第五章特征值、特征向量及矩阵的对角化习题课讲解
特征值特征向量复习题
特征值特征向量复习题 一、填空 1. 已知三阶方阵A 的三个特征值为1，-2，-3，则=A ， 1-A 的特征值为 ，T A 的特征值为 ， *A 的特征值为 。 2. k A k ,0=为正整数，则A 的特征值 。 3. A A =2，则A 的特征值为 。 4. ??? ? ? ????? ??4321 3122与 x y 相似，则=x ，=y 。 5. n 阶零矩阵的全部特征向量是 。 6. 若I A ~，则A ＝ 。 7. 若矩阵A 有一个特征值为-1，则=+I A 。 8. 已知三阶方阵A 的特征值为1,2,2，若A 不能对角化，则()=-A I r ， ()=-A I r 2 。若A 能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。 9. 已知三阶方阵A 的行列式6=A ，A 有一个特征值为-2，则*A 必有一个特征 值为 ，I A A A 88423+++必有一个特征值为 ， = +++I A A A 8842 3 。 10. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，则I A A 22-+的特征值为 ， = -+I A A 22 。 11. 已知三阶方阵A 的行列式-2，*A 有一个特征值为6，则1-A 必有一个特征值 为 ，A 必有一个特征值为 ，*135A A --必有一个特征值为 ，A A 351--必有一个特征值为 。 12. 设n 阶方阵A 的n 个特征值为1,2,…,n ，则=+I A 。
13. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，它们对应的特征向量分别为321,,X X X ， 令()312,,X X X Q =，则AQ Q 1-= 。 14. 若0.5不是方阵A 的特征值，则A I 2- 可逆矩阵。（填是或不是） 15. 设n 阶矩阵A 有特征值2，且I A kA 862=+，则=k 。 二、选择题 1. 设A 为n 阶方阵，以下结论中，（ ）成立。 A ． 若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征 值1-λ的特征向量。 B ． A 特征向量是方程O X A I =-)(λ的全部解。 C ． A 的特征向量的线性组合仍为的A 的特征向量的。 D ． A 与T A 有相同的特征向量。 2. 设??? ? ? ? ?-=10 021 321 x A ，已知A 的特征值为2，1，3，则x=（ ） A ． -2 B. 3 C. 4 D. –1 3. 已知矩阵??? ? ? ?-x 12 3022 ，有一个特征向量??? ? ??-35，则x=（ ） A ． -18 B. -16 C. –14 D. –12 4. 若 B A ~，则有（ ） A ．B I A I -=-λλ B. B A = C ．对于λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 D. A 与B 均与一个对角阵相似 三、计算题 1. 求??? ? ? ? ?----=02 0212 022A 的特征值及对应的特征向量。
用MATLAB求矩阵特征值
用matlab求矩阵的特征值和特征向量 我要计算的矩阵： 1 3 5 1/3 1 3 1/5 1/3 1 [v,d]=eig(A); A为你的矩阵，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵，然后对D求最大值即可得最大特征根！ [V,D] = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D. V是特征向量，D是特征值 实例： 矩阵： 1 2/3 7/3 7/3 3/2 1 3/2 3/2 3/7 2/3 1 3/2 3/7 2/3 2/3 1 >> format rat >> A=[1 2/3 7/3 7/3 3/2 1 3/2 3/2 3/7 2/3 1 3/2 3/7 2/3 2/3 1] A = 1 2/3 7/3 7/3 3/2 1 3/2 3/2 3/7 2/3 1 3/2 3/7 2/3 2/3 1 >> [V,D]=eig(A)
V = 1793/2855 504/3235 - 146/235i 504/3235 + 146/235i 1990/4773 670/1079 -3527/5220 -3527/5220 -509/959 4350/11989 1160/4499 + 287/3868i 1160/4499 - 287/3868i -350/647 838/2819 181/3874 + 1179/4852i 181/3874 - 1179/4852i 1238/2467 D = 810/197 0 0 0 0 -93/4229 + 455/674i 0 0 0 0 -93/4229 - 455/674i 0 0 0 0 -149/2201 ***************************************************************************************** 如何归一化求权重呢？ >> a=[1 3 5;1/3 1 3; 1/5 1/3 1] a = 1.0000 3.0000 5.0000 0.3333 1.0000 3.0000 0.2000 0.3333 1.0000 >> [V,D]=eig(a) V = 0.9161 0.9161 0.9161 0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217i 0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i D =
矩阵的特征值与特征向量 习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设0是m 阶矩阵A mn B nm 的特征值 证明也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 27A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E | 8 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x 9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A . 14 设????? ??-=340430241A 求A 100
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
《3.1.1-特征值与特征向量》习题2
《3.1.1-特征值与特征向量》习题2
《3.1.1 特征值与特征向量》习题2 1．求矩阵M ＝?? ?? ?? －1 0 5 6的特征值和特征向量． 2. 已知矩阵M ＝?? ?? ?? 1 2 2 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量． 3. 已知矩阵M ＝?? ???? 1 －2－1 －3，向量α＝???? ?? 3－5，β＝??????24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝???? ?? 12是矩阵M 的特征向量吗？为 什么？ 4. 已知矩阵A ＝?? ?? ?? 1 2－1 4，设向量β＝?????? 74，试计算A 5β的值．
5. 已知矩阵A ＝?? ?? ?? 1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3) (1)求实数a 的值； (2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝?????? 3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝?????? 11，属于特征值1的 一个特征向量α2＝?? ?? ?? 3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°. (1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝?? ?? ?? 3 32 4，求M 的特征值和特征向量；
(3)若α＝???? ?? 81在矩阵B 的作用下变换为β，求 M 50β.(结果用指数式表示) 8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与 其对应的一个特征向量α1＝???? ?? 11，并且矩阵M 对 应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ； (2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 9. 给定矩阵M ＝????? ??? 23 －13－1 3 23，N ＝?? ????2 11 2及向量α1＝?????? 11，α2＝???? ?? 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵； (2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．
求矩阵特征值算法及程序
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 （1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ ，误差eps ； （2）1?k ； （3）计算)1()(-?k k A V μ； （4）)max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ； （5）k k k m V /)()(?μ； （6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止； （7）1+?k k ,转（3） 注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ； u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量； v:存放迭代过程中的向量)(k V ； m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值； nmax:存放迭代允许的最大次数； eps:存放误差精度； fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量； k:记录迭代次数； t1:临时变量； 注：迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差410- 1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数： 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组，长度为矩阵的阶数，返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵，其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数，默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度，默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值：BOOL型，求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素，并记住位置 第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ?n B n ?m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 8. 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化, 求x . 9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量. (1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11. 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ. 12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A . 14. 设???? ? ??-=340430241A , 求A 100. 第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且 幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代 POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration 第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式． == = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 = 习题 1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2 2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1 （2） 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值， 1 故设的特征值是，有=，即 3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵，则 000 0000 000000 a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= - 所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0) 4．求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）113012002-?? ? ? ??? （2）324202423?? ? ? ??? （3）??? ? ? ??---122212 221 （4）212533102-?? ?- ? ?--?? ()11122 212 11(5) , , (0,0)0. T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? 其中，且 解（1） 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2） 131323249490492222024 234 2 312 349(1)(1)(8) 2 A E r r c c λ λλλλλλλλλλ λλ λλλλλλλ -------= -+-----+---+=-+--按第一列展开 231,8λλλ==-=1求得特征值： 将其代入()A E X λ-=0，求得特征向量： 特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用， ABSTRACT: 特征向量：它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。 特征值：一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power）。 内积：内积可以简单的理解为两个函数的相似程度,内积值越大表示两个函数相似程度越大,内积为零表示完全不相似。两个函数内积为零则两个函数正交,在三维空间中它们的夹角为90度,在三维以上不是这样的。 CONTENT 矩阵(既然讨论特征向量的问题。当然是方阵。这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此。矩阵乘法对应了一个变换。把一个向量变成同维数的另一个向量。那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系。比如可以取适当的二维方阵。使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。这时我们可以问一个问题。有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下。除了零向量。没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的。所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量)。所以一个变换的特征向量是这样一种向量。它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx。你就恍然大悟了。看到了吗?cx是方阵A 对向量x进行变换后的结果。但显然cx和x的方向相同)。而且x是特征向量的话。ax也是特征向量(a是标量且不为零)。所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。另外。特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言。特征向量指明的方向才是很重要的。特征值不是那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值。但特征向量才是更本质的东西! 比如平面上的一个变换。把一个向量关于横轴做镜像对称变换。即保持一个向量的横坐标不变。但纵坐标取相反数。把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]。其中分号表示换行。显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a –b]'。其中上标' 表示取转置。这正是我们想要的效果。那么现在可以猜一下了。这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变。显然,横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换。那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)。所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'(a不为0)。还有其他的吗?有。那就是纵轴上的向量。这时经过变换后。其方向反向。但仍在同一条轴上。所以也被认为是方向没有变化。 当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换A（用矩阵乘法表示）可表示为它的所 最近看了看matlab求特征值的函数，记下来备用。 eig求所有特征值和特征向量。 d = eigs(A) %求稀疏矩阵A的6个绝对值最大特征值d，d以向量形式存放。 d = eigs(A,B) %求稀疏矩阵的广义特征值问题。满足A V=BVD，其中D为特征值对角阵，V为特征向量矩阵，B必须是对称正定阵或Hermitian正定阵。 d = eigs(A,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,B,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,k,sigma) %sigma取值：'lm'表示绝对值最大的特征值；'sm'绝对值最小特征值；对实对称问题：'la'表示最大特征值；'sa'为最小特征值；对非对称和复数问题：'lr'表示最大实部；'sr'表示最小实部；'li'表示最大虚部；'si'表示最小虚部 d = eigs(A,B,k,sigma) %同上 d = eigs(A,k,sigma,opts) % opts为指定参数：参见eigs帮助文件。opts为一个向量 参数描述value opts.issym =1:如果A对称 =0：A不对称 {0|1} opts.isreal =1:A为实数 =0：otherwise {0|1} opts.tol 收敛？？？（没看懂）**估计 d = eigs(A,B,k,sigma,options) %同上。以下的参数k、sigma、options相同。 d = eigs(Afun,n) %用函数Afun代替A，n为A的阶数，D为特征值。 d = eigs(Afun,n,B) d = eigs(Afun,n,k) d = eigs(Afun,n,B,k) d = eigs(Afun,n,k,sigma) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma) d = eigs(Afun,n,k,sigma,options) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options) [V,D] = eigs(A,…) %D为6个最大特征值对角阵，V的列向量为对应特征向量。 [V,D] = eigs(Afun,n,…) [V,D,flag] = eigs(A,…) %flag表示特征值的收敛性，若flag=0，则所有特征值都收敛，否则，不是所有都收敛。 [V,D,flag] = eigs(Afun,n,…) 第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x 9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100 特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量 1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值雅克比过关法求特征值和特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量
幂法求矩阵最大特征值
矩阵的特征值和特征向量
第五章习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
特征值和特征向量的物理意义
特征值和特征向量的物理意义
eig求所有特征值和特征向量
矩阵的特征值与特征向量习题
特征值和特征向量的性质与求法