同角三角函数关系式
同角三角函数基本关系式与诱导公式
1. 同角三角函数的基本关系 ⑴ 平方关系 s in 2ɑ＋cos 2ɑ＝1 tan 2ɑ+1=sec 2ɑ
co t 2ɑ+1=csc 2ɑ
⑵ 倒数关系 tan β · co t β=1 s in β · csc β=1 cos β · sec β=1
⑶ 商数关系
2. 三角函数的诱导公式
cos θsin θtan θ=
sin θcos θcot θ=
，
等于 β 的异名函数值，前面加上一个把β看成锐角时原函数所在象限的符号
β
2π
±的三角函数β2π3±
同角三角函数的基本关系式
直角三角定义 它有六种基本函数(初等基本表示)： 三角函数数值表 （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数 sinθ=y/r 正弦（sin）:角α的对边比斜边 余弦函数 cosθ=x/r 余弦（cos）:角α的邻边比斜边 正切函数 tanθ=y/x 正切（tan）:角α的对边比邻边 余切函数 cotθ=x/y 余切（cot）:角α的邻边比对边 正割函数 secθ=r/x 正割（sec）:角α的斜边比邻边 余割函数 cscθ=r/y 余割（csc）:角α的斜边比对边 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 coversθ =1-sinθ sinα、cosα、tanα的定义域： sinα定义域无穷，值域【-1，+1】 cosα定义域无穷，值域【-1，+1】 tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷 单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：
x^2+y^2 = 1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点 的x和y坐标分别等于cos θ和sin θ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sin θ = y/1 和cos θ =x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于2π 或小于?2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数： 对于任何角度θ和任何整数 k。 周期函数的最小正周期叫做这个函数的―基本周期‖（primitive period）。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π 弧度或360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π 弧度或180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为： 在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角(k+ 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在θ = (k+ 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在θ 从左侧接进(k+ 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k+ 1/2)π 的时候函数接近负无穷。 另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别
同角三角函数间的基本关系式总结
同角三角函数间的基本关系式总结·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·ta nβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·ta nγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
同角三角函数
同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式 根据三角函数定义，容易得到如下关系式 (1)平方关系 sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (2)乘积关系 sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα cotα=cosα²cscα,cscα=cotα²secα secα=cscα²tanα,tanα=secα²sinα (3)倒数关系 sinα²cscα=1,cosα²secα=1,tanα²cotα=1 说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=(k ∈Z)时，tanα²cotα=1就不成立. 另外，要注意是同角，如sin2α+cos2α=1，但sin2α+cos2β=1就不恒成立. (2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα²cosα=等等. 对于cosα=±,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考 虑符号问题.如α是第二象限角，tanα=而不能认为tanα=- (因为α是第二象限角，所以tanα为负值).其实α在第二象限，sinα为正值，cosα为负值，所以tanα =结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.
(3)要注意“1”的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα²cscα,tanα²cot α等去代换1. (4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tanα²cotα=1. ②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan2α=sec2α。 ③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积，如sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα. 2.同角三角函数关系式的应用 主要解决如下几类问题： (1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数. (2)三角函数式的化简. (3)证明三角恒等式，熟悉几种常用方法. 【重点难点解析】 1.同角三角函数的基本关系反映了各种三角函数之间的内在联系，这些关系式为三角函数式的求值、化简与证明等恒等变形提供了工具和方法，导出这些关系式的过程与方法——利用三角函数的定义方法，本身就是一种重要的证题方法. 2.已知角α的一种三角函数值，而利用关系式求其它三角函数值时，一般要用一次平方关系式，此时在实施开方运算而选择符号时，要依据α的象限定符号，而用其他关系式时，则结果取自然运算符号. 3.对三角函数式的化简问题，首先要明确化简标准与目标，即要尽量使次数低、项数少、函数种类少；尽量使式中不含三角函数；尽量使分母中不含三角函数；能求出值的必须求出值. 对于三角恒等式的证明，要明白其实质是通过恒等变形消除等式两端外形上的差异，因此观察与寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律，是确定实施怎样的变形以及选择什么样的三角公式的依据，这些恒等变形的能力要重点培养. 相关例题 例1已知tanα=m(π＜α＜2π且m≠0），求sinα,cosα的值. 分析：已知角α的一个三角函数值，求它的其他三角函数，可利用同角三角函数的关系式.又因为tanα的值是用字母m给出的，所以要对字母m的正负进行分类讨论. 解：当m＞0时，α为第三象限角， ∵sec2α=1+tan2α=1+m2,∴secα=-. ∴cosα==-,
同角三角函数基本关系
同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα?tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα?tanβ 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1－cosα sin^2(α/2)＝—————
2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式 α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—--- 2 2 α＋βα－β sinα－sinβ＝2cos—----?sin—---- 2 2 α＋βα－β cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—----- 2 2 α＋βα－β
同角三角函数基本关系与诱导公式
1. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2 x ＝1，sin x cos x ＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式， 并能灵活运用． 一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝1(α∈R) 2．商数关系: tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π 2，k ∈Z) 二、六组诱导公式 考纲要求 知识梳理
对于角“ k π 2 ±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是 说 k π 2 ±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶 数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．” 有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z)，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α＝sin(π－α)＝sin α. 【考点一】 同角三角函数关系式的应用 ★1．（20099）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 【答案】35 - 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 由已知，θ在第三象限， ∴3cos 5θ===-，∴应填35-. ★★2.（20119）在ABC ?中。若b=5，4 π = ∠B ，tanA=2，则sinA=____________； a=_______________。 【答案】10 25 5 2 ★★★3．已知sin α－cos α＝1 2 ，则sin α·cos α＝________. 答案：8 3 典型例题 究疑点
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ²cotα=1 sinα ²cscα=1 cosα ²secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA²cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式 sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a ² tan(π/3+a)² tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
三角函数公式同角三角函数的基本关系
三角函数公式同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα·secα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα 平方关系平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+si nθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ) /2]=sin（a+θ）*sin（a-θ） 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) 半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)= (1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)] cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/ n]=0 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+ta nA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^ 4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
三角函数的同角关系公式
三角函数的同角关系公式 引言 三角函数是数学中非常重要的一组函数，它们描述了角度和三角形之间的关系。在三角函数中，同角关系公式是一条非常重要的公式，它能够将不同的三角函数互相转化，为求解各种三角函数的值提供了便利。本文将围绕同角关系公式展开讨论，并深入探究其应用。 同角关系公式的定义 在三角函数中，同角关系公式是指一组将不同的三角函数相互表示的公式。在解决实际问题时，我们常常会遇到需要求解不同三角函数的值的情况，而同角关系公式能够帮助我们将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值，从而简化计算。同角关系公式的基本形式如下： 1.正弦函数的同角关系公式： s i n(-θ)=-s in(θ) 2.余弦函数的同角关系公式： c o s(-θ)=co s(θ) 3.正切函数的同角关系公式： t a n(-θ)=-t an(θ) 4.余切函数的同角关系公式： c o t(-θ)=-c ot(θ) 5.正割函数的同角关系公式： s e c(-θ)=se c(θ) 6.余割函数的同角关系公式： c s c(-θ)=-c sc(θ) 同角关系公式的推导和证明
同角关系公式可以通过单位圆的性质和三角函数的定义来推导和证明。这里我们以正弦函数的同角关系公式为例进行说明。 考虑一个半径为1的单位圆，以原点为圆心。取一个顺时针旋转的角 度θ（弧度制），则θ所对应的弧长为θ，并且在单位圆上取得了一个 点P(x,y)。根据正弦函数的定义，我们有： s i n(θ)=y 接下来，我们考虑一个逆时针旋转的角度-θ，则其对应的弧长也为 θ，并且在单位圆上取得了一个点Q(-x,y)。根据正弦函数的定义，我 们有： s i n(-θ)=y 由于点P和点Q的纵坐标相同，所以有s in(-θ)=s in(θ)。根据同 理可得证明余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的同角 关系公式。 同角关系公式的应用 同角关系公式在解决实际问题中具有广泛的应用。以正弦函数的同角 关系公式为例，我们可以利用该公式来简化计算、求解未知数等。 例如，我们需要计算s in(-π/3)的值。通过同角关系公式，我们可 以将该问题转化为si n(π/3)的计算，由于π/3所对应的角度在单位圆 上对应的点恰好是一个等边三角形的顶点，因此s in(π/3)的值是√3/2。又根据正弦函数的同角关系公式，我们知道si n(-π/3)的值也是√3/2。 同样地，利用同角关系公式，我们可以在解决三角函数的值、方程、 不等式等问题时，将复杂的计算转化为简单而直观的计算，大大提高了计 算的效率和准确性。 结论 同角关系公式是描述三角函数之间互相转化的重要工具，它能够帮助 我们将不同三角函数的值互相转化，简化计算并提高解题效率。通过深入 理解同角关系公式的定义、推导和应用，我们可以更好地应用三角函数解 决实际问题，并进一步扩展和应用数学的相关知识。
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式 1. 同角三角函数的基本关系： 倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=1 2. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 3. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 4. 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA•cosA 余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 5. 三倍角公式 sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 6. n倍角公式 sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1） 7. 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 8. 和差化积 sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9. 两角和公式
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
同角三角函数恒等公式
同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式： sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
同角三角函数关系式
同角三角函数关系 学习目标 1．掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，αα cos sin ＝tan α， tan αcot α＝1 ． 2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题． 知识点梳理 ()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ()s i n 2t a n c o s ααα=s i n s i n t a n c o s ,c o s t a n αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭ ． (3)tan αcot α＝1． 知识拓展 根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子． ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+ααααααααααααααααααsin cos cot cos sin tan 1sec cos 1csc sin 1cot tan csc cot 1sec tan 11cos sin 222222 常考题型 例1已知α是第三象限角且tan α＝2，求cos α的值． 例2已知sin α＝m （|m |<1），求tan α，cos α． 例3已知tan α＝－34 ，求下列各式的值： （1）ααα αsin cos 3sin 3cos 2++；（2）2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α．
课后习题 1、已知0cos 3sin =+αα，则α所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第一、三象限 D 、第二、四象限 2、ααcos sin 21⋅+的值为 （ ） A 、ααcos sin + B 、ααcos sin - C 、ααsin cos - D 、|ααcos sin +| 3、若θθcos ,sin 是方程0242 =++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+ B ．51- C ．51± D ．51-- 4、⑴已知0cos 2sin =-αα，则 =α αcos sin 1 。 ⑵=-⋅-αααα2 2cos 5cos sin 3sin 4 。 5、已知α是第三象限角，化简=+---+α αααsin 1sin 1sin 1sin 1 。 6、化简： ααα α4266sin sin cos sin 1---
同角的三角函数的基本关系
同角的三角函数的基本关系 [基础知识归纳] 1．同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1； 商数关系式：tan α＝sin αcos α . 2．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋π2 ，k ∈Z}． 知识要点一：公式的推导 （1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，y x ＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋sin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α ＝tan α. （2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r. 则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α . 知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件 sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠kπ＋π2 (k ∈Z)时成立． （2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同 角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α ＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． （3）．使用平方关系sin α＝±1－cos 2α， c os α＝±1－sin 2α，“±”由角α所在象限来确定． （4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用． 如：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝ sin αtan α，sin αcos α ＝tan α 等． [例题与练习] 【例1】 已知cos α＝－35 ，求sin α，tan α的值． 答案： 当α为第二象限角时，sin α＝45，tan α＝－43. 当α为第三象限角时，sin α＝－45，tan α＝43 .
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 倒数关系：tanα²cotα=1 sinα²cscα=1 cosα²secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=sec α/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α*cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a- θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin （a-θ） 坡度公式 我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角）， 那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠ α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA²cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2 (a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正 切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式
同角三角函数的基本关系
第十一节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛ ⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式 对于角“k π 2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不 变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 课前检测 1．sin 585°的值为( ) A ．－ 2 2 B.22 C ．－ 3 2 D.32 解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22 . 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π 2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6 D.π3 解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π 3. 3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫ π2＋θ－cos (π－θ) sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D.2 3 解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝2 1－2 ＝－2.
4．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是____1 2____． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝1 2. 5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝___－25 5_____. 解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝ sin αcos α＝－12.∴cos α＝－25 5 . 应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化． 一、同角三角函数的基本关系式 [例1] (1)若tan θ＋ 1 tan θ ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.1 4 C.1 3 D.12 (2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α 5sin α＋2cos α＝________. [自主解答] (1)∵tan θ＋ 1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝1 2 . (2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2.原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－1 6. 法二：由已知得sin α＝2cos α.原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1 6. [答案] (1)D (2)－1 6 在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________. 解析：原式＝sin 2 α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1 ＝8 5. 答案：8 5
(完整)同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 诱导公式 sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－ tanα cot（－α）＝－ cotα 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋ tanβ tan(α＋β）＝—————- 1－ tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋ tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2（α/2） 1－tan2(α/2）cosα＝—————- 1＋tan2(α/2） 2tan（α/2) tanα＝—————— 1－tan2（α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝--——— 1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3αtan3α＝—————— 1－3tan2α 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]
2 2 α＋βα－β sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2 α＋βα－β c osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2 α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］ sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］ 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式） 直角三角定义 它有六种基本函数（初等基本表示）： 三角函数数值表 （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r,P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r 正弦（sin):角α的对边比斜边 余弦函数cosθ=x/r 余弦(cos):角α的邻边比斜边 正切函数tanθ=y/x 正切(tan）：角α的对边比邻边 余切函数cotθ=x/y 余切（cot）：角α的邻边比对边
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tanα= 2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α. 3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. (3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα. (5)公式五 (6)公式六 即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60° 4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限. .sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则 的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos αα ααα ==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析