利用极坐标解圆锥曲线题word版本.docx

利用极坐标解题

知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．

以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：

ep

.

1 ecos

其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ．

当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆；

当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（ 1）若

ep

1+ecos

则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭

圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线

当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若

ep

1-esin

当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线

当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线

ep

（3）

1+esin

当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线

当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例 1.（复旦自招）确定方程

10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

3cos

5

2

3 10

解法一：

5 3

1 3

cos

1 3

cos

5

5

3

10

e

， P

5 3

c

3

3 a c a

25

a

5

5

8 b 2 10

5

10 c

15

c

3

a c

3 8

3

b

( 25 )2 ( 15 )2 5 8 8

2

3 15 长轴长 25

，短轴长

5

方程表示椭圆的离心率 e

，焦距 ，

4

5

4

解法二：转化为直角坐标

（ 2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ，

1、椭圆中， p

a 2 c

b 2 ， MN

ep ep

) a 2

2ab 2 .

c

c

1 ecos 1 ecos(

c 2 cos 2

若椭圆方程为

，半焦距为

，焦点

，

设过

的直线 的倾斜角为

交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长

。

解：连结，设，由椭圆定义得

，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长

。

同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：

2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）

ep ep2ab2；

若 M 、 N 在双曲线同一支上，MN

1

ecos1ecos() a2c2cos2

ep ep2ab2

若 M 、 N 在双曲线不同支上，MN

1

ecos1ecos c 2 cos2a2

设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、 B 两点，求弦长|AB| 。

解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、 B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得

，由余弦定理可得

整理可得，同理，则可求得弦长

。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、 B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，

整理可得，则

因此焦点在x 轴的焦点弦长为

同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式

其中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为AB的倾斜角。

p p 2 p

3、抛物线中，MN

1 cos

1 cos() sin 2

若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）

解：过 A、 B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得

即

则

同理的焦点弦长为

的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为

例 2．已知抛物线y2=2px （p>0 ），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于 A ， B 两点，求AB 长 .

练习 1：．过双曲线x

2- y21的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与 A 、 B 两点，453

求｜AB ｜

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

即得

5

3cos A(,), B( 2 ,) 21

33

附录直角坐标系中的焦半径公式

设 P （ x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若 F 1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 a ex ， PF 2 a ex ；

2、若 F 1、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点，

当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ；

当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ；

3、若 F 是抛物线的焦点，

PF

x

p

.

2

利用弦长求面积

2

2

例 3．设过椭圆

x

y

1 的右焦点的弦 AB=8 ，求三角形 AOB 的面积。

25

16

2 2

练习 2．（ 08 年海南卷）过椭圆

x y 1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于

5 4

A ，

B 两点， O 为坐标原点，求

AOB 的面积．

简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式

| AB |

2ep

求弦长，然后利用公式

e 2 cos 2 1

1

| AB ||OF | sin AFO 直接得出答案。

S AO B

2

年全国高考理科 )已知点 F 为椭圆

x 2

练习 3． (2005

y 2 1的左焦点 .过点 F 的直线 l 1 与椭

2

圆交于 P 、 Q 两点， 过 F 且与 l 1 垂直的直线 l 2 交椭圆于 M 、 N 两点， 求四边形 PMQN 面积的最小值和最大值 .

2

解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：

2 2

cos

1

2

设直线 l 1 的倾斜角 ，则直线 l 2 的倾斜角为

900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：

| PQ |

2 ， | MN |

2

2

1

cos

2

1

cos 2

(

900

)

1

sin

2

1

1

1

2

2

2

用他们来表示四边形的面积

S

1

| PQ |g| MN |

1 1

1

1

1

2

sin 2

2

1

sin 2

2

2 4

gcos

2 16

1

即求

的最大值与最小值

1

1 sin

2 2

2 16

由三角知识易知：当 sin 2

1时，面积取得最小值

16

；当 sin 2

0 时，面积取得最大

值 2

9

利用弦长公式解决常量问题

x 2

y 2 1 (a b 0)

例 4．过椭圆 a 2

b 2 的左焦点 F ，作倾斜角为 60 的直线 l

交椭圆于 A 、B

两点，若

FA

2 FB

，求椭圆的离心率 .

简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。

设椭圆的极坐标方程为

e p

e p

e p

1 ecos 则 FA

1 ecos 60

, FB

1 ecos 240 0

，

∴ e p

2 e p

，解得 e

2

；

e

e

3

1

1

2

2

练习 4．求过椭圆

距离。

2 的左焦点，且倾斜角为

的弦长 AB 和左焦点到左准线的

3 cos

4

2

解：先将方程

化为标准形式：

3 则离心率 e

1

2

1 ， ep

，

1

3

3

cos

3

p 2所以左焦点到左准线的距为2。

设 A(

1,

), B(

5

) ，代入极坐标方程，则弦长

4 2

,

4

AB

1

2

2

2

24

3 cos

3 cos 5

17

4

（ 3）定值问题

4

例 5. 抛物线

y 2

2 px( p 0) 的一条焦点弦被焦点分为

a,b 的两段，证明：

1 1 定值。

F

FX

a b

解：以焦点

为极点，以

轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为

p ，设 A(a, ), B(b,

)

1 cos

将 A,B 两点代入极坐标方程，得

a

p , b

p

1 cos

1 cos(

)

则

1

1 = 1 cos 1 cos(

) = 2

（定值）

a

b p

p

p

点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。

推论：若圆锥曲线的弦

1

1 2

MN 经过焦点 F ，则有

NF

ep

MF

例 6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦

AB 和弦 CD, 求证

1 1 为定值。

AB

CD

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为

ep

，又设

1 ecos

3

则代入可得

A 1, 1 ,B

2 , + ,C

3 , 2 +,D

4 ,

2 +

| AB |

2ep

， | AB |

2ep 则 1

1 = 2-e 2

1 e

2 cos 2

1 e

2 sin 2

AB CD

2ep

注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。

推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立

极坐标方程。

推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。

例 7． (2007重理改 )中心在原点O的x

2

y2 1 ，点F是其左焦点，在上任3627

取三个不同点

P1,P2 ,P3使∠P1FP2∠P2 FP3∠ P3 FP11200．

明：

111

FP 2定，并求此定．

FP1FP3

解析：以点 F 极点建立极坐系，的极坐方程：

9

，点 P1 2cos

的极角，点 P2与 P3的极角分1200、1200， P1、 P2与 P3的极径

就分是| FP1|

9

、 | FP2 |

9

与 | FP3 | 2cos2cos(1200 )

9

，因此2cos(120 0 )

1112cos2cos(1200 )2cos(1200 )

，而在三角函FP1FP 2FP3999

数的学中，我知道cos cos(1200 )cos(1200 ) 0 ，因此

1112

定

FP1FP 2FP33

点睛：极坐分表示 | FP1 |、 | FP2 |与 | FP3 |，一个角度一个极径．就不会象解析几何那，一个斜角，两个点，同两条焦半径（极径），就是极坐表示曲的点．

推广：若放在抛物和双曲中是否成立呢？

例 8 ．（ 2006全国江）

x 2y 2

251的右焦点F，P1，P2，?，P2424个依

16

逆序排列在上的点，其中P1是的右点，并且∠P1FP 2= ∠ P2FP3 = ∠P FP =? =∠P FP .若 24 个点到右焦点的距离的倒数和S，求 S 的．

34241

n

1 推广 :

设

PP 12 P 3 L P n 是 椭圆上的 n 个点，且 FP 1 ,FP 2 ,FP 3 L

FP N 圆周角等分则

2

i=1

OP i

也为定值

作业

（ 2003 年希望杯竞赛题） 经过椭圆

x 2

y 2

1(a b 0)

的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线和

a 2

b 2 1

椭圆相交于 A ， B 两点， | AF 1 | 2 | BF 1 | ．

（ 1）求椭圆的离心率 e ；

（ 2）若 | AB |

15 ，求椭圆方程

4