生物统计学教案(3)

生物统计学教案

第三章几种常见的概率分布律

教学时间:3学时

教学方法:课堂板书讲授

教学目的：重点掌握正态分布,掌握二项分布，了解泊松分布，中心极限定律。

讲授难点：正态分布、二项分布

3。1 二项分布（重点）

3。1。1 二项分布的概率函数

满足二项分布的条件：

1、在一随机试验中，每次试验都有两种不同的结果.

2、两种结果是互不相容的.

3、每一种结果在每次试验中都有恒定的概率。

4、试验间应是独立的。

独立地将此试验重复n次，求在n此试验中,一种结果出现x次的概率是多少？例：从雌雄各半的100只动物中抽样，抽样共进行10次，问

其中包括3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P （X＝3）和P（X≤3)

该例符合二项分布的条件。规定以下一组符号：

n＝试验次数

x ＝在n次试验中事件A出现的次数

φ＝事件A发生的概率（每次试验都是恒定的)

1－φ＝事件发生的概率

p（x） = x的概率函数＝P（X＝x）

（累积分布函数） F(x） = P（ X ≤x）

上例中:n=10 x=3 φ=0.5 求p(3) 和F（3）。在一次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff，它的概率为

P（mmmfffffff）=φ3(1—φ）7

抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数

对于任意n和x有以下通式：

上式称为二项分布的概率函数。该式正是二项展开式的第x+1项，因而产生“二项分布”这一名称。因为φ＋(1－φ）＝1，所以

将x＝0，1，2，3,代入二项分布概率函数，可以得出出现0，1，2，3只雄性动物的概率。

P（0)＝ 0.0009766 P(1）＝ 0。0097656

P(2）＝ 0。0439453 P（3）＝ 0.1171876

抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：

F(3）＝P(0）＋P（1)＋P(2)＋P(3）

＝0.1718751

3。1。2 服从二项分布的随机变量的特征数

平均数: μ＝nφ或μ＝φ

方差：σ2＝nφ（1-φ）或

3.1。3 二项分布应用实例

例1 以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本,隐性纯合子小鼠wvwv为母本杂交（wv 波浪毛，Wv直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选每窝8只的，多于8只和少于8只的都淘汰。结果列在下表中。

直毛后代数观测频数

(x) （f) fx fx2 p(x）Np（x）

0 0 0 0 0。003906 0。124992

1 1 1 1 0。031250 1.000000

2 2 4 8 0。109375 3。500000

3 4 12 36 0。218750 7。000000

4 12 48 192 0。273437 8.749984

5 6 30 150 0.218750 7。000000

6 5 30 180 0.109375 3。500000

7 2 14 98 0。031250 1.000000

8 0 0 0 0。003906 0。124992

总数 N＝32 139 665 0。999999 31.99968

样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：

例2 遗传学中单因子杂交RR×rr，F1代为Rr，F1自交，F2基因型比符合二项分布。在F2中P（R）＝φ＝1/2，P（r）＝1－φ＝1/2，n＝2。展开二项式：

对于两对因子，n＝4

在为人类或动物遗传学研究中,为了保证实验顺利完成，在制定试验计划时，首先要以指定概率求出所需样本含量n.

例3 用棕色正常毛（bbRR）的家兔和黑色短毛(BBrr）兔杂交，F1代为黑色正常毛长的家兔(BbRr），F1代自交，F2代表型比为：9/16B_R_: 3/16B_rr： 3/16bbR_: 1/16bbrr。问最少需要多少F2代家兔，才能以99％的概率得到一个棕色短毛兔? 答: φn＝（15/16）n＝ 0.01

n（lg15－lg16）＝ lg0。01

-0.02803n ＝－2。00000

n ＝71。4

3。2 泊松分布

3。2.1 泊松分布的概率函数

在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（φ→0），而样本含量又很大（n →∞）时，二项分布就变成泊松分布了。泊松分布是描述在一定空间、长度、面积、体积或一定时间间隔内，点子散布状况的理想化模型.泊松分布的概率函数为：

3.2。2 服从泊松分布的随机变量的特征数

泊松分布的平均数：μ＝μ

可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的μ。

泊松分布的方差：σ2＝μ

概率函数中的μ不但是它的平均数,而且是它的方差。

3。2.3 泊松分布应用实例

例1 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每100m2麦田中，有0株、1株、2株、…杂草的概率是多少?

解: 先求出每100m2麦田中，平均杂草数μ

μ＝ 100/10＝ 10株

将μ代入泊松分布的概率分布函数中，

p（x) = 10x/x！e10,

即可求出x＝ 0，1，2，…时所相应的概率。结果如下：

x ≤5 6 7 8 9 10

p(x) 0.0671 0。0631 0。0901 0.1126 0。1251 0。1251

11 12 13 14 ≥15

0.1137 0。0948 0.0729 0.0521 0。0835

例2 绘制遗传连锁图时，制图函数是通过泊松分布推演出的。在一对同源染色体之间交换的出现是服从泊松分布的，将x＝0代入泊松分布的概率函数中,

得出两基因座之间无交换出现的概率.两基因座之间至少出现一次交换的概率P(x≥1) = 1－e—μ.从遗传学理论可知，在两基因座之间大于等于1的任何有限次交换其重组频率恒等于50％。因此重组率

解出两基因座之间的平均交换次数

μ= －ln（1－2RF ）

两基因座之间平均交换一次，其图距为50m。u.，从而可以得出图距

MD＝－50ln(1－2RF)

3.4 正态分布(重点）

3。4。1 正态分布的密度函数和分布函数

对于平均数是μ，标准差是σ的正态分布，其密度函数为：

正态分布密度函数的图象称为正态曲线

正态分布曲线

以符号N(μ，σ2）表示平均数为μ，标准差为σ2的正态分布。

随机变量X的值落在任意区间（a,b）内的概率

累积分布函数

3.4。2 标准正态分布

当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布记为N(0,1）。标准正态分布的密度函数为：

标准正态分布的分布曲线如下图

标准正态分布曲线

累积分布函数分布图如下：

标准正态分布的累积分布曲线

标准正态分布有以下特性：

1、在u＝0时φ（u)达到最大值。

2、当u不论向哪个方向远离0时，φ(u）的值都减小。

3、曲线两侧对称。

4、曲线在u＝－1和u＝1处有两个拐点。

5、曲线与横轴所夹面积等于1。

6、累积分布曲线围绕点（0，0。5)对称。

3。4。3 正态分布表的查法

为了简化计算,随机变量（U)的值（u）落在区间（a,b)内的概率,根据标准正态累积分布函数,已经把不同u值的Ф(u)值列成表(附表2)，称为正态分布表.根据以下关系式可以扩展正态分布表的使用范围。

例1 查u＝－0。82及u＝1.15时的Ф（u)值。

解:Ф(-0。82)＝0。20611

Ф（1.15)＝0.87493

例2 随机变量U服从正态分布N（0,1),问随机变量的值落在0,1。21间的概率是多少?落在－1.96，1.96间的概率是多少？

解：

1) P（0

= Ф(1。21)-0。5

=0。88686-0.5000

=0.38686

2）

P(｜U|

=1-2Ф(—u)

=1—Ф（-1.96)

=1—0。05000

=0.95000

对于服从N（μ，σ2）的随机变量X，首先要进行标准化变换，使之变为标准正态分布，再按上述方法查表.变换的方法是：

对于随机变量X

在对x进行标准化变换后，即可从正态分布表中查出相应的概率值。

例3 已知高粱品种“三尺三”的株高X服从正态分布N（156.2，4。822）,求:1）X<161厘米的概率；2)X>164厘米的概率；3）X在156－162厘米间的概率。

解：

3.4。4 正态分布的单侧临界值

附表3给出了满足P （U > uα） =α时的uα值.即曲线右侧尾区一定面积（α）下，所对应的u值uα，uα称为α的上侧临界值。

对于左侧尾区，满足P （U 〈－uα） =α时的－uα值，称为α的下侧临界值.

将α平分到两个尾区，每一尾区的曲线下面积只有α/2,满足P （｜U|〉uα/2) =α时的uα/2称为α的双侧临界值。

正态分布的单侧（上侧)和双侧临界值

3.6 中心极限定理

假设所研究的随机变量X可以被表示为许多相互独立的随机变量X i的和，如果X i的数量很大，而且每一个别的X i对于X所起的作用很小，则可以认为X服从或近似地服从正态分布。

推理：若已知总体平均数为μ，标准差为σ,那么,不论该总体是否正态分布，对于从该总体所抽取的含量为n的样本，当n充分大，其平均数渐近服从正态分布N(μ,σ2/n)。