正交频分复用系统的基本原理和信道估计

正交频分复用系统的基本原理和信道估计

【摘要】下一代无线移动通信系统的目标是支持高质量高速率的移动多媒体业务。无线环境中存在多径衰落、多谱勒频移和信道快速时变等许多不利因素。正交频分复用(OFDM)技术是一种可有效解决多径造成符号间干扰的传输手段。正交频分复用（OFDM, Orthogonal Frequency Division Multiplexing）是一种特殊的多载波传输方案，它可以被看作一种调制技术，也可以被当作一种复用技术。本文详细研究了OFDM系统的基本原理，OFDM系统的信道估计算法。

关键词：OFDM、信道估计

【Abstract】The next generation of wireless mobile communication system is to support high-guality and high-speed mobile multimedia services. multipath fading, Doppler frequency shift and fast time-varying channel, and many other negative factors exist in Wireless environment. Orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) technology is an effective solution to erase intersymbol interference transmission which caused by multi-path. This paper researches the basic principle of OFDM system, OFDM system channel estimation, space-time processing technology in the sub-set of technologies and space-time block coding. Keywords: OFDM system, OFDM system channel estimation

1 OFDM 基本原理

选择OFDM 的主要原因在于该技术不仅能够提高频谱利用率，且能对抗频率选择性衰落或者窄带干扰。OFDM 的基本思想是将串行的数据，并行地调制在多个正交的子载波上，这样可以降低每个子载波的码元速率，增大码元的符号周期，提高系统的抗衰落和干扰的能力，同时由于每个子载波的正交性，大大提高了频谱的利用率，所以非常适合衰落移动场合中的高速传输。

1.1 OFDM 的信号产生

设基带调制信号的带宽为W ，码元调制速率为R ，码元周期为s t ，且信道的最大迟延扩展s m t >?。OFDM 的原理是将原信号分割为N 个子信号，分割后码元速率为N R r /=、周期为s S Nt T =，然后用N 个子信号去分别调制N 个相互正交的子载波。

由于信道的多径扩展，使得OFDM 信号的各个子信道在接收端不再正交，因而发送前就在码元间插入保护时间间隔δ。如果保护间隔δ大于最大时延扩展

m ?，则所有时延小于δ的多径信号将不会延伸到下一个码元期间，因而有效地消除了码间串扰。接收端只要将保护间隔去掉，就可以全部或部分消除ISI 的影响。

OFDM 调制信号可以表示为

],0[)2exp()()(1

0T t t f j n d t D N n n ∈=∑-=π （1-1）

这里)(n d 为第n 个调制码元，S T 为码元周期，T 为码元周期加保护时间

)(δ+=S T T 。各子载波的频率为： s

n T n

f f +

=0 （1-2） OFDM 系统的调制原理示意图如图1-1所示。

串/并单元读取一帧信号所需的串行数据流bit N f ，分为N 组分别进行QAM 或其他映射，第i 组bit n i 包含的码元，且满足

f N

i i

N n

=∑=1

（1-3）

这里N 表示传输中实际使用的子载波数量。bit n i 的码元为映射第i 个子信道的调制矢量符号，即1,,0,)()()(-=+=N i j i b i a i d 。

如图2-2所示。接收端只要接收到的子信道信号与本地相关信号在码元期间正交就可以做到无信道间干扰传输。因此与常规的FDM 系统相比，可以最大限度的利用频谱资源，频谱效率比单载波系统提高近一倍。

图1-2 OFDM 频谱示意图

在接收端，其解调的原理图如图1-3所示。

输入信号分成N 个支路，分别用各子载波混频和积分，恢复出子信号，再经过并串变换和常规QAM 或其他解调就可以恢复出数据。由于子载波的正交性，混频和积分电路可以有效地分离各个子信道，如下式所示：

∑?∑??

∑-=-=-=-=-=-=1

10

10

)

)

(2exp(

)())(exp()()exp()exp()()(?N n T S

N n T m n T N n m

n

S

S

S t T m n j n d dt

t j n d dt

t j t j n d m d πωωω

ω （1-4）

图1-4给出了一个OFDM 系统的实现框图。串行的输入数据经过编码，可能包括纠错编码、交织、差分编码，然后进行星座图映射，这时就得到了频域数据。经过快速傅立叶反变换（IFFT ）将数据的频谱表达式转变到时域上。变换后的信号经并串变换，将串行数据尾部长度为CP T 的样点复制到符号前部，作为循环前缀，构成一个长度为CP S T T +的完整的数据帧，经D/A 变换后送入信道。如果进行基带传输，就不再需要上变频。其中，上半部分对应于发射机链路，下半部分对应于接收机链路。由于FFT 操作类似于IFFT ，因此发射机和接收机可以使用同一硬件设备。当然，这种复杂性的减少则意味着该系统不能同时进行发送和接收操作。接收端进行与发送端相反的过程。FFT 将时域数据进行解频分复用，利用正交性得到发送的数据。在经过判决、译码后送到信宿，完成通信的全部过程。

图1-4 OFDM 收发机系统框图

1.2 OFDM 的FFT 实现

用FFT 实现OFDM 的原理为，在不考虑保护时间间隔的情况下，根据式（1-2）， T k f f k /0+=，各子载波的频率总可以表示为射频载波的频率与串行码流频率的整数倍频之和，因此由式（1-1）表示的OFDM 调制信号可以写成：

)2exp()()2exp(])2exp()([)(0010

t f j t X t f j nt Nt j

n d t D N n s

πππ

==∑-= （1-5）

式中X(t)为复等效基带信号：

],0[)2exp()()(1

S N n s

T t nt Nt j

n d t X ∈=∑-=π

（1-6）

d(n)为第n 个子载波上的调制矢量符号，其数字基带信号的时域波形为矩形脉冲。串行码的码元周期为s t ，经过串并变换以后，码元周期增大为s Nt ,因此符号的频率降低为s Nt /1。

由抽样定理可知，如果信号的频带有限，就是说，信号)(t f 的频谱只在区间

),(m m ωω-内为有限值，抽样角频率m k ωω2≥就可以有效的恢复原信号。

对X(t)进行抽样，抽样速率为

s

t 1

，即s k kt t =，则有

)1(0)2exp()()(1

-≤≤=∑-=N k nk N

j

n d t X N n k π

（1-7） 由式（1-7）可知，)()(k t X k X =恰恰是)(n d 的离散傅立叶反变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT ），这种信号经过数模转换器滤波后就可上变频在信道中传输了。因此，OFDM 调制可由IDFT 实现。如图1-5

图1-5 OFDM 的调制器（DFT 实现方式）

对于接收端，由式（1-7）和式（1-4）我们看到，接收信号经过抽样以后的表达式是对)(n d 进行IDFT 的表达式，为了恢复出)(n d ，根据离散傅立叶变换的性质，只需将接收信号再做一次DFT ，就可以恢复)(n d 。再解调时，利用下式得到输出信号：

)1(0)2e x p ()()(~

1

-≤≤-=∑-=N k nk N j k X n X N n π （1-8）

因此，OFDM 的解调是由DFT 来完成的，如图1-6。

图1-6 OFDM 的解调器（DFT 实现方式）

1.3 保护间隔和循环前缀

OFDM 可以有效地对抗多径时延扩展从而得到广泛应用。通过把输入的数据流串并变换到N 个并行的子信道中，使得每个用于去调制子载波的数据符号周期可以扩大为原始数据符号周期的N 倍，因此时延扩展与符号周期的比值也同样降低N 倍。为了最大限度地消除符号间干扰，对于由时延扩展造成的符号间干扰ISI （Inter symbol interference ），通过添加保护间隔（Guard interval ）的办法可以予以有效消除。

但是在这种情况下，由于多径传播的影响，会产生载波间干扰ICI （Inter carriers interference ），即子载波之间的正交性遭到破坏，使不同的子载波之间产

生干扰。为了完全克服ISI 的影响，并消除多径传播造成的ICI ，同时保持子载波之间的正交性，Peled 和Ruiz 用OFDM 符号的最后一部分代替保护间隔中采用的空信号，并称这种循环复制的保护间隔为循环前缀（CP Cyclic Prefix ）。图1-4为添加了循环前缀的OFDM 信号结构。由图可见，添加循环前缀即是将每个OFDM 符号的后G I CP T T t ==时间中的样点复制到OFDM 符号的前面，形成前缀，此时OFDM 符号的周期从原来的S T 扩展到CP S T T T +=。这样将保护间隔改用循环前缀后，只要多径时延小于保护间隔，在FFT 的运算时间长度内，不会发生信号相位的跳变，因此OFDM 接收机所接收到的仅仅是存在某些相位偏移多个单纯连续正弦波的叠加信号，而且这种叠加也不会破坏子载波之间的正交性。

在实际系统中，OFDM 符号在送入信道之前，首先要加入循环前缀，然后送入信道进行传送。在接收端，首先将接收符号开始的宽度为CP T 的部分丢弃，将剩余的宽度为S T 的部分进行傅立叶变换，然后进行解调。加入保护间隔之后会带来功率和信息速率的损失，其中功率损失为：

)1/lg(10+=N G guard T T v （1-9）

从式（1-9）中可以看到，当保护间隔占到有用符号持续时间的1/4时，功率损失也不到1dB ，但是带来的信息速率损失达20%。尽管这样，插入保护间隔却可以消除符号间干扰的影响，因此这个代价是值得的。

2．OFDM 系统的信道估计

2.1LS 算法

最小二乘（LS Least Squares ）算法是最简单的信道估计算法，其设计准则是以误差的平方和最小化。它的基本思路是选择估计量使模型输出与实测输出之差

的平方和达到最小。这种求误差平方和的方式可以避免正负误差相抵，而且便于数学处理。线性最小二乘法是应用最广泛的参数估计方法。LS算法matlab仿真函数如下。

%Function Declaration:

function ms_error=LS_MSE_calc(X,H,Y);

%This function generates mean squared error for the the LS estimator.. %EVALUATION OF Hls

Hls =(inv(X)) * Y;

%The simplest of 'em all indeed..

ms_error_mat=mean(((abs(H-Hls))/abs(H)).^2);

for i=1:64

if(ms_error_mat(i)~=0)

ms_error=ms_error_mat(i);

end

end

这样，导频位置的信道响应通过LS算法估计得到后，其他对应传输数据位置的响应可以通过线性插值得到。LS算法实现起来十分简单，但由于没有考虑到信道模型和噪声功率等因素，其估计精度易受高斯噪声和载波间干扰的影响，而难以达到较高的估计性能。

2.2 MMSE算法

MMSE估计就是最小均方误差估计，通过求得一个合适的信道冲击响应（CIR），使得通过CIR计算出的接收数据与实际数据的误差的均方和最小。MMSE算法的matlab仿真函数如下：

function ms_error=MMSE_MSE_calc(X,H,Y,Rgg,variance);

%This function generates mean squared error for the the MMSE estimator.. %EVALUATION OF Hmmse

%Hmmse=F*Rgg*inv(Rgy)*Y;

u=rand(64,64);

F=fft(u)*inv(u);%The 64 X 64 twiddle factor matrix..

I=eye(64,64);

Rgy=Rgg * F'* X';

Ryy=X * F * Rgg * F' *X' + variance * I;

for i=1:64

yy(i,i)=Y(i);

end

Gmmse=Rgy * inv(Ryy)* Y;

Hmmse=fft(Gmmse);

ms_error_mat=mean(((abs(H)-abs(Hmmse))/abs(H)).^2);

for i=1:64

if(ms_error_mat(i)~=0)

ms_error=ms_error_mat(i);

end

end

2.3 LS和MMSE两种算法的信道估计性能比较

其matlab仿真如下：

clc;

clear all;

X=zeros(64,64);

d=rand(64,1);

for i=1:64

if(d(i)>=0.5)

d(i)=+1;

else

d(i)=-1;

end

end

for i=1:64

X(i,i)=d(i);

end

%Calculation of G[The channel Matrix]%The channnel is...

tau=[0.5 3.5];%The fractionally spaced taps..

%Generation of the G matrix...

for k=1:64

s=0;

for m=1:2

s=s+(exp(-j*pi*(1/64)*(k+63*tau(m)))*((sin(pi*tau(m))/sin(pi*(1/64)*( tau(m)-k))))); %Go through the above cited paper for the theory behind the formula

end

g(k)=s/sqrt(64);

end

G=g';%Thus, the channel vector is evaluated..

H=fft(G);% In the freq domain..

u=rand(64,64);

F=fft(u)*inv(u);% 'F' is the twiddle factor matrix..

% Evaluation of the autocovariance matrix of G-Rgg

gg=zeros(64,64);

for i=1:64

gg(i,i)=G(i);

end

gg_myu = sum(gg, 1)/64;

gg_mid = gg - gg_myu(ones(64,1),:);

sum_gg_mid= sum(gg_mid, 1);

Rgg = (gg_mid' * gg_mid- (sum_gg_mid' * sum_gg_mid) / 64) / (64 - 1); %Running for a dozen trials to try and average out the results..

for m=1:12

for n=1:5

SNR_send=5*n;

XFG=X*H;

n1=ones(64,1);

n1=n1*0.000000000000000001i;%Just to ensure that the function awgn adds 'complex gaussian noise'..

noise=awgn(n1,SNR_send);

variance=var(noise);

N=fft(noise);

Y=XFG+N;

%Evaluating the mean squared error for the LS estimator..

mean_squared_error_ls=LS_MSE_calc(X,H,Y);

%Evaluating the mean squared error for the MMSE estimator..

mean_squared_error_mmse=MMSE_MSE_calc(X,H,Y,Rgg,variance);

SNR(n)=SNR_send;

mmse_mse(m,n)=mean_squared_error_mmse;

ls_mse(m,n)=mean_squared_error_ls;

end;

end;

ls_mse

mmse_mse

mmse_mse_ave=mean(mmse_mse);

ls_mse_ave=mean(ls_mse);

%Now just the display part.....

semilogy(SNR,mmse_mse_ave,'k-');

grid on;

xlabel('SNR in DB');

ylabel('mean squared error');

title('PLOT OF SNR V/S MSE FOR AN OFDM SYSTEM WITH MMSE/LS ESTIMATOR BASED RECEIVERS');

hold on;

semilogy(SNR,ls_mse_ave,'b*');

semilogy(SNR,ls_mse_ave,'b-');

semilogy(SNR,mmse_mse_ave,'kv');

grid on;

xlabel('SNR in DB');

ylabel('mean squared error');

title('SNR V/S MSE FOR AN OFDM SYSTEM WITH MMSE/LS ESTIMATOR BASED RECEIVERS');

图2-1 给出了LS 估计与MMSE 估计的MSE 比较。

图2-1 LS 与MMSE 的MSE 比较

仿真的一个OFDM 符号子载波个数设定为64个，用一个OFDM 符号用作导频序列，SNR 设定为20dB 。从图中可以看出，MMSE 估计性能优于LS 估计。

2.4线性插值

利用OFDM 符号中频域两个相邻导频位置上的信道响应进行线性插值，从而得到其他载波频率位置上的信道响应值是最简单的频域估计方法。除线性插值外还存在一些线性插值方法，如高斯内插滤波以及Cubic-spline 内插。高斯内插滤波是一种二阶非线性内插方法，性能较线性内插好，但是复杂度较高；Cubic-spline 内插是一种高阶非线性内插方法，精度大大提高，但多项式构造复杂。

线性内插是一种简单的信道估计算法。其假定在相邻导频载波之间，各数据子载波位置的信道响应是按照一定斜率线性变化的。线性内插估计用公式表示为:

H()(1)H ()H ()pilot pilot n n l n l l m n m m

Λ

ΛΛ

+=-++ (2-1)

其中，H ()pilot l Λ和H ()pilot l m Λ

+是相邻导频子载波上的信道响应估计，m 是导频间的数据子载波个数，n 是预估计载波的相对位置1n m ≤≤。如图2-2所示。

图2-2 线性内插信道估计算法示意图

线性内插在对数据子载波估计时只用了相邻的两个导频子载波的信道信

息，实现简单、计算量小，但是估计性能一般。

总结

本章研究了OFDM 技术的基本原理以及OFDM 系统的组成。接着深入研究OFDM 系统的信道估计。对OFDM 系统中基于导频估计的LS 和MMSE 算法进行了MSE 比较，分析表明MMSE 算法在性能上优于LS 算法，但对于每一个OFDM 符号的信道估计都需要进行矩阵求逆运算，这会造成很大的运算量。MMSE 估计算法可以很好的抑制高斯白噪声和载波间干扰，因此该方法可以获得比LS 更好的估计性能，而其缺点就是算法复杂度高，随着运算点数的增加，其算法复杂度呈指数倍增。

数据符号 预估计符号