高数下册总复习知识点归纳

第八、九章 向量代数与空间解析几何总结

向量代数

定义 定义与运算的几何表达

在直角坐标系下的表示

向量 有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r

a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=

,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===r r r

模

向量a 的模记作a

a 222x y z a a a =++

和差

c a b =+ c a b =－

=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b

单位向量

0a ≠，则a a e a

=

a e 2

2

2

(,,)=

++x y z x y z

a a a a a a

方向余弦

设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos

cos y x z a a a

a a a αβγ===r r r ，cos ，cos

cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）

θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹

角

z z y y x x b a b a b a ++=?b a

叉乘（向量积）

b a

c ?=

θsin b a c =

θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直

z

y x

z y x

b b b a a a k j i

b a =? 定理与公式

垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++=

平行

//0a b a b ??=

//y z

x x y z

a a a a

b b b b ?==

交角余弦

两向量夹角余弦b

a b

a ?=θcos

222222

cos x x y y z z

x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=

++?++

投影

向量a 在非零向量b 上的投影

cos()b a b

prj a a a b b

∧?==

2

2

2

x x y y z z

b x y z

a b a b a b prj a b b b ++=

++

平面

直线

法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M

方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M

方程名称 方程形式及特征

方程名称 方程形式及特征

一般式

0=+++D Cz By Ax

一般式

??

?=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A

或

0000((,),

(,),1)

x y n f x y f x y =-r

法“线“方程：

1

),(),(0

000000--=

-=-z z y x f y y y x f x x y x 第十章 总结

重积分 积分类型

计算方法

典型例题

二重积分

()σ

d ,??=D

y x f I

平面薄片的质量

质量=面密度

?面积

（1） 利用直角坐标系

X —型 ????=D

b

a

x x dy y x f dx dxdy y x f )

()

(21),(),(φφ

Y —型

?

?

??=d

c

y y D

dx y x f dy dxdy y x f )

()

(21),(),(??

P141—例1、例3

（2）利用极坐标系 使用原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α

+, α为实数 )

21()()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

?θα

?θρθρθρρθθρθρθρρ

=??

??

02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤

P147—例5

（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）

110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy

f x y x f x y f x y D D ?

??-=-??

=???-=???

??对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分

P141—例2

应用该性质更方便

计算步骤及注意事项

1． 画出积分区域

2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

关于坐标变量易分离

3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域

第十一章总结

所有类型的积分：

○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结

无穷级数常

数

项

级

数

傅

立

叶

级

数

幂

级

数

一

般

项

级

数

正

项

级

数

用收敛定义，

n

n

s

∞

→

lim存在

常数项级数的基本性质

常数项级数的基本性质

○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.

○2两个收敛级数的和差仍收敛.

注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.

○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成

的级数仍收敛，且其和不变。

推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数

也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛.

○5（必要条件）如果级数收敛,则0

lim

=

→

n

n

u

莱布尼茨判别法若1+

≥

n

n

u

u且0

lim=

∞

→

n

n

u，则∑∞

=

-

-

1

1

)1

(

n

n

n u收敛

n

u

∑和

n

v

∑都是正项级数，且

n

n

v

u≤.若

n

v

∑收敛，则

n

u

∑也收敛；若

n

u

∑发散，则

n

v

∑也发散.

比较判别法

比较判别法

的极限形式

n

u

∑和

n

v

∑都是正项级数，且l

v

u

n

n

n

=

∞

→

lim，则○1若

+∞

<

0,

n

u

∑与

n

v

∑同敛或同散;○2若0

=

l,

n

v

∑收

敛,

n

u

∑也收敛；○3如果+∞

=

l，

n

v

∑发散，

n

u

∑也发散。

比值判别法

根值判别法

n

u

∑是正项级数，ρ

=

+

∞

→

n

n

n u

u

1

lim,ρ

=

∞

→

n

n

n

u

lim,则1

<

ρ时

收敛；1

>

ρ(ρ=+∞)时发散；1

=

ρ时可能收敛也可能发

收

敛

性

和

函

数

展

成

幂

级

数

n

n

n

x

a

∑∞

=0

,

ρ

=

+

∞

→

n

n

n a

a

1

lim

,1,0;,0;0,.

R R R

ρρρ

ρ

=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径

)

(x

s的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域)

,

(R

R

-内可导，且可逐项求导;○3和函数)(x

s在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式

1

1

(11)

1

n

n

x x

x

∞

=

=-<<

-

∑

1

1

()

!

x n

n

e x x

n

∞

=

=-∞<<+∞

∑

2

2

T

T l

π

=

=

∑∞

=

+

+

=

1

0)

sin

cos

(

2

)

(

n

n

n

nx

b

nx

a

a

x

f?-

=π

π

π

dx

x

f

a)

(

1

?-

=π

π

π

nxdx

x

f

a

n

cos

)

(

1

?-

=π

π

π

nxdx

x

f

b

n

sin

)

(

1收敛定理

x是连续点,收敛于)

(x

f;x是间断点,收敛于)]

(

)

(

[

2

1

+

-+x

f

x

f

周期

延拓

)

(x

f为奇函数，正弦级数，奇延拓；)

(x

f为偶函数，余弦级数、偶延拓.

交错

级数