初中数学导报答案解析

第27期有效学案参考答案

第1课时 从分数到分式

1．C ． 2．

185，a b

． 【问题1】分式有：－23b a ，1

1

x -，

22x x ；

整式有：－23a b ，()22

123a ab b ++，

a π

.

两类式子的区别是：分式的分母含有字母，而整式没有. 【问题2】（1）x ≠0；（2）a ≠－1；（3）x 为任意实数． 【问题3】（1）x ＝－1；（2）x ＝－2；（3）x ＝－1． 3．C ．4．B ．5．B ．6．4． 7．k ＝2且m ≠－2．

8．

1500x －1500

235

x +． 9．当a ≠0时，分式1

2a a +有意义；

当a ＝1时，分式8

1a -无意义；

当a ＝－32时，分式23

35

a a +-的值等于零.

10．由题意知m ＝2，n ＝2，所以原分式为2

2

x x -+，当x ＝1时，分式的值为－

13

． 11．答案不唯一，如

23

1

x -．

12．（1）4945

；（2）)4()2(2

++n n n 或4)2()2(2

2-++n n ． 13．（1）≠－1；（2）＝0．

14．由题意可知a=2，b=4，所以a+b=6.

15．（1）设红队提速前，红、绿两支车队的速度分别为x km/h 和

y km/h ，依题意，有20y ＝18x

，解得

x

y ＝9

10

. （2）设x ＝9k ，y ＝10k （0k ≠）

，则绿队行走10km 所用的时间1t ＝

1010k

＝

1k ，红队行走12km 所用的时间2t ＝129 1.2

k g ＝10

9k

.∵1t ≠2t ，∴红、绿两支车队不能同时到达市区.

第2课时 分式的基本性质（1）

1．D ．

2．（1）3x =；（2）2x =．

【问题1】（1）∵n ≠0，∴2n m ＝2n n m n g g ＝

22n mn ；

（2）∵x ≠0，∴

3x x

xy x

÷÷＝

2x y

；

（3）∵x ＋

y ≠0，∴

2x y +＝()()22x y x y ++＝

22

222x y

x xy y +++．

【问题2】（1）92

a ；（2）3

b ；（3）m －3；（4）x ＋y ．

3．D ．4．C ．5．C ． 6.（1）2n （m+2）;（2）2

1a +;（3）x+2 ;（4）cx

2

.

7．⑴－

2n m ；⑵3a

b

．

8．⑴不成立，结果应为

1

x y

-；⑵不成立，应加条件当m ≠2． 9．⑴142---x x ；⑵3

2

2+-+-x x x ；⑶212-+a a ．

10．（1）35210a b a b +-；（2）12946a b

a b

-+．

11．D ．

12．能确定，因为b ＝－1m n

mn

+-，所以a 和b 互为相反数.

13．A ．14．小彬． 15．能，

因为x ＋y ＝3xy ，所以两边同除以xy ，所以

1x

＋

1y

＝3．

第3课时 分式的基本性质（2）

1．C ．

2．（1）2

94x

-；（2）3a －8b ；（3）2x ；（4）2a .

【问题1】（1）

2

3

68ab b ＝222324b a b b g g ＝34a b

；

（2）

2

11x x +-＝()()111x x x ++-＝1

1

x -； （3）2222

242x xz z x z -+-=22()()()x z x z x z -+-=22x z

x z -+.

【问题2】（1）最简公分母是122

a

bc ．

213a bc ＝21434a bc g g ＝2

4

12a bc ， 14ab ＝1343ac ab ac g g ＝2

312ac a bc

. （2）最简公分母是2

2a

b -．

3a a b +＝()()()3a a b a b a b -+-＝22233a ab a b --，

2b

a b -＝()()()

2b a b a b a b ++-＝

22222ab b a b +-.

3．C ．4．A ．5．D ．6．D ．

7．⑴ 3m

n

；⑵1x y --．

8．（1）最简公分母是22

2m

n

．

2

4p mn ＝

22

82mp m n ，

22p m n ＝

22

2pn m n ．

（2）最简公分母是2

23()a

b -．

33a b a b

-+＝

222223()a ab b a b -+-，

22

2ab

a b -＝

22

63()

ab

a b -． 9．

222

396a ab a ab b --+＝

()

()

2

33a a b a b --＝

3a

a b

-，

当a ＝1，b ＝2时，原式＝1． 10．棉花：

y x

（千克/公顷），小麦：

3y n

x m

+-（千克/公顷）.

它们的最简公分母为x （x －m ）.

y x

＝

2xy my x mx --，3y n x m +-＝23xy nx

x mx +-．

11．因为2661x x +-＝61x -，又266

1

x x +-的值为整数，所以x －1

＝±1，或x －1＝±2，或x －1＝±3，或x －1＝±6，即适合条件的整数x 的值为－5，－2，0，2，3，4或7．

12．观察式子可得

10,99

a b ==，而

22

22

2a ab b a b ab +++＝

()()2

a b a b

ab a b ab

++=+，把

10,99

a b ==代入可得原式＝

109

990

． 13．D ．

14．答案不唯一，如

21x y xy

-+＝

1

x y -． 15．将分式的分子、分母都除以

2y ，得

222223x xy y x xy y +--+＝2

223

1x x y y x x

y y ????

+- ? ???????-+ ???

＝963931+--+＝127. 第4课时 分式习题课

1．D ．2．D ．

【问题1】方法1：由1

x

＋

1y

＝5知x ≠0，y ≠0，两边同乘xy ，

得x ＋

y ＝5xy ，

所以

2322x xy y x xy y -+++＝

()232x y xy x y xy +-++＝25352xy xy

xy xy

?-+＝

77xy

xy

＝1； 方法2：∵xy ≠0，∴将所求分式的分子、分母同除以xy ，

∴

2322x xy y x xy y -+++＝()()2322x xy y xy x xy y xy

-+÷++÷＝253

25?-+＝1.

【问题2】（1）BE ＝1

S

AB

＝

242

63a b ab ＝22

ab ；

（2）BC ＝2S BE

＝

3322

28122a b a b ab +＝42

a

b ＋6a .

3．①，③，⑤．4．

1

2

，－1．5．B ． 6．这个过程有错误，由于原来分式的分母为（x －7）（x －1），因此代入的x 的值不能等于7或1，否则原来的分式无意义. 如取

x ＝2，则原式＝－

71x x +-=－72

21

+-＝－9. 7．D ．8．C ．

9．（1）最简公分母是()

2

2

a b +．

22a b a b -+＝

()222

2a b a b -+，

()

2

ab

a b +＝

()

2

22ab a b +．

（2）最简公分母是222

24a

b c

．

26c a b ＝

3222

424bc a b c ，

228a

b c ＝

3

222324a a b c ，

2

3b ac ＝

3

222

824ab a b c ．

10．原式=()()()2

22

23412923.49232323

a a a a a a a a --+-==-+-+ 当a=1时，原式=15

-

. 11．由题意可列出式子321x x x --．321x x x --=22

11x x x --（）

=x ， 把x ＝5代入得321

x x

x --＝5.

12．由x ＋1x ＝3，两边平方，得2

x ＋2＋21x

＝9，

∴2

x ＋

2

1

x ＝7.

又∵4221x x x ++＝2

x

＋1＋21x ＝8，

∴2421x x x ++＝1

8

. 13．②．14．A ． 15．令

3x ＝4

y

＝

6

z

＝k ， ∴x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝6k ，

∴x y z x y z ++-+＝

346346k k k

k k k

++-+＝135k k ＝135

．

16.1测试题

基础巩固

1．A ．2．C ．3．C ．4．B ．5．B ．6．A ．

7．⑴

2a

b

；⑵1x y +．8．()()33x x x +-．

9．a ＝－3，b ≠1．10．t －

112

v t

v v +．

11．（1）x ≠5

2

；（2）x ≠0；（3）x ≠±3．

12．（1）最简公分母是2

26x

y ．

212x y ＝

22

36y x y ，

213xy ＝

22

26x x y ．

（2）最简公分母是()()2

2

33x x -+．

2

29x

x -＝()()()

243233x x x x --+， 126x +＝()()()

2

23233x x x --+，

21

69x x -+＝()()()223233x x x +-+.

13．（1）

2

2

11x x x x +++-＝()

2

2

11x x x x ++---＝－2211x x x x ++--；

（2）32311a a a a -+---＝()()3

32

11a a a a --+-+-＝33211

a a a a -++-. 14．由题意知，乙队单独完成的效率为1m －1n

，那么乙队单独完

成需要的时间是

111m n

-天，利用分式的基本性质化简得

111m n

-＝

11mn mn m n ??

- ???

＝mn

n m -（天）. 15．甲车的速度是

s

t

千米/时，乙车的速度是2s q t p ++千米/时．

它们的分母不相同，最简公分母是()t t p +．

s t =()()

s t p t t p ++，2s q t p ++=(2)()t s q t t p ++．

能力提高

1．A ．2．1x >且2x ≠．3．答案不唯一，如

1202m ，300

5m

. 4．分两种情况讨论：

当a ＝±3时，分母2

a －9＝0，分式无意义．

当a ≠±3时，－

2

6189a a +-＝－()()()6333a a a ++-＝63a

-，要使分式的值为正整数，则a －3为6的正约数，∴3－a ＝1或3－a ＝2或3－a ＝3或3－a ＝6，∴a ＝2或a ＝1或a ＝0或a ＝

－3，∵a ≠－3，∴a ＝－3应舍去，综上可知，a 的值为0或1或2.

5．把水平均分成2份后清洗两次,蔬菜上残留的农药量较少. 理由如下：设清洗前蔬菜残留的农药量为1,则a 单位量的水清洗的

一次,蔬菜上残留的农药量为P a

+=11

;

把a 单位量的水平均分成2份后清洗两次,蔬菜上残留的农药量为

2

2112

11

211

??

?

??+=

+?

+=

a a

a Q .

∵a a a a +>++=??

?

??+141212

2

,

∴a +11>

2

211??

? ??+a .∴Q

新题展示

小玉的意见是正确的，也就是说，由于x ＞0，

y ＞0，小娟把

22x y x y ++写成

22

x y x y --后，分式的值扩大了，理由是

22

x y x y

--＝

()()

x y x y x y

+--＝x y +＝

()2

x y x y

++＝

222x xy y x y +++，因

为x ＞0，y ＞0，所以

22

2x xy y x y

+++＞

22

x y x y

++，即小玉的

意见是正确的.

第28期有效学案参考答案

第5课时 分式的乘除

1．B ．2．C ．

【问题1】（1）

2

2432x y y x ?＝

2

2432x y y x ??＝2246xy x y ＝23y x

；

（2）23x y y ÷

2y x

-＝－

232x y x y y ??＝－

3

3

2x y ．

【问题

2】（1）

222242

4436x y x x x x xy

-+?

+++＝

()()()

2

222x y x y x +-+()232x x x y +?+＝()232x y x x -+；

（2）22254x y x xy --÷54x y

x y +-＝

()()()5454x y x y x y x x y x y

+--?-+＝x y

x

-． 3．D ．4．A ．5．B ．

6．（1）

2

3

43b a ；（2）－

3

310y

x ．7．y x

x y

-+．8．

2ab b a +．

9．（1）2

a

ab -；（2）

22

2

a a a +--．

10．22211x x x -+-÷221x x -+＝()()()()2

111121x x x x x -+-+-g ＝

1

2

，

因此，不管x 取何值，这个代数式的值都是

12

.

11．（1）所得到的结果永远都是－

2

x y ；（2）第7个分式应该是15

7

x y

.

12．（1）两种方式种植草皮的单价分别为每平方米

()

2

5000

2x m -元，

每平方米

22

5000

4x m -元；

（2）由题意，得

()

2

5000

2x m -÷

22

50004x m -＝

22x m

x m

+-．

13．1－x ．14．A ．

15．（1）原式=22(3)(3)3(3)(3)(3)x x x x x x x +-+?+-=3x

，把x ＝－1

3

代入，得原式=－1；

（2）原式=

22

22()()()()x y x y x y x y x y +?+++-=1x y

-，把

x ＝8，y ＝11代入，得原式=－

1

3

． 第6课时 分式的乘方

1．A ． 2．原式1

1

x =

-，当2x =时，原式1=． 【问题1】（1）（－

y x

）÷

y y x x

g ＝－

y x y x y x

g g ＝－

y x

；

（2）

2211

1xy y x x x x xy

-+-÷-g ＝()2

21111

y x x xy x x x -+??

--＝3

1

y x -.

【问题2】（1）3

2

2a b c ??

?

-??

＝－

()

3

23

2a b c

＝－

63

3

8a b c ；

（2）3

2

22a b c bc c ab a ????-?÷ ? ?-????＝－634322a b c bc

c a b a ?÷＝ －6343

22a b c a

c a b bc

g g ＝－5a . 3．D ．4．C ．5．B ． 6．－n ．7．

4

1

y ．

8．（1）原式＝－

242

m m -+；（2）原式＝－3

x ．

9．原式＝2

a +3a +2，当2

a +3a ＝0时，原式＝2.

10．33y x ??- ???÷42

21x xy y ????-? ? ?

????

＝－3

3x

y ，

当x ＝2，

y ＝3时，原式＝－216．

11．原式＝－x y

xy

-．（要选一组能使本题有意义的x ，y 的值）

当x ＝3，y ＝2时，原式＝－1

6.

12．原式化简为5

3

()xy x y -

-，当x ＝2，

y ＝1时，原式=－2.

13．C ． 14．（1）

21

a a --；（2）－2

a ． 15．原式2

(6)(6)2(5)5(5)6(6)a a a a a a a a +-++=

??+-+2

a

=， 当1

2

a =-

时，原式＝－4． 第7课时 分式的加减

1．A ．2．（1）4b a b -；（2）1

x y +．

【问题1】（1）原式＝

22

a b a b

--＝

()()a b a b a b

+--＝a ＋b ；

（2）原式＝

2m n n m +-－n n m -－2m

n m

-

＝

()22m n n m

n m

+---＝

n m

n m

--＝1.

【问题2】（1）原式＝

()()

12

33x x +-－

23

x -＝

()()

12

33x x +-－

()()()2333x x x ++-＝

()()()

122333x x x -++-＝

()()6233x x x -+-＝()()()

2333x x x --+-＝23x -+；

（2）原式＝

21

a +－

42a

-＝

()()222a a a +--＋

42

a -＝()()2242

a a a +-+-＝2442

a a -+-＝

2

2

a a -. 【问题3】（1）原式＝2291

x y x y

-g

－

9x y y

g

＝

()2

29x y x y -－

29x y ＝()

222999x x xy

y x y -+-＝

29x xy y -；

（2）原式＝

1x

－

()()1111x x x x -+?-＋1x x -－11

x - ＝

1x －1x x +＋1x x -－1

1x - ＝11x x --＋11

x x --＝－1＋1＝0.

3．A ．4．A ．5．D ． 6．－2

a ．7．

32．8．（1）1；（2）1

2a

． 9．原式＝21

1

x x x +-+，

因为2

20x

-=，所以原式211x x +-=

+＝1

1

x x ++＝1.

10．（1）当小丽走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为

1

v

＋23v ＝323v +＝53v

（小时）. （2）小丽走第一条路所用的时间为

32v 小时，作差得53v －3

2v

＝16v ＞0，所以小丽走第一条路花费的时间少，少用16v

小时. 11．化简得原式＝1

1

-x ．

在22x -≤≤的范围内的整数有－2，－1，0，1，2．

因为原式中分母不为0，除式也不为0，所以x 只能取－2.

所以当2x =-时，原式＝13

-

． 12．设第一次买鸡蛋的单价为x 元/千克，第二次买鸡蛋的价格为y

元/千克，小玉两次买鸡蛋的平均价格为M 元/千克，小菲两次买鸡蛋的平均价格为N 元/千克．

所以M ＝

10101010x y

++＝2xy x y +；N ＝

2222x y ++＝

2

x y

+， 所以M －N ＝2xy x y +－2

x y

+＝()()2

2x y x y --

+， 因为x ＞0，

y ＞0，且x ≠y ，

所以()()

2

2x y x y --

+＜0，即M －N ＜0，故M ＜N ， 所以小玉的购买办法便宜.

13．y

x y

-2．

14．（1）原式＝21

a a -；⑵原式=x y y x +-.

15．原式22

2x y x xy y x x

--+=÷

2()x y x x x y -=

?-1

x y

=-，

因为20082009x

y ==，，

所以原式11120082009

x y =

==---． 第8课时 整数指数幂

1．D ．

2．原式111()()22x y x y x y x x y x y x

+=

-+--?++

1122x y x x

=

---（)()x y =--y x =-， 把x ＝1，y ＝3代入原式＝3－1＝2. 【问题1】（1）原式＝()

()()3

3

3

121x y --g g ＝－36

x y -＝－

6

3

y x ；

（2）原式＝()()()

52421223x y z ?-?--?--＝108219

x y z --＝

21089z x y ；

（3）原式＝()

32222

22

x

y x

y

?---???＝10

2x

y -＝2

10

y x

；

（4）原式＝9246x y z -÷642x y z --＝9()

()264462

x

y

z

------＝

98

04x

y z ＝984x z .

【问题2】（1）0.000 050 62＝5.062×0.000 01＝5.062×10－

5； （2）－0.000 000 000 2＝－2×0.000 000 000 1＝－2×10－10

．

3．D ．4．C ．5．C ．

6．（1）2

2

4x y

；（2）

5

18

a ． 7．（1）2.34×10－

3；（2）2×10－

6． 8．B ，正确的解答过程为：

()()

2

4

3

3

22

23-----?-n m

n m

＝

()

()3

2

666832m n m n -----?-

＝666811274m n m n --??-

? ???

＝－21081

n .

9．（1）－

72a b

；（2）

19mn ．10．

（1）15；（2）37

32

． 11．22

-+x x

＋2（x ＋1x -）＋3

＝

()

2

1x x -+－2＋2（x ＋1

x

-）＋3

＝4－2＋2×2＋3＝9．

12．因为a ＝555

2-＝555

12

＝555

12?? ???

＝111

512?? ???

＝111

132?? ???

，

b ＝444

3

-＝444

13

＝444

13?? ???

＝111

413?? ???＝111

181?? ???

，

c ＝222

6

-＝

222

16

＝222

16??

???

＝111

216?? ???

＝111

136?? ???

，又因为

1

32

＞136

＞181，所以111

132?? ???＞111

136??

???＞111

181?? ???

，即

a c

b >>.

13．B ．14．4×6

10

-千克.

15．由题意可得n ＝2，m ＝1， ()()

3

12

32

2----?mn n m

＝4()46

33m

n m n ---g

＝－43

mn

-＝－

34m

n

， 把n ＝2，m ＝1代入，原式＝－1

2

．

16.2测试题

基础巩固

1．C ．2．A ．3．D ．4．A ．5．D ．6．C ． 7．（1）

1a ；（2）－1

1

a a -+． 8．答案不唯一，如

1

y

，3x 或x y xy +，2

x

等．

9．⑴

1x x +；⑵2

1a ab a b +++．10．b b b b a a b a a b

-=?

++． 11．（1）0.000 000 001＝1×9

10-；（2）0.001 2＝1.2×3

10

-；

（3）0.000 003 04＝3.04×6

10

-；（4）－0.000 003＝－3×6

10

-.

12．（1）－3

y ；（2）－2126

a a

a ++．

13．（1）－1；（2）1

2

a =

+． 14．原式=

2

2

()()2()a b a b a ab b a a b a ??

+-++÷ ?-??

=2()a b a a a b ++·=1a b

+， 当b ＝－1，a ＝3时，原式＝

12

．（注意：a 不能取－1，0，1．） 15．由题意，得大货车完成120吨所用的时间是120

8

a +天，小货车

完成100吨所用的时间为100

a

天.

因为1208a +－100a ＝()()

12010088a a a a -++＝()208008a a a -+，

所以，①当20a －800＞0，即a ＞40时，1208a +＞100a

，此时，小货车用的时间少；

②当20a －800 = 0，即a ＝40时，两车用的时间一样多； ③当20a －800＜0，即a ＜40时，1208a +＜100

a

，此时，大货车用的时间少.

能力提高 1．B ． 2．2a ＋1.提示：

211

11a a a

--＝a ×1－

11a

-（2

a －1）＝a ＋

()()111a a a +--＝2a ＋1. 3.（1）

1n ·111

11

n n n =-

++； （2）

1111(1)(1)

n n n n n n n n +-=-

+++

1(1)n n =

+1n =·

1

1

n +； （3）

24

4x x

+.

4．方式一：设浴缸容积为V ，注满时间为t ，依题意，得t=

22V V

a b

+

． 方式二：设浴缸容积为V ，注满总时间为t′，依题意得

12t′a+12t′b=V .解得t′=2V a b

+. 故t －t′=22V V a b +

－2V

a b

+ =22

[()4]()2()2()

V a b ab V a b ab a b ab a b +--=++．

分类讨论：

（1）当a=b 时，t －t′=0，即t=t′，所以当两水龙头放水速度相等时，选其中任一方式都可以，因为此时注满水的时间相等．

（2）当a≠b

时，2

()2()

V a b ab a b -+>0，即

t >t′，所以当放热水速度与

放冷水速度不相等时，选择方式二节约时间; 新题展示

（1）甲容器的容积V 甲=πR 2h-πr 2h=πh （R 2-r 2）, 乙容器的容积V 乙=π（R+r ）2·

2

h

，则 2222()()()2()

()()22

V h R r h R r R r R r h h V R r R r R r ππππ-+--===+++甲乙． （2）汽油单位体积的质量x=

22()

m

h R r π-，

柴油单位体积的质量y=2

2()m

h R r π+，则

x?－y=

22()m h R r π-－2

2()

m

h R r π+ =2()2()()()m R r m R r h R r R r π+--+- =2

(3)()()

m r R h R r R r π-+-． ∵3

R

r <，∴2

(3)0()()m r R h R r R r π-<+-.∴x?< y. 第29期有效学案参考答案

第9课时 分式方程（1）

1．B ．2．（1）x ＝－2；（2）x ＝2．

【问题1】（1）方程两边同乘x （x －4），得5（x －4）＝9x ．解得x ＝－5． 检验：当x ＝－5时()4x

x -＝45≠0，x ＝－5是原方程的解；

（2）原方程两边同乘（x －2），得x －1＋2x －4＝1．解得x ＝2．检验：当x ＝2时x －2＝0，x ＝2不是原分式方程的解，原分式方程无解.

【问题2】原方程可化为x ＝－2 －m ．

因为原分式方程无解，所以x －3＝0，x ＝3，所以－2 －m ＝3，解得m ＝－5．

所以，当m ＝－5时，原方程无解. 3．D ．4．D ．5．D ．6．C ．7．1． 8．（1）①，去分母时漏乘常数项；

（2）去分母得2－x ＝－1－2（x －3）．去括号，得2－x ＝－1－2x ＋6．移项，合并得x ＝3．检验：x ＝3时x －3＝0，x ＝3不是原分式方程的解，原分式方程无解. 9．（1）x ＝9；（2）原分式方程无解．

10．（1）若A ＝B ，则

321x -＝3

4

x +，

解得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解；

（2）若A 与B 互为相反数，则

321x -＋3

4

x +＝0，

解得x ＝－1，经检验x ＝－1是原方程的解. 11．A ．

12．原方程可化为4－ax ＝3x ＋6，则（a ＋3）x ＝－2．

当a ＋3≠0，即a ≠－3时，有x ＝－2

3

a +，因原方程无解，故

x ＋2＝0，所以－

2

3

a +＋2＝0，解得a ＝－2，所以当a ＝－2时，原方程无解；

当a ＋3＝0，即a ＝－3时，方程（a ＋3）x ＝－2无解，则原方程也无解．

综上所述，当a ＝－3或a ＝－2时，原方程无解. 13．D ．14．x ＝

5

4

． 15．y ＝2

x

x x

-÷22121x x x --+－21x +＝－11

x +，因为y ＝13，所以－11x +＝1

3

，解得x ＝－4，检验：x ＝－4时1x +＝－3≠0，x ＝－4是方程－11x +＝1

3

的解，所以x ＝－4时，y

的值为1

3

. 注意x 的取值范围.

第10课时 分式方程（2）

1．D ．2．（1）1x =；（2）原分式方程无解．

【问题1】设第二次捐款人数为x 人，则第一次捐款人数为（x －50）人，根据题意，得

900050x -＝12000

x

．解得x ＝200．

检验：x ＝200时(50)x x -≠0，x ＝200是原分式方程的解，且符合题意.

答：该校第二次捐款人数为200人.

【问题2】设规定日期为x 天，则甲每天完成的任务为1

x

，乙每天

完成的任务为

1

4

x +，?甲、乙两人合作2天完成的工作量为 2（1x +14x +），乙又单独做x-2天，其工作量为24

x x -+．

记总工作量为1，根据工程的实际进度，得 2（

1x +14x +）+24

x x -+＝1. 解得x=4．

检验：x=4时x （x+4）≠0，x=4是原分式方程的解，且符合题意. 答：规定日期是4天． 3．C ．4．B ．5．D ． 6．

1x

＋

14x +＝15

． 7．

2400x －()2400120%x

+＝8． 8．设该文具厂原来每天加工x 套这种学生画图工具，根据题意得

25001000x -－25001000

1.5x -＝5．

解得x ＝100．

检验：x ＝100时1.5x ≠0，x ＝100是原方程的解，且符合题意． 所以，该文具厂原来每天加工100套这种学生画图工具.

9．设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要2x 天．根据题意得

111

220x x +=

． 解得30x =．

检验：30x =时20x ≠0，30x =是原方程的解，且符合题意． 所以260x =．

应付甲队30×1000＝30000（元）． 应付乙队30×2×550＝33000（元）．

公司应选择甲工程队，应付工程总费用30000元． 10．15．

11．设第一次购进x 件T 恤衫，由题意得

1860002x x +－50000

x ＝12．

解得x ＝1000．

检验：x ＝1000时3x ≠0，x ＝1000是原方程的解，且符合题意． 所以盈利为（1000×4－400）×80＋400×80×65％－（186000＋5000）＝72800（元）．

所以商场在这笔生意上盈利72800元.

12．设今年三月份甲种电脑每台售价x 元，根据题意

x x 80000

1000100000=

+． 解得：4000=x ．

检验：4000=x

时x （x+1000）≠0，4000=x 是原方程的根，

且符合题意．

所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元. 13．设甲班每人捐款x 元，则乙班每人捐款

2

3

x 元，根据题意得 750x ＝550

23x －5．

解得x ＝15．

检验：x ＝15时2

3

x ≠0，x ＝15是原方程的解，且符合题意．

所以甲班平均每人捐款15元.

第11课时 分式方程（3）

1．160400160

18(120%)x x

-+=+． 2．设甲每分钟打x 个字，则乙每分钟打（1＋25％）x 个字，由题意得

1800

x －5＝()

2000125%x +．

解得x ＝40． 检验：x ＝40时()125%x +≠0，x ＝40是原方程的解，且符

合题意． 所以

1800

x

＝45（分钟）． 答：甲花了45分钟完成任务，乙花了40分钟完成任务. 【问题1】方程两边同乘2ax ，得22

a ＋2x ＝42

a ＋x ． 移项，合并，得x ＝22

a ．

检验：由于a 为原方程中的分母，所以当a ≠0，x ＝22

a 时，2ax ＝43

a ≠0，所以x ＝22

a 是原分式方程的解.

【问题2】设列车原来的速度x 千米/时，则提速后为1.5x 千米/时，根据题意，得

720x ＝720120x -＋1

2＋

120

1.5x

． 解得x ＝80．

检验：x ＝80时6x ≠0，x ＝80是原分式的解，且符合题意． 答：列车原来的速度为80千米/时. 3．C ．4．A ．

5．

43x ，48x －2＝48

43

x ． 6．1501506060v

-

+＝1． 7．原方程的解为x ＝－b ．

8．设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5千米/时，根据题意，得

151.5x ＝15x －15

60． 解得x ＝20．

检验：x ＝20时60x ≠0，x ＝20是原分式方程的解，且符合题意．

所以1.5x ＝30．

答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时. 9．设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意，得

5060)62.160(=++x

x ． 解得x ＝2.5．

检验：x=2.5时1.2x ≠0，x=2.5是方程的解，且符合题意．

∴甲同学所用的时间为2662.160

=+x

（秒）

，乙同学所用的时间为2460=x

（秒）

． ∵26＞24, ∴乙同学获胜．

10．⑴表中依次填入

x 30，x ???

??+911，x ??

?

??+91160； ⑵依题意，列出方程得

2191160

30=??

?

??++x x . 解得4=x

.

检验：4=x

时119x ??

+ ???≠0，4=x 是所列方程的解．

所以9

40

9114=

??? ?

?+

?． 答：先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时9

40

千米． 11．B ．

12．设改进设备后平均每天耗煤x 吨，根据题意，得

4552x x -?－45522x

x -?＝10．

解得x ＝1.5．

检验：x ＝1.5时2x ≠0，x ＝1.5是原分式方程的解，且符合题意．

答：改进设备后平均每天耗煤1.5吨．

（2）略（只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可）．

第12课时 分式方程习题课

1．D ． 2．（1）x ＝－

3

2

；（2）原方程无解． 【问题1】方程两边同乘y （

y －1）

，得2y －m ＝2

y －2y ＋1，即12

m

y +=.因为y ＝0，y ＝1时原方程无解，所以将y ＝0，

y ＝1分别代入上式得m ＝－1或m ＝1．

【问题2】（1）设甲队单独完成此项工程需x 天，由题意得

13

26

6=+x x ． 解得15=x ．

检验：15=x

时

23

x

≠0，15=x 是原方程的解，且符合题意． 所以甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需15×

3

2

＝10（天）． （2）甲队所得报酬:8000615

1

20000=??（元）

，乙队所得报酬:1

20000610

?

?＝12000（元）

． 3．D ．4．D ．

5．（1）x ＝6；（2）原方程无解. 6．把x ＝－3代入分式方程得m ＝1． 7．C ．

8．原方程去分母，得x －4 ＝－m ， 整理得x ＝4 －m ．

当x ＝3时原方程无解，所以4 －m ＝3，解得m ＝1． 所以，当m ＝1时，原方程也无解．

9．设安排x 人生产甲种板材，则生产乙种板材的人数为(140)x - 人．由题意，得

2400012000

3020(140)

x x =-．

解得：80x =．

检验：80x =时60(140)x x -≠0，80x =是原分式方程的解，且符合题意． 所以140x -＝60．

答：应安排80人生产甲种板材，60人生产乙种板材． 10．两边同乘x （x －1），得6x ＝x ＋k －3（x －1）， 解得x ＝

3

8

k +，由于原分式方程有解，所以x ≠0，x ≠1，即38k +≠0，3

8

k +≠1，故k ≠－3，k ≠5，即当k ≠－3，k ≠5时，原方程有解.

11．（1）李明同学的解答过程中第③步不正确，应为：甲每分钟打

字

30003000

6050

x ==（个）． 乙每分钟打字601248-=（个）．

答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个．

（2）设乙每分钟打字x 个，则甲每分钟打字(12)x +个，根据题意得

30002400

12x x =

+． 解得48x =．

检验48x =时(12)x x +≠0，48x =是原方程的解，且符合题意．

甲每分钟打字12481260x +=+=（个）． 答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个． 12．以下两种解法供参考： 解法一：因为12x -＝12x x --－3，所以12x -－12

x x --＝－3，所以

2

2

x x -+-＝－3，所以－1＝－3，所以原分式方程无解；

解法二：因为12x -＝12x x --－3，所以12x -＝21

2x x -+-－3，

所以12x -＝1＋12x -－3，所以12x -＝12

x -－2，所以0＝

－2，所以原分式方程无解.

13．设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得

101120140x x ??

++?= ???

． 解得60x =．

经检验：60x =是原方程的解．

答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天． （2）解：设两队合做完成这项工程所需的天数为y 天，根据题意

得

1

114060y ??+= ???

． 解得

24y =．

答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．

16.3测试题

基础巩固

1．A ．2．C ．3．D ．4．C ．5．C ．6．B ． 7．无解． 8．－1．

9．答案不唯一，如

70

mx

＝1． 10．1000x －100010

x +＝5．

11．（1）x ＝

73；（2）x ＝22b

a b

--． 12．当x ＝2时，A ＝B ．

13．由题意得，

44

223x x

+=--，解得4x =．经检验，4x =是

原方程的解．所以x 的值为4．

14．设今年1月份的一级猪肉每千克是x 元，则5月份的一级猪肉每千克是1.25x 元，由题意，得

20200.21.25x x

-=． 解得x ＝20．

检验：x ＝20时1.25x ≠0，x ＝20是原方程的解，且符合题意. 答：今年1月份的一级猪肉每千克是20元．

15．设王老师步行的速度为x 千米/时，则他骑自行车的速度为3x 千米/时，依题意可得

7.50.524

360

x x -=

． 解得x =5．

检验：x =5时60x ≠0，x =5是原方程的解，且符合题意. 所以3x =15.

答：王老师骑自行车的速度是15千米/时． 能力提高 1．①②③．

2．k >－4且k ≠－2.

3．原方程可化为2

x －ax －3x ＋3＝2

x －x ，则（a ＋2）x ＝

3．

当a ＋2≠0，即a ≠－2时，有x ＝

3

2

a +，因原方程无解，故32a +＝0（不成立）或32

a +＝1，解得a ＝1，所以当a ＝1时，原方程无解；

当a ＋2＝0，即a ＝－2时，方程（a ＋2）x ＝3无解，则原方程也无解．

综上所述，当a ＝1或a ＝－2时，原方程无解.

4．设第一次购书的进价为x 元，则第二次购书的进价为x （1＋20％）＝1.2x 元，根据题意，得

1200x ＋10＝1500

1.2x ． 解得x ＝5．

检验：x ＝5时1.2x ≠0，x ＝5是原方程的解，且符合题意． 所以第一次购书为1200

5

＝240（本），第二次购书为240＋10＝250（本）．

第一次赚钱为240×（7－5）＝480元（元），第二次赚钱为200×

（7－5×1.2）＋50×（7×0.4－5×1.2）＝40（元）． 所以两次共赚钱480＋40＝520（元）． 新题展示

（1）设试销时这种苹果的进货价是每千克x 元，依题意，得

110005000

20.5x x =?+．

解得x =5．

检验：x =5时(0.5)x x +≠0，x =5是原方程的解，且符合题

意．

（2）试销时进苹果的数量为

5000

10005

= (千克)，第二次进苹果的数量为2×1000=2000(千克) ．

盈利为 2600×7＋400×7×0.7－5000－11000=4160(元) ． 答：试销时苹果的进货价是每千克5元，商场在两次苹果销售中共盈利4160元．

第30期有效学案参考答案

第13课时 复习课（1）

1．A ．

2．（1）2ab ＋12b ；（2）2

94x

-；（3）2

-2x xy ；（4）2a ．

【问题1】（1）2；（2）A ．

【问题2】（1）a b a -；（2）22m n m n

-+．

3．B ．4．A ．5．C ．6．1．

7．（1）3564m n

m n

++；（2）1030615x y x y -+．

8．（1）它们的最简公分母是3

6abcx ．

2

3

166bcx ax abcx =

；

23

1326acx

bx abcx =

；

33

1236ab cx abcx =

；

（2）它们的最简公分母是()

2

2x

x -．

22

2x x x +-＝

()42

42x x x --；21

44x x x --+＝

()22

2x x x x --．

9．平均速度为

2c

c c a b +＝

2c

bc ac ab

+＝

2c ab bc ac ab ab

?+?＝2abc bc ac +

＝2ab a b +（千米/时），即小强到达学校的平均速度是2ab a b

+ 千米/时.

10．（1）x ＝

2

3

；（2）x ＝1； （3）

23＜x ＜1；（4）x ＞1或x ＜2

3

．

11．D ．

12．（1）原式＝

()()()()

323x x x x y -+--＝2x x y +-，把x ＝12，y

＝13

代入，原式＝15； （2）∵2

x ＋2y －2x －6y ＋10＝0，

∴

()21x -＋()2

3y -＝0．

∵()2

1x -≥0，()2

3y -≥0， ∴

()

21x -＝0，

()

2

3y -＝0．

∴x ＝1，y ＝3．

∴原式＝

22

1313

-?＝－

83

． 13．x ＋

y ≠0．14．2．

15．（1）答案不唯一，如229

3x x x --，22969x x x --+，22369

x x x x --+

等；

（2）229

69x x x --+＝()()()

2

333x x x +--＝33x x +-. 第14课时 复习课（2）

1．（1）310b

x ；（2）－

223b x ；（3）－

1

2x

；（4）0． 2．（1）

3

bc a

；（2）

x

x 1

+． 【问题1】（1）原式＝()()()()()2

333323x x x x x x -+-+--g ＝－2

x ；

（2）原式＝

()()()222x x x x ++-－22x -＝2x x -－2

2

x -＝1.

【问题2】原式

1

2214-?-+

-=a a a a a a --=14＝

31a -，把31=a 代入得：原式＝3×1

3

－1＝1－1＝0.

3．D ．4．D ．5．C ．

6．（1）23

2

b c

；（2）

2

12y ；（3）33

6

8a b cd -

；（4）

64

4

2a c b ．

7．B ．8．（1）

1a ；（2）9＋3x ；（3）b a b +；（4）m n m n +-． 9．原式化简得11x -，答案不唯一，如当x ＝3时原式＝1

2

（注

意不能取0，±1，2）．

10．1

2n n +=

+()2

12

n n ++，

证明：()221121

2222

n n n n n n n n n ++++=+=++++ ()2

12

n n +=

+．

11．两位学生的化简是正确的，但是代值是不正确的.对于生甲来说，因为当a ＝1，b ＝－1时，原式中的分母为0，原式无意义，显然，代值这一步不正确；对于生乙来说，因为当a ＝－1，b ＝－1时，原式中的分母为0，原式无意义. 12. 4.25×10-5

. 13．B ．14．D ． 15．化简得原式＝－

4xy ，当x ＝1

2

，y ＝－2时原式＝4. 第15课时 复习课（3）

1．1b a ??

+ ???

．2．B ．

【问题1】x ＝3．

【问题2】（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得

6800032000

102x x -=． 解得200x =．

检验：200x =时2x ≠0，200x =是所列方程的解，且符合题意．

22200200600x x +=?+=．

所以商场两次共购进这种运动服600套． （2）设每套运动服的售价为

y 元，由题意得

6003200068000

20%3200068000

y --+≥．

解得

200y ≥，所以每套运动服的售价至少是200元．

3．

m

a b

-．4．B ． 5．（1）原方程的解是x ＝－125

；（2）原方程无解. 6．C ．

7．设原计划平均每天改造道路x 千米，根据题意，得

202.124

24=-x

x . 解得x ＝0.2.

检验：x ＝0.2时1.2x ≠0，x ＝0.2是原方程的解，且符合题意.

答：原计划平均每天改造道路0.2千米. 8．（1）2000；

（2）设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，则由题意得

)

50)(2210(2000

220000%)251(2000+--?-=+x x ， 整理得

)

50(316

5+=x x ，解得x ＝750． 检验：x ＝750时3(50)x x +≠0，x ＝750是所列方程的解，且符合题意.

答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷.

9．答案不唯一，如欢欢和妮妮兄妹二人到距他们家10千米的爷爷家给爷爷过生日.哥哥欢欢骑上了爸爸为他新买的自行车先走，妹

妹妮妮在哥哥走了20分钟后乘坐公共汽车去，结果他们同时到达.已知公共汽车的速度是欢欢骑车速度的2倍，问欢欢骑车的平均速度是多少？

设欢欢骑车的平均速度为每分钟x 千米，根据题意可得方程

10x －102x

＝20． 解得x ＝1

4．

检验：x ＝14时2x ≠0，x ＝1

4

是原方程的解，且符合题意.

所以欢欢骑车的速度是每分钟1

4

千米.

10．甲两次购买卫生饲料的平均单价为

100010002000x y +＝2

x y

+；

乙两次购买卫生饲料的平均单价为

1600÷（

800x

＋800

y ）＝2xy x y +；

甲、乙所购卫生饲料的平均单价的差为

2

x y +－2xy

x y +＝()()2

2x y x y -+＞0， 所以乙所购的卫生饲料的平均单价较低，乙的购货方式更实惠.

11．64m m >-≠-且．12．

11R R

R R

-．

13.设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为x 元/千克，根据题意，得

x

x 100000

200002100000=

+. 解得 2.5x =.

检验： 2.5x =时20x ≠， 2.5x =是原方程的解，且符合题意．

当 2.5x =时，25x =．

所以实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/千克．

第十六章综合测试题（一）

一、选一选，牛刀初试露锋芒

1．D ．2．B ．3．B ．4．B ．5．D ．6．D ．7．B ．8．A ．9．A ．10．A ． 二、填一填，狭路相逢勇者胜 11．1×10

10

-m ．12．x ≠0且x ≠2．

13．57310a b a b -+．14．⑴1

1

m -；⑵

3564a b c ．

15．x ＝－3．16．2．17．180x －180

2

x +＝3．

18．200812.提示：由题意知()1f ＝12，()2f ＝4

5

，

12f ?? ???＝1

5

，()3f ＝910，

13f ?? ???＝1

10

，… 由此可知

()2f ＋12f ??

???

＝1，()3f ＋

13f ??

???

＝1，12009f ??

???

＋()2009f ＝1，所以()1f ＋()2f ＋12f ?? ???

＋()3f ＋13

f ?? ???

＋…＋12009f ?? ???

＋

()2009f ＝12＋1×2008＝2008

1

2

. 三、做一做，百尺竿头再进步 19．（1）原式＝

1

1

+m ；（2）原式＝－()123a +．

20．（1）x ＝15；（2）x ＝

1

6

． 21．原式2200911(1)1a a a a -+=

÷--220091(1)a a a a -=?-2009

1

a =

-，取a ＝－1，原式＝－2009

2

．（取另外两个数都将使原式失去意义）

22．有错误，应考虑x ≠2，即

23a

-≠2，a ≠－4，所以当a ＜2且a ≠－4时，方程22

x a

x +-＝－1的解是正数．

23．（1）

（2）根据题意，列方程得3

121010+=x x ． 解得15=x ．

检验：15=x 时60x ≠，15=x 是原方程的解，且符合题意． 答：骑车同学的速度为每小时15千米． 24．设从南京购进x 条裤子，根据题意，得

176********

42x x -=． 解得2000x =．

检验：2000x =时20x ≠，2000x =是所列方程的解且符合题意．

所以这笔生意赢利为58（x ＋2x －150）＋0.8×58×150－80000－176000＝90260（元）． 答：这笔生意赢利90260元．

第十六章综合测试题（二）

一、选一选，牛刀初试露锋芒

1．D ．2．B ．3．D ．4．A ．5．A ．6．A ．7．C ．8．A ．9．C ．10．A ． 二、填一填，狭路相逢勇者胜 11．

3

4

．12．小玲．13．答案不唯一，如

23x ，13x

等． 14．⑴

22a b a b

++；⑵

1

(1)

x x -．15．x ＝11．

16．1 000 000．17．±1．18．

2

1

n n ++． 三、做一做，百尺竿头再进步

19．（1）－62b a ；（2）2

a

a -．

20．（1）2x =-；（2）原方程无解． 21．原式=

3

2

-x .又原式为整数且x 为整数， ∴2313±=-±=-x x 或，

∴所有符合条件的x 的值的为1，2，4，5.

22．原式=

22-1+1-1+1x x x x x ?（）（）（）（）=4

x

．

由已知条件可知x 只能等于2，所以当x =2时，原式=4

22

=． 23．（1）设乙队单独完成需x 天，根据题意，得

111

20()2416060x ?++?=． 解得x =90．

经检验，x =90是原方程的解． 所以乙队单独完成需90天． （2）设甲、乙合作完成需y 天，则有11

(

)16090

y +=． 解得

36y =．

甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）． 乙单独完成超过计划天数，不符合题意．

甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）． 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 24．答案不唯一，如：

（1）乙车间每天生产的药品＝1.5×甲车间每天生产的药品； （2）甲、乙车间单独生产这批药品各需多少天； （3）设乙车间单独生产这批药品需x 天，由题意得

240x ＝240

5x +×1.5． 解得x ＝10．

检验：x ＝10时(5)0x x +≠，x ＝10是所列方程的解，且符合题意. 所以x ＋5＝15．

所以甲车间单独生产这批药品需15天，乙车间单独生产需10天.