2006天津工业大学高等数学(求实杯)竞赛试卷

天津工业大学2006年“求实杯”数学竞赛试卷

一．填空题： 1．=-→2

3cos 2cos cos 1lim

x

x

x x x .

2．设??

?

??===0 ,0,2)

sin(),(2xy x xy xy y x y x f ，则=')1,0(x f .

3．设函数n

n x x x f 2)2(1sin lim

)(+=∞

→π，则)(x f 的间断点有 个.

4．已知?-+

+=

20

2

2

)(441

)(dx x f x

x

x f ，求=?dx x f 2

)( .

5．已知二次曲面122)13()1(),,(222-++-+++=ayz xy z a y a x z y x f 是一个椭球面，则参数a 应满足条件 . 6．=-??dy xy dx 2

2

1 .

二．解下列各题：

1．设),32(z y x f u +=，其中f 具有二阶连续偏导数，而),(y x z z =由方程

?

=-

+-x y

t

dt e

z z 0ln 2

所确定，求

y

x u ???2

.

2. 设n

n n n x n

n )

2()2)(1( ++=

，求n n x ∞

→lim .

3．设???==t

k y t x sin )(?，其中)(t ?''存在，求22

dy x d .

4．设),(

2

xy x

y f y z =，f 具有连续的二阶偏导数，求

x

z ??，

y

x z ???2

.

5．求k 的取值范围，使当0>x 时，方程012

3=+-x kx 有且仅有一解.

6．设曲线的极坐标方程为3

sin 3

θ

a r =，计算曲线的全长.

四．设}

20,2

0),({π

π

≤≤≤

≤=y x y x D ，}0),({1t y x y x D ≤+≤=，

t t D D G ?=，求??+

=

t

G d y x t F σ)cos()(.

五．证明：当0>x 时，1)2()1(2>---x

x e x e x .

六．设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，其中0>a ，且0)(=a f ，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()(ξξξf a

b f '-=.

七．设曲面S 的方程为2

2

44y x z ++=

，平面π的方程是222=++z y x ，在曲面S 上

求一点，使该点与平面π的距离最近，并求疵距离. 八．设函数)(x f 在闭区间],[b a 上具有连续导数，证明：

)]()([2

]))

(()([lim 1

b f a f a b n

a b k a f n

a b dx x f n b

a

n

k n --=

-+

--

?∑

=∞

→

九．设函数)(x ?可导且满足0)0(=?，又)(x ?'严格单调递减. (1) 证明对)1,0(∈x ，有x x x )0()()1(???'<<'；

(2) 若0)1(≥?，1)1(≤'?，任取)1,0(0∈x ，令)(1-=n n x x ?（ ,2,1=n ），证明n n x ∞

→lim 存

在，并求出该极限.