊥P P PN BH ⊥N PM AB ⊥M Rt Rt PHM PMA △≌△PH PA ∴⊥121

2

1

2

12

12

第25题图

B

D

A

C

O x

y

综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分 45.（09年湖北十堰）25．（12分）如图①， 已知抛物线（a ≠0）与

轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图∥，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

（

09

年

湖

北

十

堰

25

题

解

析

）

解

:

(1)

由

题

知

:

……………………………………1 分 解得: ……………………………………………………………2分

∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分

32++=bx ax y x x ?

?

?=+-=++03390

3b a b a ??

?-=-=2

1

b a 322+=x －－x y

(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )

或P (－1, 6) 或P (－1, )………………………………………………………7分 (3)解法①：

过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a ＋3 )( －3< a < 0 )

∴EF =--2a ＋3，BF =a ＋3，OF =－a ………………………………………………8 分 ∴S 四边形BOCE =

BF ·EF + (OC +EF )·OF =

( a ＋3 )·(－－2a ＋3) + (－－2a ＋6)·（－a ）……………………………9 分 =………………………………………………………………………10 分 =－

+ ∴ 当a =－

时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为 ．……………………………11 分 此时，点E 坐标为 (－

，)……………………………………………………12分 解法②：

过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分 则S 四边形BOCE =

(3 + y )·(－x ) + ( 3 + x )·y ………………………………………9分 = ( y －x )= ( ) …………………………………10 分

= －

+

∴ 当x =－

时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 ． …………………………11分 10103

5

2

a 2

a 212

1

212a 212

a 29

29232+--

a a 232)2

3

(+a 86323

8

63234

15

212

1

2

323332

+x －－x 232)2

3

(+x 86323

8

63

此时，点E 坐标为 (－

，) ……………………………………………………12分 说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.

（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分． （3）其它解法请参照评分说明给分. 46.（09年湖北武汉）25．（本题满分12分）

如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．

（09年湖北武汉25题解析）解：（1）抛物线经过，两点，

解得

抛物线的解析式为．

（2）

点在抛物线上，，

即，或．

点在第一象限，点的坐标为． 由（1）知． 设点关于直线的对称点为点． ，，且，

234

152

4y ax bx a =+-(1

0)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP ∠=°P 2

4y ax bx a =+-(1

0)A -，(04)C ，404 4.

a b a a --=?∴?

-=?，

13.a b =-??

=?

，

∴234y x x =-++(1)D m m +，2

134m m m ∴+=-++2

230m m --=1m ∴=-3m =D ∴D (34)，

45OA OB CBA =∴∠=，

°D BC E (04)C ，CD AB ∴∥3CD =y x

O

A

B

C

y

x

O

A

B

C

D

E

， 点在轴上，且．

，．

即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作于，于．

由（1）有：， ．

，且．

，

． ，，， ． 设，则，，

． 点在抛物线上，

，

（舍去）或，．

方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作

于．

． ，

又，．

，，． 由（2）知，． 45ECB DCB ∴∠=∠=°E ∴y 3CE CD ==1OE ∴=(01)E ∴，D BC PF AB ⊥F DE BC ⊥E 445OB OC OBC ==∴∠=，

°45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠°，(04)(34)C D ，，，CD OB ∴∥3CD =45DCE CBO ∴∠=∠=°32

2

DE CE ∴==

4OB OC ==42BC ∴=52

2

BE BC CE ∴=-=

3

tan tan 5

DE PBF CBD BE ∴∠=∠=

=3PF t =5BF t =54OF t ∴=-(543)P t t ∴-+，P ∴23(54)3(54)4t t t =--++-++0t ∴=2225t =266525P ??∴- ???

，D BD PB Q D DH x ⊥H Q QG DH ⊥G 45PBD QD DB ∠=∴=°，QDG BDH ∴∠+∠90=°90DQG QDG ∠+∠=°DQG BDH ∴∠=∠QDG DBH ∴△≌△4QG DH ∴==1DG BH ==(34)D ，

(13)Q ∴-，y

x

O

A

B

C D

E

P F y

x

O

A

B

C D

P

Q G

H

，直线的解析式为．

解方程组得 点的坐标为．

47.（09年湖北襄樊）26．（本小题满分13分）

如图13，在梯形中，点是的中点，

是等边三角形．

（1）求证：梯形是等腰梯形；

（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设

求与的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．

（09年湖北襄樊26题解析）（1）证明：∵是等边三角形

∴ ········ 1分 ∵是中点 ∴ ∵

∴ ∴ ······················ 2分 ∴

(40)B ，∴BP 312

55

y x =-+23431255y x x y x ?=-++??=-+??，，11

40x y =??

=?，；2225

66.25x y ?

=-????=??，∴P 266525??

- ???

，ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =?∠PC x MQ y ==，，y x P Q P M A B C D y PQC △MBC △60MB MC MBC MCB ===?，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==?∠∠，60DMC MCB ==?∠∠AMB DMC △≌△AB DC =A

D

C

B

P M

Q

60°

图13

∴梯形是等腰梯形． ························································ 3分

（2）解：在等边中，

∴

∴ ··········································································· 4分 ∴ ∴

····················································· 5分 ∵ ∴ ···································· 6分

∴

∴ ························································· 7分 （3）解：①当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ ··················································· 8分 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ ····················································· 9分 ∴当或时，以P 、M 和A 、B 、C 、 D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．

此时平行四边形有4个． ·························································· 10分 ②为直角三角形 ··························································· 11分

∵ ∴当取最小值时， ················································ 12分 ∴是的中点，而

∴∴ ·············································· 13分

ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==?∠∠，60MPQ =?∠120BMP BPM BPM QPC +=+=?∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ

BM BP

=PC x MQ y ==，44BP x QC y =-=-，444x y x -=-2

144

y x x =-+1BP =BP AM BP MD

∥∥，ABPM MBPD 2113

33444

MQ y ==

?-+=3BP =PC AM PC MD

∥∥，MPCD APCM 11311444

MQ y ==

?-+=131

4BP MQ ==，13

34

BP MQ ==，PQC △()2

1234

y x =

-+y 2x PC ==P BC MP BC ⊥，60MPQ =?∠，30CPQ =?∠，90PQC =?∠

48.（09年湖北孝感）25．（本题满分12分）

如图，点P 是双曲线上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，

分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =

（0＜k 2＜|k 1|）于E 、

F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．

①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）

②记，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）

（09年湖北孝感25题解析）解：（1）； ………3分

（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），， ．

∴P A =3，PE =，PB =4，PF =．

∴

，

∴

． ………………………… 6分 又∵∠APB =∠EPF ．

∴△APB ∽△EPF ，∴∠P AB =∠PEF ．

∴EF ∥AB ． …………………………… 7分 ②S 2没有最小值，理由如下：

过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ．

11(00)k y k x x

=

<<，x

k 2

2PEF OEF S S S ??=-21k k -2(4,)4

k E --

2(

,3)3

k F 2

34

k +

243k +22

3121234

PA k PE

k =

=

++

22

4121243

PB k PF

k =

=

++

PA PB

PE PF

=

由上知M （0，），N （

，0），Q （

，）． ……………… 8分

而S △EFQ = S △PEF ，

∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN

＝

＝ =

． ………………………… 10分

当时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12． …………… 11分

∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和

经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用＝来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AE F ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．

2．求S 2的值时，还可进行如下变形：

S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2 S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．

注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；

2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．

24

k -

23

k 23

k 24

k -

4

321212222k

k k k ?++2

2

2112

k k +

221(6)312

k +-2

6k >-tan PAB ∠tan PEF ∠