利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题
知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条
定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ
ρcos 1e ep
-=
.
其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；
当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 1+cos ep
e ρθ
=
则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例1.（复旦自招）确定方程10
53cos ρθ=
-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：3102
5333
1cos 1cos 55ρθθ?
==--
31053
e P ∴==，
2332555851015
103383c a c a a b a c c c
???===??????∴?????
???-===??????
52
b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25
54
长轴长，短轴长
解法二：转化为直角坐标
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
1、椭圆中，c
b c c a p 2
2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长
。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式：
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
若M 、N 在双曲线同一支上，θ
θπθ2
22
2cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2
222
cos 2cos 1cos 1a
c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A 、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长
。
（2）当或时，如图3，直线l 与双曲线交点A 、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，
整理可得，则
因此焦点在x 轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式
其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为AB 的倾斜角。
3、抛物线中，θ
θπθ2
sin 2)cos(1cos 1p
p p MN =--+-=
若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）
解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义可得 即
则
同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为
例2． 已知抛物线y 2=2px （p>0），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，求AB 长.
练习1：．过双曲线
22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3
π
的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得
附录直角坐标系中的焦半径公式
设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，
1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；
2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，
当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2
p
x PF +=. 利用弦长求面积
例3．设过椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB 的面积。
练习2．（08年海南卷）过椭圆22
154
x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于
A ，
B 两点，O 为坐标原点，求AOB ?的面积．
5
23cos ρθ=-12(,),(,)33
A B ππ
ρρπ+12||
AB ρρ=+5580
||7
23cos 23cos()33πππ=+=--+
简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos ep
AB e θ
=
-求弦长，然后利用公式
B 1
|B |||sin 2
AO S A OF AFO ?=
∠直接得出答案。 练习3．(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2
212
x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭
圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.
解析：以点F
为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为0
90θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：
2||1cos 2
PQ θ=
-
，202||1cos (90)1sin 2
2
MN θθ=
=
-+-
用他们来表示四边形的面积
1||||2S PQ MN =
g 22111sin cos 24θθ=+g 21
11sin 2216
θ=
+ 即求21
11
sin 2216
θ+的最大值与最小值
由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值16
9
；当sin 20θ=时，面积取得最大
值2
利用弦长公式解决常量问题
例4．过椭圆)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A 、B
两点，若
FB
FA 2=，求椭圆的离心率.
简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。 设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=
则0
0240cos 1,60cos 1e p
e FB e p e FA -=
-=， ∴
2
1221e
p e e p e +
?
=-，解得32=e ；
练习4．求过椭圆23cos ρθ
=-的左焦点，且倾斜角为4π
的弦长AB 和左焦点到左准线的
距离。
解：先将方程ρ=化为标准形式：2
311cos 3
ρθ=- 则离心率13e =，23ep =，
2p ∴= 所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,
),(,
)44
A B π
π
ρρ，代入极坐标方程，则弦长
122224
5173cos 3cos
44
AB ρρππ=+=+=
-- （3）定值问题 例5. 抛物线
22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11
a b
+定值。
解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为
1cos p
ρθ
=
-，设(,),(,)A a B b θθπ+
将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()
p p
a b θθπ=
=--+
则
11a b
+=1cos 1cos()p p θθπ--++=2
p （定值）
点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有
ep
NF MF 2
11=+ 例6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证
11
AB CD
+为定值。 证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θ
ρcos 1e ep
-=
，又设
()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,+22ππρθρπθρθρθ????
? ?????
则代入可得
222||1cos ep AB e θ=-，222||1sin ep AB e θ=-则 2
112-e =
AB CD 2ep
+ 注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例7．(2007重庆理改编)中心在原点O 的椭圆
22
13627
x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使0
122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠． 证明：
213
111
FP FP FP ++
为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：9
2cos ρθ
=
-，设点1P 对应
的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0
120θ+、0
120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP =
9
2cos θ
-、2||FP = 092cos(120)θ-+与3
||FP = 092cos(120)θ--，因此213
111
FP FP FP ++=
002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道0
cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此
2131112
3
FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．
推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？
例8．（2006全国联赛江苏）椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 4=…=∠P 24FP 1.若这24个点到右焦点的距离的倒数和为S ，求S 的值．
推广: 设123P P P P n L 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP L 圆周角等分则n
2
i=1
i
1
OP
∑也为定值 作业
（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点1F 作倾斜角为60°的直线和
椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =． （1）求椭圆的离心率e ； （2）若15
||4
AB =，求椭圆方程
利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题 知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条 定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -= . 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.（复旦自招）确定方程10 53cos ρθ= -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：3102 5333 1cos 1cos 55ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????? ???-===?????? 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。 解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长
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利用极坐标解题 知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ep . 1 ecos 其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ． 当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆； 当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（ 1）若 ep 1+ecos 则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭 圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若 ep 1-esin 当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线 ep （3） 1+esin
当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例 1.（复旦自招）确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 3cos 5 2 3 10 解法一： 5 3 1 3 cos 1 3 cos 5 5 3 10 e ， P 5 3 c 3 3 a c a 25 a 5 5 8 b 2 10 5 10 c 15 c 3 a c 3 8 3 b ( 25 )2 ( 15 )2 5 8 8 2 3 15 长轴长 25 ，短轴长 5 方程表示椭圆的离心率 e ，焦距 ， 4 5 4 解法二：转化为直角坐标 （ 2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， 1、椭圆中， p a 2 c b 2 ， MN ep ep ) a 2 2ab 2 . c c 1 ecos 1 ecos( c 2 cos 2 若椭圆方程为 ，半焦距为 ，焦点 ， 设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长 。
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题 一、适用题型二、基本理论： （一）极坐标系、 在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的 正方向（通常取逆时针方向），如图 对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。 （二）圆锥曲线的统一极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -= （成为标准极坐标方程）。 （1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。 （2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线. （3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中： （i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。 （ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a = 。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。 由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为： 推广1： 1+cos ep e ρθ = （1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 （2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 （3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 推广2：1-sin ep e ρθ = （1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 （2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线 （3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 推广3：1+sin ep e ρθ = （1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 （2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep
2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
常见曲线的极坐标方程3
常见曲线的极坐标方程（3） 学习目标： 1、进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法； 2、了解圆锥曲线的方程； 3、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义。 活动过程： 活动一：知识回顾 1、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为 ； 2、（1）当圆心位于)0,(r M 时，圆的极坐标方程是： ； （2）当圆心位于),(2π r M 时，圆的极坐标方程是： 。 3、圆锥曲线统一定义： 活动二：圆锥曲线的极坐标方程 探究：设定点F 到定直线l 的距离为p ，求到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的 轨迹的极坐标方程。
活动三：圆锥曲线的极坐标方程的简单应用 例1：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方 案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 例2：求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 例3：已知抛物线的极坐标方程为θρcos 14-= ，求此抛物线的准线的极坐标方程。
活动四：课堂小结与自主检测 1、按些列条件写出椭圆的极坐标方程： （1）离心率为0.5，焦点到准线的距离为6； （2）长轴为10，短轴为8。 2、圆心在极轴上，半径为a 的圆经过极点，求此圆过极点的弦的三等分点的轨迹方程。 3、自极点O 作射线与直线4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12=?OP OM ，求点P 的轨迹方程。
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。 今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又 设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而 θ ρρ cos += = p DP OP e ，即θρcos 1e ep -= 椭圆（双曲线）的焦参数c b p 2 =（极和极线的距离） 椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -= （如右图） 其中02 >=c b p 是定点F 到定直线的距离， 当10<
利用极坐标解圆锥曲线题教学提纲
利用极坐标解圆锥曲 线题
利用极坐标解题 知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一 条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.（复旦自招）确定方程10 53cos ρθ =-表示曲线的离心率、焦距、长短轴 长。 解法一：3102 5333 1cos 1cos 55ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????? ???-===?????? 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22sin 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，
α 2cos ||H AB = . 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 2 2sin 1||e H AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 cos ||H AB = .
典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 2F O A B x y
圆锥曲线的极坐标方程介绍
圆锥曲线的极坐标方程介绍 很多老师在讲授圆锥曲线或进行总复习时，为了解题方便的需要，对圆锥曲线的极坐标方程作了相应的介绍．因为介绍的不是很详细，很多同学还是很不清楚．下面，我再详细地介绍一下圆锥曲线的极坐标方程． 利用坐标系来确定平面内点的位置和建立曲线的方程，除了直角坐标系外，常用的还有极坐标系．它是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系． 在平面内取一固定点O ，从O 引一条射线OX ，再确定一个计 算长度的单位长和计算角度的正方向（通常我们选取逆时针方向作为 正方向）．这样就构成了一个极坐标．其中，O 点叫做极点，OX 叫极轴（如图一）． 设P 是平面内一点，连接线段OP ，那么极点和P 点的距离||OP ，叫做P 点的极半径，通常用ρ来表示；以极轴OX 为始边，射线OP 为终边的所成的XOP ∠，叫做P 点的极角，通常用θ来表示．（ρ，θ）就是P 点的极坐标． 为了研究的方便，我们也允许ρ取负值．当ρ<0时，点(,)P ρθ的位置可按下列规则来确定： 作射线OM （如图二）使XOM θ∠=，在OM 的反向延长线上P 点，使||||OP ρ=，那么P 点就是极坐标是（ρ，θ）的点(0)ρ<． 下面用极坐标来求圆锥曲线的方程．根据圆锥曲线的定义，我们如下建立直角坐标系： 取焦点F 为极点，作FG 垂直于准线l ，垂足为G ，取FG 的反向延长线FX 为极轴（如图三），设焦点到准线的距离为(0)p p >． 设(,)P ρθ是圆锥曲线上的任意一点，连接PE ，过P 作OQ l ⊥，PM FX ⊥，垂足分别为Q M 、，那么由圆锥曲线的第二定义，得： 因为||PF ρ= ， ||||cos PQ GM p ρθ==+ 所以cos e p ρρθ =+ (,)P ρθ(ρ<0) 图一 图二 图三
圆锥曲线的统一极坐标方程
圆锥曲线的统一极坐标方程 一、教学内容解析 《圆锥曲线的统一极坐标方程》是人教版教材选修4-4里面的内容，也是理科生必需掌握的重点知识，它是学生在以前已学过曲线的极坐标方程，以及在前面几节学习了圆锥曲线的定义与标准方程以及第二定义的基础上，从几何学角度，运用坐标法进一步研究圆锥曲线的极坐标关系，极坐标与直角坐标结合思想，初步形成极坐标法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后更深入学习圆锥曲线的知识打下基础。 本节课内容共一个课时。教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用极坐标法坐标法去研究圆锥曲线内在实质的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识。 一、教学目标设置 由于本节课在以前的学习过程已有所接触，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直圆锥曲线的极坐标方程以及对应各个参数的意义。通过学生的推导、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与曲线几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标。 二、学生学情分析 在经历极坐标方程、圆锥曲线的第二定义学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐。 高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程 一、知识总结： 1、标准形式：1cos ep e ρθ = -，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线 2 b p c =， 对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。 2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。 3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。 二、推广形式： 1、推广1：1cos ep e ρθ = +： 1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线； 3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。 2、推广2：1sin ep e ρθ = -： 1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线； 3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。 3、推广3：1sin ep e ρθ = +： 1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线； 3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。 三、几点性质： 1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos ep e ρθ = -，与之对应的直角坐标方程为： 1）当01e <<时， ()2 2 2 21x c y a b -+= ； 2）当1e =时，2 22p y p x ??=+ ?? ? ；