2021中考数学 压轴专题训练之动点问题(含答案)

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题

1. 如图

1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，

A (3，33)，

B (9，53)，

C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB

－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，5

2(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．

(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．

(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．

图1 图2

2. 如图，抛物线

y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于

点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).

(1)求抛物线和直线l 的解析式;

(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;

(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、

B (2, 0)三点．

（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；

（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．

4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为

H ，则称直线l 1与

l 2是点H 的直角线．

（1）已知直线①122

y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④

24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的

直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．

5. 如图①，在平面直角坐标系

xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，

B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点

C (0，-4).

(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .

(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.

①

6. 如图，已知抛物线211(1)444

b

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

7. 如图，已知

A 、

B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中

心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？

8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

11. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝k

x(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x

轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.

(1)求m的值和反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－k

x＞0的解集；

(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

13. 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

14. 如图，已知一次函数

y ＝－x ＋7与正比例函数43

y x 的图象交于点A ，且与

x 轴交于点B ．

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

15. 如图，二次函数

y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）

的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：

AD

AE

为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.

(1)点D的坐标是.

(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N 的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得△DPQ与△DAB相似.

①当n=时，求DP的长;

②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围.

17. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．

①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3

交于点E ，若7

3tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．

18. 如图，在平面直角坐标系

xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函

数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；

(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；

(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．

19. 如图，抛物线233

384

y x x =--

+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）

，与y 轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

20. 已知平面直角坐标系中两定点

A (－1, 0)、

B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a

≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；

（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52

）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题-答案

一、解答题（本大题共20道小题）

1. 【答案】

【思维教练】(1)设一次函数解析式，将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可；

(2)S △CPQ ＝1

2·CP·Q y ，CP ＝14－t ，点Q 在AB 上，Q y 即为当x ＝t 时的y 值，代入化简得出S 与t 的函数关系式，化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论，当Q 在OA 上时，过点C ；当Q 在AB 上时，过点A ；当Q 在BC 上时，过点C 和点B ，再列方程并求解．

解图1

解：(1)把A(3，33)，B(9，53)代入y ＝kx ＋b ，

得???3k ＋b ＝33，

9k ＋b ＝53，解得???k ＝33，b ＝23

，

∴y ＝3

3x ＋23；(3分)

(2)在△PQC 中，PC ＝14－t ，

∵OA ＝32＋（33）2＝6且Q 在OA 上速度为3单位长度/s ， AB ＝62＋（23）2＝43且Q 点在AB 上的速度为3单位长度/s ， ∴Q 在OA 上时的横坐标为t ，Q 在AB 上时的横坐标为3

2t ， PC 边上的高线长为3

3t ＋2 3.(6分)

所以S ＝12(14－t )(32t ＋23)＝－34t 2＋53

2

t ＋143(2≤t ≤6)．

当t ＝5时，S 有最大值为813

4.(7分)

解图2

(3)①当0＜t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1)．

可得方程(332t )2＋(14－3

2t )2＝(14－t )2.

解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝7

4.(8分)

解图3

②当2＜t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2)． 可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.

解得t 1＝3＋572，∵t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋57

2. ③当6＜t ≤10时，

(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3)．

可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝22

3.(10分)

解图4

(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4)．

可得方程(53)2＋(t －9)2＝[5

2(t －6)]2. 解得t 1＝38＋2027，t 2

＝38－202

7(舍去)． 此时t ＝

38＋202

7

.(11分) 综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋202

7

.(12分)

【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ 的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论，在不同阶段列方程求解．

2. 【答案】

[分析] (1)将点A ，D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解; (2)设出P 点坐标，用参数表示PE ，PF 的长，利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.

解:(1)将点A ，D 的坐标代入y=kx +n 得:

解得:

故直线l 的表达式为y=-x -1.

将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式， 得

解得

故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1，

∴C (0，-1)，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即∠OAC=45°， ∵PE ∥x 轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.

又∵PF ∥y 轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF .

设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)， 则点F (x ，-x -1)，

∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18，

∵-2<0，∴当x=2时，PE +PF 有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N (0，4)，C (0，-1)，∴NC=5，

①当NC 是平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC=PM. 设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±

或x=0或x=4(舍去x=0)，

则点M 坐标为(2+

，-3-)或(2-，-3+

)或(4，-5);

②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，，

设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0=

=

，

解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).

综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为: (2+

，-3-)，(2-，-3+

)，(4，-5)，(-4，3).

3. 【答案】

（1）212

y x x =-+。 （2）AM ＋OM 的最小值为42

图2 图3

4. 【答案】

（1）直线①和③是点C 的直角线．

（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP

OA

=，即

273

PO

PO =

-．解得OP ＝6或OP ＝1．

如图2，当OP ＝6时，l 1：162

y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6．

如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113

y x =-+．

图2 图3

5. 【答案】

[解析](1)令y=0求得点A ，B 坐标，再由点C 坐标求得抛物线的解析式及线段AC 的长;

(2)过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点P ，通过分类讨论确定点Q 坐标. 解:(1)点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(4，0); 线段AC 的长为2

， 抛物线的解析式为:y=x 2-x -4.

(2)过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点P .

∵点C (0，-4)，∴-4=x 2-x -4，解得x 1=2，x 2=0，∴P (2，-4). ∴PC=2，若四边形BCPQ 为平行四边形，则 BQ=CP=2，

∴OQ=OB +BQ=6，∴Q (6，0).

若四边形BPCQ 为平行四边形，则BQ=CP=2，