中考数学压轴题专题：动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析

汇编

专题01：动点问题

25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作

PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．

（2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN 上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

【答案】解：（1）t－2。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE 上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。

②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．

∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。

由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。

综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=AM=t．

∴

。

②当＜t＜8时，如图（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，

∴

。

综上所述，S与t的关系式为：。

（4）在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或

6≤t≤8。

【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。

【分析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=cm。

∵D为边AB的中点，∴AD=cm。

又∵点P在AD上以cm/s的速度运动，∴点P在AD上运动的时间为2s。

∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t－

2s。

又∵点P在DE上以1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t－2 cm。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用求出面积S的表达式。

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄

清点H、点P的运动过程：

依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a 所示。

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为

2.5×2=5cm，而MN=2，

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：

第一次：此时点H由M→H运动时间为（t－4）s，运动距离MH=2.5（t－4），

∴NH=2－MH=12－2.5t。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。

第二次：此时点H由N→H运动时间为t－4－=（t－4.8）s，运动距离NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。

②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示。

由图可知，在此阶段，始终有MH=MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H。

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或6≤t≤8。

26. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．

（1）求m的值；

（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P 作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG 为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．

【答案】解：（1）如图，过点C作CK⊥x轴于K，

∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，

∴A（－2，0）B（0，4）。∴OA=2，OB=4。

∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。

又∵四边形BOKC是矩形，

∴OK=BC=2，CK=OB=4。∴C（2，4）。

将C（2，4）代入y=－x+m得，4=－2+m，解得

m=6。

（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。

∴ER=PO=CQ=1。

∵，即，∴AR=t。

∵y=－x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。

∴∠ODN=45°。

∵，∴DQ=t。

又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－t－t=8－t。

∴d=－t+8（0＜t＜4）。

（3）如图，∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。

∵BP=4－t，

∴。

∴EP=。

由（2）d=－t+8，∴PG=d－EP=6－t。

∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，

∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。

∴。∴，解得t=2。

∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，

∴△BHF∽△BFO。

∴，即BF2=BH?BO。

∵OP=2，∴PF=1，BP=2。∴。

∴=BH×4。∴BH=。∴HO=4－。

∴H（0，）。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB 的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x 轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。

（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用

∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。

（3）根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与

∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出

∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO 相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据t=2求出OP=2，

PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。

27. （2012湖南永州10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．

（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；

（2）求∠B的度数；

（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．

【答案】解：（1）AB=2；AH=。

（2）在Rt△ABH中，AH=，BH=1，tan∠B=，

∴∠B=60°。

（3）①当∠APB为钝角时，此时可得x＜1；

②当∠BAP为钝角时，

过点A作AP⊥AB交BC于点P。

则，∴当4＜x≤6时，∠BAP为钝角。

综上所述，当x＜1或4＜x≤6时，△ABP为钝角三角形。

【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=。

（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1，AH=，在

Rt△ABH中，可得出∠B的度数。

（3）分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可。　

28.（2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t ＜）秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，

求“向量PQ”的坐标．

【答案】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。

∴。

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。

∴当t=秒时，PQ∥BO。

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则

PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

∴，即，解得PD=6﹣t。

∴。

∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）。

∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。

②如图②所示，当S取最大值时，t=，

∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。

又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则

OD=OA=4。∴P（4，3）。

又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。

依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。

【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。

（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO 得求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函

数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。

②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为

△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。

29. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，

AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB 上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

∴AM=12﹣t，AN=2t。

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解

得：t=4 秒。

∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。

（2）如图作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。

∴△ANH∽△ABC。

∴，即。∴NH=。

∴。

∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。

【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。

（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。

30. （2012湖南湘潭10分）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C 和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．

（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出

△PCD并说明理由；

（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。

∵∠A与∠P是所对的圆周角，∴∠A=∠P，

∴△PCD∽△ABC。

（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：

（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴。

∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。

（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利

用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，从而求得答案。

31. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，

∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动

点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O 出发，以

acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．

设运动时间为t秒．

(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是

_______cm；

(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?

(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。

（2）①当0

过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=t。

∴S=OP·QD=t2。

②当4

作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=2。

∴S =DP·QE=t。

③当8

延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)。

易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，

∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH=(t－8)。

∴=t·2－t·(t－8)

=－t2+3t。

综上所述，。

∵①②中S随t的增加而增加，

③中，S随t的增加而减小，

∴当t=8时，S最大。

（3）①当△OPM∽△OAB时(如图4)，则PQ∥AB。

∴CQ=OP。

∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范围是0

②当△OPM∽△OBA时(如图5)，

则，

即。∴OM=。

又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。

∴，即。

整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范围是6≤t≤8。

综上所述：a=1+ (0

【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N，

则在Rt△COM中，由∠AOC=60o，OC=4，应用锐角三

角函数定义，可求得OM=2，CM=2，

∴ C(2，2)。

由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，

ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。

（2）分0

（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。32. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

(1)求证：⊙D与边BC也相切；

(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影

部分的面积(结果保留)；

(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF

＝S△MDF时，求动点M经过的

弧长(结果保留)．

【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N。