椭圆讲义资料
椭圆讲义
1、平面内与两个定点F1，F 2的距离之和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置焦点在x轴上
图形
标准方程
范围-a_x_a 且-b_y_b
顶点
---1 -a,0、二2 a,0
已0,-b、三2 0,b
轴长短轴的长=2b
焦占
八'、八、、
F1 -c,0、F2 c,0
焦距F1F2 =2c t 对称性关于x轴、y 离心率
2
准线方程
3、设□是椭圆上任一点，点
|M F j M F2I
e.
d i d2
四、常考类型
类型一：椭圆的基本量
F1 F2）的点的轨迹称为椭圆?这两个定点称
焦点在y轴上
2 2
y x
2 2
=1 a b 0
a b
--■-i 0, 一
a、
_-；i ：；
—b,0、
长轴的长=2a
F i 0, -c、
c2 = a2 _
b2
轴、原点对称
---2 0,a
二 2 b,0
F2 0,c
2
+ a
y 二
c
M到F i对应准线的距离为d i，点切到F2对应准线的距离为d2，则1 ?指出椭圆9x2 4y2 =36的焦点坐标、准线方程和离心率
2 2
举一反三：【变式1】椭圆 — 1 1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,贝U P 到另一个焦点的距离
25 16
2 2
【变式2】椭圆
X
=1的两个焦点分别为 16 25
的周长C ABF 1 = ___________ ■
2 2
—=1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（
16 m 2
.. 2
2
【变式4】已知椭圆mx+3y — 6m=0的一个焦点为（0, 2）,求m 的值。
类型二：椭圆的标准方程
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1 ）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P 到两焦点距离的和是 10; （2）两 个焦点的坐标是（0,
举一反三：
【变式1】两焦点的坐标分别为
0,4 ,0,-4，且椭圆经过点（5,0）。
2 2
- —=1有相同的焦点，并且经过点
9
4
2）,求此椭圆的方程。
R 、F 2，过F 2的直线交椭圆于 A 、B 两点」V .IABF 1 【变式3】已知椭圆的方程为 A . — 4W me 4 且 m ^ 0
B.— 4v m < 4 且 m ^ 0
C. m > 4 或 m <— 4 D . 0< m < 4
【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆
3
，一
2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过
点
3.求经过点P (- 3, 0)、Q(0, 2)的椭圆的标准方程。
3药
举一反三：【变式】已知椭圆经过点 P (2，0)和点Q(1,
)，求椭圆的标准方程。 2
4 .求与椭圆4x 2+9y 2
=36有相同的焦距，且离心率为
—的椭圆的标准方程。
5
类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
取值。
【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为
D.不确定
【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是(
【变式1】在椭圆的标准方程中 一；〔，，： — —」，则椭圆的标准方程是()
2 2
A . X_ 丄" 36 35
2
B. L
36 2
I 1 35
2
C X 2 1 C.—— y 二 1
36
D.以上都不对
【变式2】椭圆过(3,
J6
0)点，离心率e =——
3
求椭圆的标准方程。
【变式3】长轴长等于20，离心率等于
求椭圆的标准方程。
【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点
(3, 0)且a=3b ，求椭圆的标准方程。
5.已知椭圆一条准线为
y = x 4，相应焦点为 (1,-1)，长轴的一个顶点为原点 0，求其离心率?的
举一反三:
【变式3】椭圆笃?每=1上一点到两焦点的距离分别为-二丄，焦距为二,若:，
-成等差数列,
a b
则椭圆的离心率为 ___________ 。
【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个 正六边形，则这个椭圆的离心率等于 ____________________ 。
求其离心率:的取值范围。
2 2
已知椭圆 x
与=1 ( a b 0 )与x 轴的正半轴交于 A , 0是原点，若椭 a
2
b 2
圆上存在一点M 使MAL MO 求椭圆离心率的取值范围。
2 2 彳
【变式2】已知椭圆 笃?每=1( a b 0)，以丿…，1为系数的关于:的方程.；.■.■■■■ ■ :
- : 「无
a b
实根，求其离心率:的取值范围。
类型四：椭圆定义的应用 7.若一个动点 P (x , y )到两个定点 A (- 1, 0)、A (1, 0)的距离的和为
定值m(m>0，试求P 点的轨迹方程。
举一反三：【变式1】下列说法中正确的是( )
A. 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B. 平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C.
平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D.平面内与两个定
点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段
【变式2】已知A( 0,- 1)、B( 0, 1)两点，△ ABC 的周长为6,则厶ABC 的顶点C 的轨迹方程是()
6.已知椭圆 2
x -2
a
b 2
=1 (a b 0),
F i , F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点
..
2
兀
P ,使.FfF ：
举一反三: 【变式1】
2
i
* +22 = 1("±2)
A .丄
_-：
疋+兰二心工±2） B. - J
C . -
_■：
丄+匚=10丸）
D. -
【变式3］已知圆■-
■- -
-% ,圆A 内一定点B （2, 0）,圆P 过B 点且与圆 A 内切，求圆心
P 的轨迹方程。
类型五：坐标法的应用
9.A ABC 的两个顶点坐标分别是 B （0, 6）和C （0, - 6）,另两边 AB AC 的斜
4
率的乘积是-—,求顶点A 的轨迹方程。
9
举一反三：【变式1】已知A B 两点的坐标分别为（0，— 5）和（0, 5）,直线MA 与MB 的斜率之积为 则M 的轨迹方程是（）
则顶点的轨迹方程是（）
【变式3］已知A 、B 两点的坐标分别是（一1, 0）、（ 1, 0），直线AM BM 相交于点M 且它们的斜率 之积为m （ mv 0）,求点M 的轨迹方程并判断轨迹形状。
五、典型例题
例1已知椭圆mx
2
■ 3y 2 -6m =0的一个焦点为（0, 2）求m 的值.
25 100
25
100
9
9
2
2 2
2
C. X y
=1
X
y
1 ( x = 0) 225 25 225 25
4
4
4
B (6, 0)和
C (— 6, 0),另两边 AB AC 的斜率的积是,
9
A . C.
81
沪討（?）
D. 2 2
仝+丄 36 16
= lg±6)
2 2 2 2
A .乞丄=1
B.丄丄=1（x —5）
【变式2］^ ABC 两顶点的坐标分别是
高中椭圆讲义
椭圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 －a≤x≤a－b≤x≤b 概念方法微思考 1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？ 提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示 由e ＝c a ＝ 1－????b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大， 椭圆越圆． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编 2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 2 10＝1 B.x 225＋y 2 20＝1 C.x 210＋y 2 15＝1 D.x 220＋y 2 15 ＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2 4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形 的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三 易错自纠 5．若方程x 25－m ＋y 2 m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3) 6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10 5 ，则m 的值为________．
高中数学椭圆讲义及例题
7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1 22 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆讲义 １、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± ３、设M 是椭圆上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则 12 12F F e d d M M ==. 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 １．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. ? 举一反三:【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则Ｐ到另一个焦点的距离＝ ＿__＿____ 【变式2】椭圆 125162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点,则1ABF ?的周长1ABF C ?=_＿＿＿___＿__＿. ? 【变式3】已知椭圆的方程为 1162 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则ｍ的取值范围是（ )。? A ．-4≤m ≤4且m ≠0 B ．-4<ｍ＜4且m ≠０ C.m ＞4或m ＜－4 D ．０＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx ２ +３ｙ2 －6ｍ=０的一个焦点为（0,２)，求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 ２. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、（4，0),椭圆上一点Ｐ到两焦点距离的和是10; （2)两个焦点的坐标是（0，－2）、(0，2）,并且椭圆经过点?? ? ??2523-，。? 举一反三:【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，,且椭圆经过点）（0,5。 【变式２】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点,并且经过点(３,－２),求此椭圆的方程。 3.求经过点P （－3，０）、Q(０，２）的椭圆的标准方程。? 举一反三:【变式】已知椭圆经过点P （2,0)和点)2 3 3,1(Q ,求椭圆的标准方程。 4.求与椭圆4x 2 +9y 2 =36有相同的焦距,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程。? 【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是( ) A. 1353622=+y x B ．135 362 2=+x y C.13622=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3,0)点，离心率3 6 = e ,求椭圆的标准方程。? 【变式3】长轴长等于2０,离心率等于5 3 ,求椭圆的标准方程。 学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A ．221259x y += B ．221259y x += C ．22179y x += D ．22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e 5= ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的 轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1 2 e = ，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．22143x y += B ．22186x y += C ．2 212 x y += D ．2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =，右焦点为(0)F c ，，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ， （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >- C ．12m -<< D ．2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； 典例分析 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 椭圆讲义 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± 3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则 12 12F F e d d M M ==． 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. 举一反三：【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx 2 +3y 2 －6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点??? ? ?2523-，。 举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点）（0,5。 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。 第十三讲椭圆 ［知识能否忆起］ 1 ?椭圆的定义 平面内到两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 F i ，F 2间的距离叫做椭圆的焦 __________ ［小题能否全取］ x 2 y 2 1. （教材 习题改编）设P 是椭圆~4 + 9 = 1的点，右F i , F 2是椭圆的两个焦点，贝U |PF i | + |PF 2| 等于( ) A . 4 B . 8 C . 6 D . 18 解析：选C 依定义知|PF 11+ |PF 2|= 2a = 6. C . (— 3,1) U (1,5) D . (— 5,1)U (1,3) 5 — m > 0, 解析：选C 由方程表示椭圆知 m + 3>0, 5 — m ^ m + 3, X 2 2.（教材习题改编）方程53m + m + 3 =1表示椭圆, m 的范围是（ A . (-3,5) B . (— 5,3) 解得一3 v m v 5 且 m ^ 1. 2 2 3. （2012淮南五校联考）椭圆X9 + 4^= 1的离心率为5，则k 的值为（ 解析：选 C 若 a 2= 9, b 2 = 4+ k ,贝V c = 5 — k , 若 a 2= 4 + k , b 2= 9,则 c = 'k — 5, c 4 k — 5 4 由C =4,即 =4，解得k = 21. a 5 、4+k 5 4. （教材习题改编）已知椭圆的中心在原点，焦点在 8?则该椭圆的方程是 _________ 5. 已知F 1, F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|= 2|PF 2|,/ PF 1F 2 =30°则椭圆的离心率为 ___________ . 解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin Z PF 2F 1= 1,即Z PF 2F 1=扌，设 |PF 2|= 1,贝U |PF 1|= 2, |F 2F 1| = V 3, 所以离心率e = ?c = 3 . 2a 3 1. 椭圆的定义中应注意常 数大于 |F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点 F 1, F 2的距离之和等 于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段 F 1F 2;当平面内的动点与定点 F 1,F 2的距离之和小于|F 1F 2| 时，其轨迹不存在. 2 ?已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时， 要分两种 情形讨论. ［考点通关把握］ 1典题导入 解 析： c 4 1 丄， ???2c = 8,「.c = 4,「.e = a = a = 2,故 a = ???椭圆的方程为64+4x8= 1. A . - 21 B . 21 19 C .-亦或21 D.25或 21 1 y 轴上，若其离心率为2,焦距为 又'/b 2= a 2— c 2= 48, 4 /曰. 19 5，得 k = — 25； 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系． 椭圆（讲义） 知识点睛 一、曲线与方程 1． 曲线C 上的点与二元方程()0f x y =，的对应关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2． 求曲线的方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合 {|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程()0f x y =，； （4）化方程()0f x y =，为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 二、椭圆及其标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 如图，设( )M x y ，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >． 由椭圆的定义，椭圆就是集合 12{|||||2}P M MF MF a =+=． 因为12|| ||MF MF = = 所以 2a =． 为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得 2a = 将这个方程两边平方，得 22222()44()x c y a x c y ++=--+， 整理得 2a cx -= 上式两边再平方，得 4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++， 整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 两边同除以222()a a c -，得 22 2221x y a a c +=-． ① 由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以． 由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，， 令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b +=>>． 椭圆的标准方程：22 221(0)x y a b a b +=>>． 三、椭圆的几何性质 椭圆专题复习 1. 椭圆定义： 平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( ) A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 【变式训练】 1.短轴长为5，离心率32= e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 ( ) 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为 A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 ( ) 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【变式训练】 3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离 椭圆讲义 1、平面内与两个定点F1，F 2的距离之和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置焦点在x轴上 图形 标准方程 范围-a_x_a 且-b_y_b 顶点 ---1 -a,0、二2 a,0 已0,-b、三2 0,b 轴长短轴的长=2b 焦占 八'、八、、 F1 -c,0、F2 c,0 焦距F1F2 =2c t 对称性关于x轴、y 离心率 2 准线方程 3、设□是椭圆上任一点，点 |M F j M F2I e. d i d2 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 F1 F2）的点的轨迹称为椭圆?这两个定点称 焦点在y轴上 2 2 y x 2 2 =1 a b 0 a b --■-i 0, 一 a、 _-；i ：； —b,0、 长轴的长=2a F i 0, -c、 c2 = a2 _ b2 轴、原点对称 ---2 0,a 二 2 b,0 F2 0,c 2 + a y 二 c M到F i对应准线的距离为d i，点切到F2对应准线的距离为d2，则1 ?指出椭圆9x2 4y2 =36的焦点坐标、准线方程和离心率 2 2 举一反三：【变式1】椭圆 — 1 1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,贝U P 到另一个焦点的距离 25 16 2 2 【变式2】椭圆 X =1的两个焦点分别为 16 25 的周长C ABF 1 = ___________ ■ 2 2 —=1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ 16 m 2 .. 2 2 【变式4】已知椭圆mx+3y — 6m=0的一个焦点为（0, 2）,求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1 ）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P 到两焦点距离的和是 10; （2）两 个焦点的坐标是（0, 举一反三： 【变式1】两焦点的坐标分别为 0,4 ,0,-4，且椭圆经过点（5,0）。 2 2 - —=1有相同的焦点，并且经过点 9 4 2）,求此椭圆的方程。 R 、F 2，过F 2的直线交椭圆于 A 、B 两点」V .IABF 1 【变式3】已知椭圆的方程为 A . — 4W me 4 且 m ^ 0 B.— 4v m < 4 且 m ^ 0 C. m > 4 或 m <— 4 D . 0< m < 4 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 3 ，一 2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过 点 圆锥曲线 一、知识点讲解 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 图 形 顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -= 离心率 )10(<<= e a c e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3．常用结论：（1）椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆 )0(122 2 2>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． x O F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1 x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 B 1 B 2 A 1 2.1椭圆 第1课时椭圆及其标准方程 1．归纳总结，核心必记 (1)椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆的标准方程 (－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c) 例题1（椭圆定义理解） 已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点， 求△ABF2的周长． 解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a. 由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a 命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段 解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程） (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． 解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知 2a ＝ ????52＋22＋??? ?－322 ＋ ????52－22＋??? ?－322 ＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 2 6 ＝1. (2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点， ∴? ????4m ＝1，n ＝1， ∴?????m ＝14，n ＝1. 椭圆讲义与练习 题型一：椭圆的第一定义与标准方程 例1 、椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-， ； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482 =a ， 372 =b ，在得方程 13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137 1482 2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122 22=+b x a y ． 由已知b a 2=． ① 又过点()62-， ，因此有 ()16222 22=-+b a 或()12622 22 =+-b a ． ② 由①、②，得1482=a ，372= b 或522=a ，132 =b ．故所求的方程为 13714822=+y x 或113 522 2=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182 =a ．故所求方程 为 19 182 2=+y x ． 圆锥曲线与方程 第一节 椭 圆 考点一 椭圆的定义及应用 １.（2009年北京卷,理12)椭圆22 192 x y +=的焦点为F 1、F ２，点Ｐ在椭圆上.若|P Ｆ１|=4,则 |PF 2|= ,∠Ｆ1PF ２的大小为 . 解析:由椭圆方程22192 x y +=可知a 2=９,b 2 =2, ∴c 2 =３． 由椭圆定义知|PF 1|+｜P Ｆ2|=6， 由｜PF 1｜＝4,得|PF ２|=2. 在△ＰF 1Ｆ2中,由余弦定理的推论有 ｃo ｓ∠Ｆ1PF 2＝ 2 2 2 1212 12 2PF PF F F PF PF +- =错误!未定义书签。224228 242 +-?? ＝－1 2 ． ∴∠F １PF 2=1２0°. 答案:2 120° 2.(2０１2年四川卷,理1５)椭圆22 143 x y +=的左焦点为F,直线ｘ=m 与椭圆相交于点A 、B, 当△F ＡＢ的周长最大时,△ＦAB 的面积是 ． 解析:由椭圆定义可知,当直线ｘ＝m 过椭圆右焦点（1，0)时,△F ＡB 的周长最大. 由椭圆方程 22 143 x y +=知a=2,c=1． 当ｘ=１时,由2 1143 y +=， 得y=±32 . ∴S △F ＡB =12 ×(2×32 )×(1+１)=3. 答案：3 3.(2009年上海卷，理9)已知F 1、F 2是椭圆C: 22 221x y a b += (ａ＞b ＞0）的两个焦点,P 为椭 圆C 上一点,且12PF PF ⊥错误!未定义书签。,若△PF 1F 2的面积为９,则b ＝ . 解析：由题意可知, 121 2 PF PF =9,① 222 1212PF PF F F +==(２c ）２ ，② 由椭圆定义可知,|ＰF 1|+｜PF 2|=2a ，③ 联立①②③解得a 2 -c 2 =9, 即b 2 =9，∴b ＝3． 答案:３ 考点二 椭圆的方程及其简单性质应用 1.(２013年新课标全国卷Ⅰ,理10）已知椭圆E: 22 22 1x y a b += (a>ｂ>0）的右焦点为F(３，０),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为（1,－1),则E 的方程为( ) (Ａ） 2214536x y +=?(Ｂ)22 13627 x y += (Ｃ)2212718x y +=?（D ）22 1189 x y += 解析：已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解． 设Ａ(ｘ１，y 1），B(ｘ2,y 2),ＡB 的中点D(１,-1)， 则k AB =12 ， x 1+x 2＝２,y 1+y ２＝-２, 椭圆讲义及例题 7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若 )(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴 上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ： 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为 对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和 短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 1 圆锥曲线 一、知识点讲解 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 图 形 顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -= 离心率 )10(<<= e a c e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3．常用结论：（1）椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆 )0(122 2 2>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． x O F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1 x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 B 1 B 2 A 1 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A ．221259x y += B ．221259y x += C ．22179y x += D ．22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e = ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．515或15 C ．5 D ．25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的 轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1 2 e = ，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．22143x y += B ．22186x y += C ．2 212 x y += D ．2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =，右焦点为(0)F c ，，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ， （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >- 典例分析 板块一.椭圆的方程 C ．12m -<< D ．2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； 【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________； 【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，，且G 上一点到G 的 两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为1 3 ，则椭圆的方程是____________． 【例11】 若椭圆2212x y m +=的离心率为1 2 ，则m = ． 【例12】 若椭圆满足条件2a =，1 e 2 =，则椭圆的标准方程为 【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为椭圆的标准方程为____________． 【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1 e 2 =，则k 的值等于 ． 【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标： ①221128x y += ②221812x y += 【例16】 求椭圆22 11625 x y +=的焦距、顶点坐标 【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16 (3)5 P ，的椭圆的方程． 【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．椭圆讲义(学生版)
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