同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点

[归纳·知识整合]

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α

cos α

[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？

提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α

3＝1，tan

4α＝sin 4α

cos 4α

等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立．

2．诱导公式

即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π

2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，

前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？

提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－

α，π

＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝1

2，则sin α的值为( )

A ．±1

B.12

C.32

D ．±32

解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－1

2，

∴sin α＝±1－cos α2＝±3

2．tan 690°的值为( ) A ．－

B.33

C. 3 D ．－ 3

解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－

. 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos α

sin α＋cos α的值为( )

A ．－13

B ．－53

C.13

D.53

解析：选C

sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝1

4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜3

2π，则cos α－sin α＝________.

解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝4

3π，

∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 4

3π

＝－cos π3＋sin π3＝－12＋3

2＝3－12.

答案：

3－1

5．计算sin 10π

3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝

⎛⎭⎫4π＋π3

＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3－2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4－tan π3 ＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.

答案：－33

2＋1

[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1

(1)求tan α的值； (2)把

cos 2

α－sin 2α

用tan α表示出来，并求其值．

[自主解答] (1)法一：

联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

sin α＋cos α＝15， ①

sin 2α＋cos 2α＝1， ②

由①得cos α＝1

5－sin α，

将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，

∴⎩⎨⎧

sin α＝45

，

cos α＝－3

，∴tan α＝－4

法二：∵sin α＋cos α＝1

，

∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝1

25， ∴2sin αcos α＝－2425

，

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝49

25.

∵sin αcos α＝－12

<0且0<α<π，

∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝7

由⎩⎨⎧

sin α＋cos α＝1

，

sin α－cos α＝7

，得⎩⎨⎧

sin α＝45

，

cos α＝－3

，

∴tan α＝－43

(2)1

cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α

cos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α

. ∵tan α＝－4

，

∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2

α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋1

1－⎝⎛⎭

⎫－432

＝－25

保持本例条件不变，求：(1)

sin α－4cos α

5sin α＋2cos α

；

(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：由例题可知 tan α＝－4

(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α

＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝8

. (2)sin 2

α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos α

sin 2α＋cos 2α

＝tan 2

α＋2tan α1＋tan 2α＝169－8

31＋169

＝－825.

———————————————————

同角三角函数关系式及变形公式的应用

(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α

cos α＝tan α可以实现

角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.

1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.②

由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝38，∴cos α＝±6

[例2] (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3

3，求cos ⎝⎛⎭

⎫5π6－α的值； (2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－3

5，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． [自主解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π

6－α＝π， ∴5π6

－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π

6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33

(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝co s(π－α)＝－cos α＝－3

5，

∴cos α＝3

∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭

⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π

2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭

⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝3

—————

—————————————— 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求

(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．

(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.

2．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭

⎫3π

2－αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭

⎫π2＋α＝( )

A.9

16 B ．－916

C ．－34

D.34

(2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π

2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π

6＝________. 解析：(1)选B ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－3

5，

由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝3

∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－9

(2)∵f (α)＝

(－2sin α)(－cos α)＋cos α

1＋sin 2α＋sin α－cos 2α

＝

2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)

＝1

tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1

tan π6＝ 3. 答案： 3

[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．

[自主解答] 由已知得⎩

⎪⎨⎪⎧

sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②

①2＋②2得2cos 2A ＝1 即cos A ＝

22或cos A ＝－2

. (1)∵当cos A ＝

22时，cos B ＝3

，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π

6，

∴C ＝π－(A ＋B )＝7π

12.

(2)∵当cos A ＝－

22时，cos B ＝－32

. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π

6，不合题意．

综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.

—————

——————————————

1．三角形中的诱导公式

在三角形ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，

tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. 2．求角的一般步骤

求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．

3．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解：∵sin A ＋cos A ＝2， ∴1＋2sin A cos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4

∵3cos A ＝－2cos(π－B )， ∴3cos π

4＝2cos B ，

∴cos B ＝

. ∵0＜B ＜π，∴B ＝π

∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π

12.

∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12

1个口诀——诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限． 1个原则——诱导公式的应用原则负化正、大化小、化到锐角为终了．

3种方法——三角函数求值与化简的常用方法

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α

化成正、余弦．

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．

(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π

4＝….

3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．

特别注意函数名称和符号的确定．

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区

[典例] (2011·重庆高考)若cos α＝－3

5，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. [解析] 依题意得sin α＝－1－cos 2α＝－4

，

tan α＝sin αcos α＝4

[答案] 4

[易误辨析]

1．解答本题时，常会出现以下两种失误

(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sin α的两个值而致误； (2)只注意到α的范围，但判断错sin α的符号而导致tan α的值错误． 2．由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时，要注意以下两点

(1)题目中若没有限定角α的范围，则sin α或cos α的符号应有两种情况，不可漏掉． (2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sin α或cos α的符号，不合题意的一定要舍去．

[变式训练]

1．(2013·福州模拟)已知α∈⎝

⎛⎭⎫π，3π

2，tan α＝2，则cos α＝________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧

tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝1

5，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－

. 答案：－

2．(2013·泰州模拟)若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝1

16，则cos θ－sin θ的值是________．解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝15

∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ.∴cos θ－sin θ＝－154. 答案：－154

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．α是第一象限角，tan α＝3

4，则sin α＝( )

A.4

5 B.35 C ．－45

D ．－35

解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin 2 α＋cos 2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝3

2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π

3－α＝( ) A ．－3

B.35

C.45

D ．－45

解析：选B cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35. 3．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.4

D.53

解析：选B sin 2

x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95

4．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－31

3π的值为( ) A.1

2 B ．－13

C ．－12

D.13

解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α

－cos αtan α

＝－cos α，

∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12

5．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π

2＜α＜0，则sin α＝( )

A.32

B ．－

C.12 D ．－12

解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2α

cos α＝3，

即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π

2＜α＜0，

解得cos α＝1

2(cos α＝－2舍去)，

故sin α＝－

. 6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5

D ．－1－ 5

解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m

2，

sin θcos θ＝m

4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

∴m 24＝1＋m

2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.

解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)

－sin α

＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0

8．若cos(2π－α)＝

，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________.

解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1可得，sin α＝±2

，

∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α＝－23. 答案：－23

9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝

23⎝⎛⎭⎫π

2＜α＜π.则sin α－cos α＝________.

解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝2

，得sin α＋cos α＝

，① 将①两边平方得1＋2sin α·cos α＝2

9，

故2sin αcos α＝－7

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π

2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.

∴sin α－cos α＝4

答案：43

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知sin(3π＋θ)＝1

3，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋

cos (θ－2π)

sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭

⎫3π2＋θ的值．

解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝1

3，

∴sin θ＝－1

∴原式＝－cos θ

cos θ(－cos θ－1)＋cos θ

cos θ·(－cos θ)＋cos θ

＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ

＝

11＋cos θ＋11－cos θ＝2

1－cos 2θ

＝

2sin 2θ＝2

⎝⎛⎭

⎫－132

＝18. 11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ

1－

sin θcos θ

＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋1

2，

故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ

1－tan θ

＝3＋12.

(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝

. (3)由⎩⎪⎨

⎪⎧

sin θ＋cos θ＝3＋1

2，sin θ·cos θ＝3

知

⎩⎨⎧

sin θ＝

，cos θ＝12

，或⎩⎨⎧

sin θ＝12

，

cos θ＝3

又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π

12．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π

2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？

若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．

解：假设存在α、β使得等式成立，即有

⎩⎪⎨⎪⎧

sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ②

由诱导公式可得

⎩

⎪⎨

⎪⎧

sin α＝2sin β， ③

3cos α＝2cos β， ④ ③2＋④2得

sin 2α＋3cos 2α＝2，解得cos 2α＝12.

又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入④得cos β＝3

2.又β∈(0，π)，

∴β＝π

，代入③可知符合．

将α＝－π4代入④得cos β＝3

2.又β∈(0，π)．

∴β＝π

，代入③可知不符合．

综上可知，存在α＝π4，β＝π

6满足条件．

1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2

B ．－1－k 2

1－k 2

D ．－

1－k 2

解析：选B ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ， sin 80°＝1－k 2，

∴tan 80°＝

1－k 2

，tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2

. 2．sin 585°的值为( ) A ．－

B.22

C ．－

解析：选A 注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin 45°＝－

. 3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12

D ．－2

解析：选B ∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55

，

∴tan α＝2.

4．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°· (－sin 1 050°)＋tan 945°

＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝

32×32＋12×1

＋1＝2. 5．若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．

解：∵由题意知：sin θ＋cos θ＝15，

∴(sin θ＋cos θ)2＝1

25.

∴sin 2θ＝－24

，

即2sin θcos θ＝－24

25＜0，

则sin θ与cos θ异号．

又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π

故cos 2θ＝－1－sin22θ＝－7

25.

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点 [归纳·知识整合] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α 3＝1，tan 4α＝sin 4α cos 4α 等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立． 2．诱导公式即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． [探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－ α，π 2 ＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝1 2，则sin α的值为( ) A ．±1 2 B.12 C.32 D ．±32 解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－1 2， ∴sin α＝±1－cos α2＝±3 2. 2．tan 690°的值为( ) A ．－ 3 3 B.33 C. 3 D ．－ 3 解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 3 3 . 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos α sin α＋cos α的值为( ) A ．－13 B ．－53 C.13 D.53 解析：选C sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝1 3 . 4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜3 2π，则cos α－sin α＝________. 解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝4 3π， ∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 4 3π ＝－cos π3＋sin π3＝－12＋3 2＝3－12. 答案： 3－1 2 5．计算sin 10π 3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎫4π＋π3

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲] 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 2．三角函数的诱导公式

辨析感悟 1．对三角函数关系式的理解 (1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. (×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α cos α恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈?????? π2，π，则cos α＝35.(×) 2．对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角α可以是任意角． (√) (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． (√) (6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用 (7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3. (×) (8)(2013·广东卷改编)已知sin ? ????5π2＋α＝1 5，则cos α＝－15.(×) [感悟·提升]

1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π 2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)． 2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α 4sin α－9cos α＝___________， 4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. (2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π 2，则cos θ－sin θ的值为________．解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－3 4×2－9＝－1， 4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2 α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α sin 2 α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1 ＝1.

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------?? ??? 正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角. 角α（弧度）(,)∈-∞+∞. （2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）（3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则l r α= （弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{} 2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022r r ππ= =（弧度），即0180π=. 1（弧度）0 00 18057.35718π??'=≈= ??? 故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180 π = 两个换算单位即可：如： 005518015066π=?=；036361805 ππ=?=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈，扇形面积公式：211 22 S lr r α= =. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有1 1 = 2 2 S lr =g g 底高，如图4-1所示. 二、任意角的三角函数 1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点 O ），则 P 到原点 O 的距离 0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r x ααα= ==.

同角三角函数基本关系与诱导公式

1. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2 x ＝1，sin x cos x ＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝1(α∈R) 2．商数关系: tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π 2，k ∈Z) 二、六组诱导公式考纲要求知识梳理

对于角“ k π 2 ±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说 k π 2 ±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．” 有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z)，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α＝sin(π－α)＝sin α. 【考点一】同角三角函数关系式的应用 ★1．（20099）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 【答案】35 - 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 由已知，θ在第三象限， ∴3cos 5θ===-，∴应填35-. ★★2.（20119）在ABC ?中。若b=5，4 π = ∠B ，tanA=2，则sinA=____________； a=_______________。【答案】10 25 5 2 ★★★3．已知sin α－cos α＝1 2 ，则sin α·cos α＝________. 答案：8 3 典型例题究疑点

三角函数的基本关系和诱导公式要点概括

三角函数的基本关系和诱导公式要点概括 1. 同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin α2 ＋cos α2 ＝1；（2）商的关系：α α αcos sin tan =。 2. 三角函数的诱导公式（2）诱导公式的规律诱导公式概括为：“k π 2±α，（k ∈Z ）的正弦、余弦值，当k 为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得角α相应的余名函数值。然后添上把角α看成锐角时原函例题2 化简：sin (k π－α)·cos [(k －1)π－α] sin [(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)，k ∈Z 。解析：当k 为偶数时，记k ＝2n （n ∈Z ），原式＝sin (2n π－α)·cos [(2n －1)π－α]sin [(2n ＋1)π＋α]·cos (2n π＋α) ＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k 为奇数时，记k ＝2n ＋1（n ∈Z ），原式＝sin [(2n ＋1)π－α]·cos [(2n ＋1－1)π－α]sin [(2n ＋1＋1)π＋α]·cos [(2n ＋1)π＋α] ＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1。综上所述：原式＝－1。

点拨：利用诱导公式化简三角函数表达式，要特别注意函数名是否改变以及符号的确定。可通过“奇变偶不变，符号看象限”这一简便记法理解记忆。例题3 化简： α α ααsin 1sin 1sin 1sin 1+-- -+。解析：原式αα ααααα αααcos sin 2cos sin 1cos sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222=--+=+---+= ，当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，原式αtg 2=；当α在Ⅱ、Ⅲ象限时，原式αtg 2-= 。解题错误：没有分象限进行讨论，直接使ααcos cos 2 =。

高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1， 1tan sec 22=-αα， 1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α =tan α， αα αcot sin cos =，倒数关系：tan αcot α=1， α αcos 1sec = α αsin 1csc = （2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) ．解原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2 )，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34 ． ∵θ∈(π4 ，π2 )，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32 ．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．

变式2 已知cos θ－sin θ= － 32 ，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1） α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α

同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π 2(k ∈Z)． 2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π 2 ＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限. 二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α????α≠π 2＋k π，k ∈Z .

考点一三角函数的诱导公式 [典例] (1)已知f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ????－25π 3的值为________． (2)已知cos ????π6－α＝23，则sin ? ???α－2π 3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π 2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α) (－cos α)??? ?－sin αcos α＝cos α，所以f ????－25π3＝cos ????－25π3＝cos π3＝1 2 . (2)sin ????α－2π3＝－sin ????2π3－α＝－sin ????π－????π3＋α＝－sin ????π3＋α＝－sin ??? ?π2－? ???π 6－α＝－cos ????π6－α＝－23 . [答案] (1)12 (2)－23 [题组训练] 1.已知tan α＝1 2，且α∈????π，3π2，则cos ????α－π2＝________. 解析：法一：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π 2知α为第三象限角，联立????? tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－5 5 . 法二：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝1 2，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－ 55 . 答案：－ 55 2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋1 4＋1＝2. 答案：2

2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识点讲解)含详解

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】 1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛ ⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosx csinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法: ()2 22124 sin cos sin cos sin cos tan π θθθθθθ=+=+-=等. (3)和积转换法:利用()()2 2 212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化. （二）诱导公式六组诱导公式

对于角“k π 2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________ 例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x x x x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____. 例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值．【规律方法】 1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2 α＋cos 2 α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意 ()2 22124 sin cos sin cos sin cos tan π θθθθθθ=+=+-=等； (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α ＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2α c sin 2α＋ d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或 cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1 sin cos 5 θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（） A ．15 B ．15- C ．75 D ．7 5 -例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数

同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解

同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． 푠푖 푛훼（2）商数关系： 푐표푠훼= tanα． 2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α． 휋휋 公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（ 2―α）＝sinα． 휋 휋公式六：sin（ 2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）= 푡푎푛훼+ 푡푎푛훽 1― 푡푎푛훼푡푎푛훽．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= 푡푎푛훼― 푡푎푛훽 1+ 푡푎푛훼푡푎푛훽． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

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（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α= 2푡푎푛훼1― 푡푎푛2훼．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀： 푘휋 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2 数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 2/ 2

三角函数基本关系式与诱导公式

三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学 1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：α α αcos sin tan = ；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；（2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积. 诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识 1．三角变换的常见技巧 “1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 2 2 =+αα）； 2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角； 3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.

4．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 例若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（）象限 A.一 B.二 C.三 D.四【知识梳理】 1.公式(一) =∙+)sin(πα2k =∙+)cos(πα2k =∙+)tan(πα2k 2．公式（二）: ()=-α0180sin ()=-α0180cos () =-α0180tan 3.公式(三) ( )=+α0180sin ()=+α0180cos () =+α0180tan 4.公式(四) =-）αsin( =-）αcos( =-）αtan( 【典型例题】例1．下列三角函数值：（1）cos210º； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值：（1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60º)－sin(－210º) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα

同角三角函数的基本关系诱导公式

二、同角三角函数的基本关系及引诱公式 1 ．理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1, sinx tanx. cosx 2 ．能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的引诱公式. 2 本知识点在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础，常以引诱公式作为基础内容，综合同角关系式及三角恒等变换进行观察，解题时要熟练灵便运用公式及变形进行求解与化简. 1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．（2）商数关系： sin ＝tan α． cos 2．三角函数的引诱公式公式一二三四五六角 2k π+α π+α -α -α +α π-α （k ∈Z ） 2 2 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀函数名改变，函数名不变，符号看象限符号看象限

3．必记结论——特别角的三角函数值角 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°180° 角的 0 π ππ π 2π3π5π π 弧度数 6 4 3 2 3 4 6 sin 0 1 2 3 1 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 — 3 1 3 0 3 3 已知是第二象限角，sin 5 ，则cos 13 5 12 5 D ． 12 A ． B ． C ． 13 13 13 13 【答案】B 【解析】因为是第二象限角，由sin 2 +cos 2 =1，得cos 1sin 2 1(5)2 12．故 13 13 选B ．【考点定位】同角三角函数的基本关系【名师点睛】 1.利用 sin 2 +cos 2 可以实现角的正弦、余弦的互化，利用 sin =tan 可以实现 =1， cos 角的弦切互化． 2.注意公式逆用及变形应用： 1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 已知sin( )cos( 4 ) 1 ，求cos( )的值. cos 2 2 【答案】 1 2 【解析】由 sin( )cos( 4 ) 1 ，得 sincos 1 ，即sin 1 ， cos 1 2 cos 2 2 ∴cos( ) sin . 2 2 【考点定位】引诱公式【名师点睛】（1）利用引诱公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tanα= 2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α. 3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. (3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα. (5)公式五 (6)公式六即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60° 4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限. .sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos αα ααα ==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析

同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)

同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tanα. 2.三角函数的诱导公式总结： 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.() (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.() (3)若α∈R，则tan α＝sin α cos α恒成立.()

(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3，当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35 解析由同角三角函数关系得 cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9 ＝－4 5. 答案 B 3.已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，故cos(π＋α)＝－cos α＝－3 5. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝4 3 ，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ 432 ＝－79. 答案 A

同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式主要知识： 1．同角三角函数的基本关系式：（ 1）倒数关系： tan α·cot α＝ 1；（ 2）商数关系： tan α＝ sin ， cot α＝ cos ； cos sin （3）平方关系： sin 2α＋ cos 2 α＝ 1． 2．诱导公式奇变偶不变，符号看象限 α +2 k π（ k ∈ Z ）、－ α、π± α、 2π－ α 的三角函数值，等于 α的同名函数值，前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号． ●点击双基 1． sin 600o tan 240o = ． 2．设 cos α=t ，则 tan （π－ α ） = ． 3．计算 sin 7 πcos(－ 23 π)＋ tan(－ 11 π)cos 13 π＝． 3 6 4 3 4．已知是第二象限的角， tan 1 ．，则 cos 2 5．已知 cos31o m, 则 sin 239o tan149 o = ． 6．已知为钝角， sin 1 ．，则 tan 3 π π 7． sin( α－ 4 ) ＋ cos( α＋ 4)= ． 8. 已知 cos( ) 3 , 且，则 tan ． 2 2 2 例题分析：题型一：直接应用，知一求二例1．已知 sin 5 ，求 cos , tan ． 13 第 1页共6页

例 2．已知tan m,( m 0) ，求 cos,sin 题型二： sin cos与sin cos的相互转化 1π π 例 3．若 sinθcosθ＝，θ∈ ( ， )，求 cosθ－ sinθ的值． 8 4 2 变式 1 ：条件同例，求cosθ＋sinθ的值．变式 2 ：已知 cosθ－ sinθ＝－3 ，求 sinθcosθ，sin θ＋ cosθ的值．2 例 4．已知 sinθ－cosθ＝1 2，求：（1） sinθcosθ；（ 2） sin3θ－ cos3θ；（3） sin4θ＋ cos4θ. 第2页共6页

高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式

2019高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式 2019高考各科复习资料 2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tan x. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α+cos2α=1. (2)商数关系：tan α=. 2.三角函数的诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos_α，tan(α+2kπ)=tan α，其中k∈Z. 公式二：sin(π+α)=-sin_α，cos(π+α)=-cos_α，tan(π+α)=tan α.公式三：sin(-α)=-sin_α，cos(-α)=cos_α，tan(-α)=-tan α. 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现

代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。公式四：sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos_α，tan(π-α)=-tan α.公式五：sin=cos_α，cos=sin α. 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的

三角同角三角函数的关系式及诱导公式

同角三角函数的关系式及诱导公式一、基础知识（一）同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα；②商式关系 αα αtan cos sin =；③倒数关系1cot tan =αα; （二）正弦余弦的诱导公式：απ ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“奇变偶不变,符号看象限”; 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数; 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值,求此角的其他三角函数值①要注意题设中角的范围,②用三角函数的定义求解会更方便； b) 化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式; 二、题型剖析 1、化简求值例1：化简1()) cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k Z k ∈ 2α ααα4266sin sin cos sin 1--- 解：1当k 为偶数时,原式=α αααcos sin )cos (sin --⋅-=－1；当k 为奇数时同理可得,原式=－1,故当Z k ∈时,原式=-1; 2原式=()()()αααααααα22222 2222sin 1sin ]cos sin 3cos sin [cos sin 1-⋅-++-=3 思维点拨1分清k 的奇偶,决定函数值符号是关键； 2平方降次是化简的重要手段之一; 练习：变式2()z n n n ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-αππαππ4cos 4sin n n 1当n 为奇数时,设()z k k n ∈+=12, 则原式=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+απππαπππ42cos 42sin k k =04cos 4cos 4cos 4sin =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπαπ;

同角三角函数的基本关系与诱导公式

6、 2、 A 、 3、 4、 5、［课本改编］已知是第二象限角，sin 12 13 5 13 ［2013 •广东高考］已知sin 下列各数中与 1 2 sin 2011 、2 [2015 [2015 12 13 -桂林检测］cos 5 n ~2 + a 5 … a = 13，贝U cos a=( 5 、13 的值最接近的是（ 1 2 20 n 〒=( -衡水模拟］已知△ ABC 中, 5 13 7t 已知 sin( a +12) COS a 等于（ 5 tanA = —12，贝U cosA =( 5 13 + £ n ）的值为（） 12 13 12 13 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 I 、知识点梳理一、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系： 2 •商数关系: 、六组诱导公式 K II 、教材回归

7 、已知cosA + sinA = —13, A 为第四象限角，贝U tan a 等于( ) 8、(2 3 4。。9 •陕西)若tan a= 2则；驚二囂：的值为() III 、基本例题一、同角三角函数基本关系式的应用 3 例 1(1)［2015 •杭州模拟］已知 cos( n + x) = 5, x € ( n, 2n )，贝U tanx = _______ 、利用诱导公式化简求值例2(1)［2015 •哈师大附中模拟］设tan( n+ a ) = 2,则也 ---------- ) ------------ ) 等于 sin( ) cos( ) 1 A 3 B 、3 C 、1 D 、— 1 ,. n 2 2 n (2)已知 cos — — a = 3,贝U sin a —-^ = ___________ . ［奇思妙想］在本例⑵ 的条件下，求cos 5亍+ a • sin a +扌的值. 三、诱导公式在三角形中的应用 2A + B 2C 例 3(1)［2014 •长沙月考］(1)在厶ABC 中，求证：cos —2 + cos?= 1. 2 2 -保定模拟］已知 tan 0 = 2,贝U sin 0 + sin 0 cos 0 — 2cos 0 等于( 4 ⑵ 已知在△ ABC 中, sin A + cosA = 5. 5 12 ~5 5 12 12 "5 sin 9、［课本改编］已知tan 0 n ~2 + 0 — cos n — 0 =2,则—— ---------------------- sin — — 0 — sin n — 0 ⑵ ［2015