同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系

倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1

商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式

sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1

一个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）

=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]

=sin（a+θ）*sin（a-θ）

锐角三角函数公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式

正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a =cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

n倍角公式

sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）......sin（a+（n-1）π/n）。其中R=2^（n-1）证明：当sin（na）=0时，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=......或=sin【（n-1）π/n】这说明sin（na）=0与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin （2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*......*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。所以sin（na）与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin （3π/n）｝*......*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比。而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ），所以｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*......*｛sina- sin【（n-1π/n】与sina sin（a+π/n） (i)

（a+（n-1）π/n）成正比（系数与n有关，但与a无关，记为Rn）。然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2，所以Rn= 2^（n-1）

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2]

cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-co s(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

双曲函数

sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= s inα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan（-α）= -tanα c ot（-α）= -cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα

公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan （3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容

诱导公式

sin(-α) = -s inα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) =

sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]

tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

其它公式

(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明

下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当

x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）

²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

编辑本段内容规律

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发

现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是

学好三角函数的关键所在.

1、三角函数本质：

[1] 根据右图，有sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。深刻理解了这

一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B)

= sinAcosB+cosAsinB 为例：

推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD

为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)

∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）单

位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆

来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直

角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的

三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度

度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一

个过原点的线，同x 轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x

和y 坐标分别等于cos θ 和sin θ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等

于斜边且长度为1，所以有sin θ = y/1 和cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通

过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

角函数的基本关系式

倒数关系: 商的关系：平方关系：

t anα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α诱导公式

－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

/2－α）＝cosαπ/2－α）＝sinαπ/2－α）＝cotαπ/2－α）＝tanα/2＋α）＝cosαπ/2＋α）＝－sinαπ/2＋α）＝－cotαπ/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ－β）＝sinαcosβ－cosαsinβα＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβα－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

α＋β）＝——————

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

α－β）＝——————

1＋tanα ·tanβ

2tan(α/2) sinα＝——————

1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

＝2sinαcosα

＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

＝—————

1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinβ＝2sin—－－·cos—－— 2 2

α＋βα－β

sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2

α＋βα－β

＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2

α＋βα－β

－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 1

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

2

1

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]

2

1

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）] 2

1

sinα ·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）] 2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）