椭圆的讲义
海豚教育个性化简案
海豚教育个性化教案（真题演练）
海豚教育个性化教案
A .
45 B .23 C .22 D .2
1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12
2=+n
y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率
e = ．
【变式训练】
1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A.
63 B.33 C.2
3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围
例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3
221π
=∠PF F ，求
其离心率e 的取值范围。
例2：已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，
求椭圆离心率的取值范围。
例3：已知椭圆12222=+b
y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02
=++c bx ax 无实根，求
其离心率e 的取值范围。
题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例1：已知实数y x ,满足12
42
2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值
l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且PB
AP3
=．
（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．
例2：设过点()y
x
P,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PA
BP2
=，且1
=
?AB
OQ，则P点的轨迹方程是（）
A. ()0
,0
1
3
2
3
2
2>
>
=
+y
x
y
x B. ()0
,0
1
3
2
3
2
2>
>
=
-y
x
y
x
C. ()0
,0
1
2
3
32
2>
>
=
-y
x
y
x D. ()0
,0
1
2
3
32
2>
>
=
+y
x
y
x
例3：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|P A|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
海豚教育错题汇编
海豚教育1对1出门考（_______年______月______日周_____）
1．若方程
x2
25－m
＋
y2
m＋9
＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()
A．－9＜m＜25B．8＜m＜25
C．16＜m＜25 D．m＞8
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()
A.
x2
4＋
y2
3＝1 B.
x2
4＋y
2＝1
C.
y2
4＋
x2
3＝1 D.
y2
4＋x
2＝1
3．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是()
A．6 B.
1
6
C．24 D.
1
24
4.椭圆
x2
25＋
y2
9＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且PF1
→
·PF2
→
＝0，则△F1PF2的面积为()
A．12 B．10
C．9 D．8
5．椭圆
x2
9＋
y2
2＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2
的大小为________．
6. 已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的
标准方程．
评语：
5A练习：
练习要求在月日之前完成
高中椭圆讲义
椭圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 －a≤x≤a－b≤x≤b 概念方法微思考 1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？ 提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示 由e ＝c a ＝ 1－????b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大， 椭圆越圆． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编 2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 2 10＝1 B.x 225＋y 2 20＝1 C.x 210＋y 2 15＝1 D.x 220＋y 2 15 ＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2 4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形 的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三 易错自纠 5．若方程x 25－m ＋y 2 m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3) 6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10 5 ，则m 的值为________．
高中数学椭圆讲义及例题
7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1 22 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆讲义 １、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± ３、设M 是椭圆上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则 12 12F F e d d M M ==. 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 １．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. ? 举一反三:【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则Ｐ到另一个焦点的距离＝ ＿__＿____ 【变式2】椭圆 125162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点,则1ABF ?的周长1ABF C ?=_＿＿＿___＿__＿. ? 【变式3】已知椭圆的方程为 1162 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则ｍ的取值范围是（ )。? A ．-4≤m ≤4且m ≠0 B ．-4<ｍ＜4且m ≠０ C.m ＞4或m ＜－4 D ．０＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx ２ +３ｙ2 －6ｍ=０的一个焦点为（0,２)，求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 ２. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、（4，0),椭圆上一点Ｐ到两焦点距离的和是10; （2)两个焦点的坐标是（0，－2）、(0，2）,并且椭圆经过点?? ? ??2523-，。? 举一反三:【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，,且椭圆经过点）（0,5。 【变式２】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点,并且经过点(３,－２),求此椭圆的方程。 3.求经过点P （－3，０）、Q(０，２）的椭圆的标准方程。? 举一反三:【变式】已知椭圆经过点P （2,0)和点)2 3 3,1(Q ,求椭圆的标准方程。 4.求与椭圆4x 2 +9y 2 =36有相同的焦距,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程。? 【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是( ) A. 1353622=+y x B ．135 362 2=+x y C.13622=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3,0)点，离心率3 6 = e ,求椭圆的标准方程。? 【变式3】长轴长等于2０,离心率等于5 3 ,求椭圆的标准方程。 椭圆及其标准方程 【学习目标】 1． 知识与技能目标： 掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力． 3． 情感态度与价值观目标： 通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神． 【要点梳理】 要点一：椭圆的定义 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 要点诠释： （1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点； （2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程 要点诠释： 1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-； 3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -； 4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简． 以焦点在x 轴上的方程22 221x y a b +=(0)a b >>为例． (1)建系 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)． （2）设点 设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． 学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A ．221259x y += B ．221259y x += C ．22179y x += D ．22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e 5= ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的 轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1 2 e = ，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．22143x y += B ．22186x y += C ．2 212 x y += D ．2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =，右焦点为(0)F c ，，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ， （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >- C ．12m -<< D ．2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； 典例分析 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 椭圆讲义 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± 3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则 12 12F F e d d M M ==． 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. 举一反三：【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx 2 +3y 2 －6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点??? ? ?2523-，。 举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点）（0,5。 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。 第十三讲椭圆 ［知识能否忆起］ 1 ?椭圆的定义 平面内到两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 F i ，F 2间的距离叫做椭圆的焦 __________ ［小题能否全取］ x 2 y 2 1. （教材 习题改编）设P 是椭圆~4 + 9 = 1的点，右F i , F 2是椭圆的两个焦点，贝U |PF i | + |PF 2| 等于( ) A . 4 B . 8 C . 6 D . 18 解析：选C 依定义知|PF 11+ |PF 2|= 2a = 6. C . (— 3,1) U (1,5) D . (— 5,1)U (1,3) 5 — m > 0, 解析：选C 由方程表示椭圆知 m + 3>0, 5 — m ^ m + 3, X 2 2.（教材习题改编）方程53m + m + 3 =1表示椭圆, m 的范围是（ A . (-3,5) B . (— 5,3) 解得一3 v m v 5 且 m ^ 1. 2 2 3. （2012淮南五校联考）椭圆X9 + 4^= 1的离心率为5，则k 的值为（ 解析：选 C 若 a 2= 9, b 2 = 4+ k ,贝V c = 5 — k , 若 a 2= 4 + k , b 2= 9,则 c = 'k — 5, c 4 k — 5 4 由C =4,即 =4，解得k = 21. a 5 、4+k 5 4. （教材习题改编）已知椭圆的中心在原点，焦点在 8?则该椭圆的方程是 _________ 5. 已知F 1, F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|= 2|PF 2|,/ PF 1F 2 =30°则椭圆的离心率为 ___________ . 解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin Z PF 2F 1= 1,即Z PF 2F 1=扌，设 |PF 2|= 1,贝U |PF 1|= 2, |F 2F 1| = V 3, 所以离心率e = ?c = 3 . 2a 3 1. 椭圆的定义中应注意常 数大于 |F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点 F 1, F 2的距离之和等 于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段 F 1F 2;当平面内的动点与定点 F 1,F 2的距离之和小于|F 1F 2| 时，其轨迹不存在. 2 ?已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时， 要分两种 情形讨论. ［考点通关把握］ 1典题导入 解 析： c 4 1 丄， ???2c = 8,「.c = 4,「.e = a = a = 2,故 a = ???椭圆的方程为64+4x8= 1. A . - 21 B . 21 19 C .-亦或21 D.25或 21 1 y 轴上，若其离心率为2,焦距为 又'/b 2= a 2— c 2= 48, 4 /曰. 19 5，得 k = — 25； 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系． 椭圆（讲义） 知识点睛 一、曲线与方程 1． 曲线C 上的点与二元方程()0f x y =，的对应关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2． 求曲线的方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合 {|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程()0f x y =，； （4）化方程()0f x y =，为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 二、椭圆及其标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 如图，设( )M x y ，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >． 由椭圆的定义，椭圆就是集合 12{|||||2}P M MF MF a =+=． 因为12|| ||MF MF = = 所以 2a =． 为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得 2a = 将这个方程两边平方，得 22222()44()x c y a x c y ++=--+， 整理得 2a cx -= 上式两边再平方，得 4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++， 整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 两边同除以222()a a c -，得 22 2221x y a a c +=-． ① 由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以． 由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，， 令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b +=>>． 椭圆的标准方程：22 221(0)x y a b a b +=>>． 三、椭圆的几何性质 椭圆高考题目汇总教师版含答案 考点11 椭圆 1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ． 45 B ．35 C ．2 5 D ．15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B . 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+， ∴ 2 2 4()b a c =+，即： 2 22 42b a ac c =++，又 2 22 a b c =+， ∴ 2 24()a c -=22 2a ac c ++，即 2 23250 a ac c --=，()(35)0a c a c +-=， ∴ 0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 35 c e a ==，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点 F 分别为椭圆 22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为 椭圆上的任意一点，则OP FP ?的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点， 依题意写出OP FP ?的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C ，设()0 P x ,y ，则 2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即， 又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴?=?++2001x x 34 = ++()2 01x 22 4=++，又[]0 x 2,2∈-， () [] OP FP 2,6∴?∈，所以 ()max 6OP FP ?=. 3.（2010·海南高考理科·T20）设1 2 ,F F 分别是椭 圆E: 22 22 1x y a b +=（a>b>0）的左、右焦点，过1 F 斜率 为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2 AF ,AB ,2 BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程. 【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识. 【思路点拨】利用等差数列的定义，得出 2 AF ,AB ,2 BF 满足的一个关系，然后再利用椭圆的 定义进行计算. 【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知， 椭圆专题复习 1. 椭圆定义： 平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( ) A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 【变式训练】 1.短轴长为5，离心率32= e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 ( ) 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为 A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 ( ) 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【变式训练】 3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离 高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生姓名： 授课教师： 授课时间： 12.21 椭圆及其标准方程 第一部分：基础知识梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内到两个定点21F F ，的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫做椭圆。两个定点21F F ，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M 满足集合2a}MF MF {M 21=+=P ，c F F 221=，0,0>>c a 且c a 、都为常数。 当c a >即c a 22>时，集合P 为椭圆。 当c a =即c a 22=时，集合P 为线段21F F 。 当c a <即c a 22<时，集合P 为空集。 知识点二 椭圆的标准方程 （1）)0(122 22>>=+b a b y a x ，焦点在x 轴上时，焦点为)0,(c F ±，焦点c F F 221=。 （2）)0(122 22>>=+b a b x a y ，焦点在y 轴上时，焦点为),0(c F ±，焦点c F F 221=。 知识点三 椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考： C By Ax =+22（其中C B A 、、为同号且不为零的常数，B A ≠），它包含焦点在x 轴或y 轴上两种情形。方程可变形为12 2=+B C y A C x 。 当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。 一般式，通常也设为12 2=+By Ax ，应特别注意B A 、均大于0，标准方程为11 12 2=+B y A x 。 知识点四 椭圆标准方程的求法 1. 定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、 在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为c b a 、、，且B （-1,0）C （1,0），求满足c a b >>，且c a b 、、成等差数列时，顶点A 的曲线方程。 变式练习 1.在△ABC 中，点B （-6,0）、C （0,8），且C A B sin sin sin 、、成等差数列。 （1）求证：顶点A 在一个椭圆上运动。 （2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2. 待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数b a 、表示出来，然后结合问题的条件，建立参数b a 、满足的等式，求得b a 、的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。 例2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P （3,0），a =3b ，求椭圆的标准方程。 例3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3()1,6(21--P P 、，求椭圆方程。 变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是（-3,0），（3,0）且经过点（5,0）. （2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12. 3.已知椭圆经过点），（336和点），（13 22，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点） ，（），，（2 1-03131Q P 的椭圆标准方程。 知识点五 共焦点的椭圆方程的求解 一般地，与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设其方程为)(1222 22b k k b y k a x ->=+++。 例4、 过点（-3,2）且与14 92 2=+y x 有相同焦点的椭圆的方程为（ ） A. 1101522=+y x B.110022522=+y x C.1151022=+y x D. 1225 1002 2=+y x 变式练习 5.求经过点（2，-3）且椭圆36492 2=+y x 有共同焦点的椭圆方程。 知识点六 与椭圆有关的轨迹问题的求解方法 与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点),(y x P 和已知曲线上一点),(00y x M ，建立其关系，再代入。 椭圆讲义 1、平面内与两个定点F1，F 2的距离之和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置焦点在x轴上 图形 标准方程 范围-a_x_a 且-b_y_b 顶点 ---1 -a,0、二2 a,0 已0,-b、三2 0,b 轴长短轴的长=2b 焦占 八'、八、、 F1 -c,0、F2 c,0 焦距F1F2 =2c t 对称性关于x轴、y 离心率 2 准线方程 3、设□是椭圆上任一点，点 |M F j M F2I e. d i d2 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 F1 F2）的点的轨迹称为椭圆?这两个定点称 焦点在y轴上 2 2 y x 2 2 =1 a b 0 a b --■-i 0, 一 a、 _-；i ：； —b,0、 长轴的长=2a F i 0, -c、 c2 = a2 _ b2 轴、原点对称 ---2 0,a 二 2 b,0 F2 0,c 2 + a y 二 c M到F i对应准线的距离为d i，点切到F2对应准线的距离为d2，则1 ?指出椭圆9x2 4y2 =36的焦点坐标、准线方程和离心率 2 2 举一反三：【变式1】椭圆 — 1 1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,贝U P 到另一个焦点的距离 25 16 2 2 【变式2】椭圆 X =1的两个焦点分别为 16 25 的周长C ABF 1 = ___________ ■ 2 2 —=1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ 16 m 2 .. 2 2 【变式4】已知椭圆mx+3y — 6m=0的一个焦点为（0, 2）,求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1 ）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P 到两焦点距离的和是 10; （2）两 个焦点的坐标是（0, 举一反三： 【变式1】两焦点的坐标分别为 0,4 ,0,-4，且椭圆经过点（5,0）。 2 2 - —=1有相同的焦点，并且经过点 9 4 2）,求此椭圆的方程。 R 、F 2，过F 2的直线交椭圆于 A 、B 两点」V .IABF 1 【变式3】已知椭圆的方程为 A . — 4W me 4 且 m ^ 0 B.— 4v m < 4 且 m ^ 0 C. m > 4 或 m <— 4 D . 0< m < 4 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 3 ，一 2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过 点 圆锥曲线 一、知识点讲解 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 图 形 顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -= 离心率 )10(<<= e a c e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3．常用结论：（1）椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆 )0(122 2 2>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． x O F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1 x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 B 1 B 2 A 1 目录 第三讲：椭圆初步................................................................................................. 错误!未定义书签。 考点一：椭圆的定义及其应用 (2) 题型一：利用定义判断轨迹 (2) 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 (3) 题型二：椭圆的标准方程相应问题 (3) 题型三：椭圆简单性质问题 (5) 课后综合巩固练习 (6) 考点一：椭圆的定义及其应用 椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ， 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 依椭圆的定义，设P 是椭圆上一点，则有122PF PF a +=，（a 为常数且22)a c > 题型一：利用定义判断轨迹 1．（2017?天心区校级学业考试）设1F ，2F 为定点，12||6F F =，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 【分析】对选项进行分析：在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段． 【解答】解：对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段． 故选：D ． 【点评】本小题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题． 2．（2016秋?兴庆区校级期末）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25 :4 l x =的距离的比是常数 4 5 ，求M 的轨迹． 后即可求得其方程． 分） 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（12分） 【点评】本题考查了椭圆的定义，及求椭圆标准方程的方法，是个基础题． 2.1椭圆 第1课时椭圆及其标准方程 1．归纳总结，核心必记 (1)椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆的标准方程 (－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c) 例题1（椭圆定义理解） 已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点， 求△ABF2的周长． 解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a. 由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a 命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段 解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程） (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． 解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知 2a ＝ ????52＋22＋??? ?－322 ＋ ????52－22＋??? ?－322 ＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 2 6 ＝1. (2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点， ∴? ????4m ＝1，n ＝1， ∴?????m ＝14，n ＝1.椭圆讲义(学生版)
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