错位重排专题
错位重排问题专项
错位重排
1-6个元素的错位重排数分别为0，1，2，9，44，265递推公式：Dm=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]；
错位重排模型：把编号为1-m的小球分别放入编号为1-n的箱子错位重排（即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子…m号球不在m号箱子），且每个箱子一个球，有多少种不同情况？
楚香凝证明：假设总情况数为D（m）种，如果让1号球先选，有（m-1）种选择；假设1号球选的2号箱子，接下来让2号球选箱子，进行分类讨论：
①如果2号球选的1号箱子，相当于剩下的（m-2）个球进行错位重排，有D（m-2）种；
②如果2号球选的不是1号箱子，则题目可转化为把编号为2→m的小球分别放入编号为
1、3→m的箱子错位重排（即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子…m号球不在m号箱子），相当于m-1个球错位重排，有D（m-1）种；
所以可得D（m）=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]，得证；
例1：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？【北京2014】
A.9
B.12
C.14
D.16
楚香凝解析：
解法一：四种元素错位重排有9种，选A
解法二：ABCD四辆车分别停放在一二三四号位置，A先选有三种情况，假设A选了二号，那么B再选、有三种选择，剩下C和D都只有一种选择，共3*3=9种，选A
例2：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A.2
B.6
C.8
D.9
楚香凝解析：先选出停的正确的那辆车C（4 1）=4种，剩下三辆车错位重排有2种，共4*2=8种，选C
例3：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有两辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A.2
B.6
C.8
D.9
楚香凝解析：先选出停的正确的两辆车C（4 2）=6种，剩下两辆车错位重排有1种，共6*1=6种，选B
例4：五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？【北京2006】A.60 B.46 C.40 D.20
楚香凝解析：先选出贴错的3个瓶子有C（5 3）=10种，三个贴错的瓶子相当于三个元素错位重排、有2种，共10*2=20，选D
例5：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排在星期五值班，则不同的排班方法共有（）种。【福建2007】
A.6
B.36
C.72
D.120
楚香凝解析：选择一个工作人员安排到星期五有三种情况，剩下四个人随便排A（4 4）=24种，共3*24=72，选C
例6：幼儿园小班有7名小朋友，上课铃响慌乱中迅速回到座位上，结果只有3名小朋友坐到了自己的座位上，请问这样的情况一共有多少种？
A.315
B.350
C.385
D.420
楚香凝解析：先选出4名坐错了的小朋友C（7 4）=35，然后4人错位重排有9种，共35*9=315种，选A
例7：设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（）
A.30种
B.31种
C.32种
D.36种
楚香凝解析：总情况数A（5 5）=120种，都不相同相当于五个元素错位重排有44种，有一个杯盖和茶杯编号相同有C（5 1）*9=45种，所以满足题意的有120-44-45=31种，选B
例8：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）种？
A.280
B.240
C.180
D.96
楚香凝解析：除去甲乙从另外四人中找一个人当翻译，有A（4 1）=4种，剩下的三个位置可以任意安排A（5 3）=60种，所以总共有4*60=240种，选B
例9：某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前4名，已知有一名同学两次排名一样，则这四个人期末排名有几种可能？【吉林政法2014】
A.4
B.6
C.8
D.10
楚香凝解析：相当于4个人中，其中一个位置不变、另外三个人错位重排，先选出位置不变的一个人有C（4 1）=4种、剩下三个人错位重排有2种情况，共4*2=8种，选C
例10：大学生剧团从8名学生中选出4人分别担任甲、乙、丙、丁四个不同的表演角色，若其中有两名学生不能担任甲角色，则不同的挑选方案共有（）。【江苏2010】A.1200种 B.1240种 C.1260种 D.2100种
楚香凝解析：两名同学不能担任甲角色，所以甲角色有6种选择，剩下的三个角色可以任意
安排A（7 3），总共情况数=6*A（7 3）=1260人，选C
例11：从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案有多少种？
A.120
B.240
C.180
D.60
楚香凝解析：
解法一：甲不能跑第一棒或第四棒的对立面是甲跑第一棒或者第四棒，总情况数=A（6 4）=360，其中“甲跑第一棒或者第四棒”的情况数有C（2 1）*A（5 3）=120，所以满足题意的情况数有360-120=240种，选B
解法二：因为甲不能跑第一棒和第四棒，所以第一棒有5种选择、第四棒有4种选择、第二棒有4种选择（包括甲）、第三棒有3种选择，所以共有5*4*4*3=240种，选B
例12：甲乙丙丁戊五个人站队，要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位、丁不站在第四位，有多少种情况？
A.42
B.44
C.53
D.60
楚香凝解析：对戊进行分类讨论；当戊站在第五位时，相当于四个人错位重排，有9种；当戊不站在第五位时，相当于五个人错位重排，有44种；共9+44=53种，选C
例13：甲乙丙丁戊五个人站队，要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位，有多少种情况？
A.44
B.53
C.60
D.64
楚香凝解析：
解法一：分类讨论
①丁在第四位，若戊在第五位，相当于甲乙丙三个人错位重排、有2种；若戊不在第五位，相当于甲乙丙戊四个人错位重排、有9种；
②丁不在第四位，若戊在第五位，相当于甲乙丙丁四个人错位重排、有9种；若戊不在第五位，相当于甲乙丙丁戊五个人错位重排、有44种；
共有2+9+9+44=64种，选D
解法二：容斥原理
（甲排1）或（乙排2）或（丙排3）的情况数=甲1+乙2+丙3-（甲1乙2）-（甲1丙3）-（乙2丙3）+（甲1乙2丙3）=24+24+24-6-6-6+2=56种；
甲不排1且乙不排2且丙不排3=A（5 5）-56=64种，选D
例14：某单位有老陶和小刘等5名工作人员，需安排在星期一至星期五的中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的事不能排在星期五，则不同的排法共有（）种。【上海B2012】
A.36
B.48
C.78
D.96
楚香凝解析：
解法一：老陶在周一有A（4 4）=24种，小刘在周五有A（4 4）=24种，老陶在周一且小刘在周五有A（3 3）=6种，老陶不在周一且小刘不在周五=总情况数-（老陶在周一）-（小刘在周五）+（老陶在周一且小刘在周五）=120-24-24+6=78种，选C
解法二：分类
①老陶在周五，剩下四人随便排，有A（4 4）=24种；
②老陶不在周五，老陶有3种选择，小刘有3种选择，剩下三人随便排，共3*3*A（3 3）=54种；
共24+54=78种，选C
例15：从6名运动员中选出4个参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
A.204
B.228
C.252
D.312
楚香凝解析：正面入手，分两类
（1）跑第四棒的是甲，剩下三个位置随便排A（5 3）=60种；
（2）跑第四棒的不是甲，从除去甲乙剩下的四个人里选一个跑第四棒有4种，然后再从剩下四个人（除去甲）选一个跑第一棒，剩下两个位置随便排A（4 2）=12种，4*4*12=192种；共60+192=252种，选C
例16：把“keeper”进行错位重排，使得每种字母所在位置跟原来都不同，有多少种方法？
A.3
B.6
C.12
D.36
楚香凝解析：字母keeper分别对应一二三四五六号位置；三个e只能排在146号位置、只有一种选择，kpe排在235号位置、有A（3 3）=6种选择，选B
例17：把三个a、三个b、三个c共九个字母排成三行三列，要求每行每列字母互不相同，不同排法有多少种？
A.6
B.12
C.18
D.24
楚香凝解析：第一行abc排列有A（3 3）=6种，第二行相当于三个元素错位重排、有2种，第二行排好之后第三行随之固定，共6*2=12种，选A
例18：把“hello”进行错位重排，使得每种字母所在位置跟原来都不同，有多少种方法？
A.3
B.6
C.12
D.24
楚香凝解析：
解法一：第一个l记为l1，第二个l记为l2；44-（只l1在四号位）-（只l2在三号位）-（l1在四号位且l2在三号位）=24，两个l可以互换位置，24/2=12种，选C
解法二：先排两个l，有C（3 2）=3种；对于剩下三个元素“h、e、o”和三个位置，其中一个字母不能在原来的位置上，有A（3 3）-A（2 2）=4种；共3*4=12种，选C
例19：五对夫妇共10个人围坐一个圆桌，男女相隔而坐且每对夫妇不相对而坐的情况数有多少种？
A.264
B.528
C.1056
D.5280
楚香凝解析：先排五个男的，圆周排列，有A（4 4）=24种；顺时针分别给五人编号为1、3、5、7、9，则1号的妻子不坐6号位、3号的妻子不坐8号位、5号的妻子不坐10号位、
7号的妻子不坐2号位、9号的妻子不坐4号位，有44种；共24*44=1056种，选C
公务员考试行测：记住错位重排结论的重要性
在公务员考试中，在数学运算部分有每年必考题型——排列组合。一般情况下不管省考还是国考每年都会出现一道题目，并从近几年公务员考试的命题趋势来看，这一题型的难度也有逐年上升的趋势，考察形式也比较多样化。环形排列、隔板模型、错位重排等都是排列组合中的经典模型，对于这些题型如果大家没有系统的学习过，看到一个题后就去硬着头皮去做，这样是很浪费时间的，一般也易做错，但如果大家了解这些题型所涉及的原理及其结论，只要在考试时大家能准确的区分题型，那对于这一类题目就是简单的计算问题了。接下来中公教育老师就给大家介绍一下错位重排的结论。 错位重排问题是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。表述为：编号是1、2、…、n的n封信， 装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法? 解析：假设用Dn来表示n封信进行错位重排的方法数，我们不 难得出以下结论： (1) n=1, D1=0;1封信是不能进行错位重排的; (2) n=2，D2=1;2封信的时候只能相互对调只有1种方法; (3) n=3，D3=2×(D1+D2)=2×(0+1)=2; (4) n=4，D4=3×(D2+D3)=3×(1+2)=9; (5) n=5，D5=4×(D3+D4)=4×(2+9)=44; (6) n=6，D6=5×(D4+D5)=5×(9+44)=265;
(7) n=n，Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1); 对于第一封信只要不装在1号信封即可，因此有n-1种装法，剩下的还有n-1封信没有装信封，其有两种情况。第一种情况：假设第一封信装进2号信封，第二封信装进1号信封，则此时剩下n-2封信件，这些信件再进行错位重排有Dn-2种方法;第二种情况：假设第一封信装进2号信封，这时候将其拿出，那最后剩余n-1封信，满足编号2不放1号信封、3号不放2号信封，则变成n-1封信的错位重排，因此有Dn-1种装法。我们都知道排列组合是建立在分类分步思想之下的，因此n封信件的错位重排就是Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1)。在考试中一般n 6,因此大家在做题时只要能区分题型，记住n=1,2,3的错位重排数即可，按照我们的结论再难的题也能够通过简单的计算得出。 下面主要通过几个练习题来巩固一下错位重排的结论。 例1：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法? A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】B。解析：此题为4个元素的错位重排有9种方式，故选B选项。 例2：编号为1至6的6个小球放入编号为1至6个盒子里，每个盒子放一
国家公务员：排列组合之错位排序
国家公务员：排列组合之错位排序 排列组合的数量题目当中，有一些技巧我们常常会用到，今天我们就一起来看一下排列组合问题中常用的方法——错位排序。 我们来讨论一个问题：这是一个很经典的数学问题：有一个人写了n封信件，对应n个信封，然而粗心的秘书却把所有信件都装错了信封，那么一共有多少种装错的装法？ 这个问题可抽象为以下一个数学问题：已知一个长度为n的有序序列｛a1,a2,a3,…,an｝，打乱其顺序，使得每一个元素都不在原位置上，则一共可以产生多少种新的排列？首先考虑几种简单的情况： 原序列长度为1 序列中只有一个元素，位置也只有一个，这个元素不可能放在别的位置上，因此原序列长度为1时该为题的解是0。 原序列长度为2 设原序列为{a,b}，则全错位排列只需将两个元素对调位置{b,a}，同时也只有这一种可能，因此原序列长度为2时该问题的解是1。 原序列长度为3 设原序列为{a,b,c}，则其全错位排列有：{b,c,a},{c,a,b}，解是2。 原序列长度为4 设原序列为{a,b,c,d}，则其全错位排列有：{d,c,a,b},{b,d,a,c},{b,c,d,a},{d,a,b,c},{c,d,b,a},{c,a,d,b},{d,c,b,a},{c,d,a,b},{b,a,d,c}，解是9。 在往下数，次数会更多，那我们就可以用不完全归纳得出规律：f(n)=(n-1)f(n-2)+(n-1)*f(n-1)=(n-1)[f(n-2)+f(n-1)] 。 很明显，规律不太好记。但是我们不用记，因为在公务员考试当中，题目一般情况下比较简单，我们只需要记住D1=0；D2=1；D3=2；D4=9；D5=44。即可下面我们一起来看一道例题： 【例】（2015-山东-59）某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（）
粉笔2018年省考第3季行测数量模拟题
粉笔2018省考第3季行测模考数量关系 （1）甲、乙、丙三人每人收集了不超过20个古铜币。甲的古铜币数量乘以17与乙的古铜币数量乘以36之和等于丙的古铜币数量的54倍，则甲有多少个古铜币：【粉笔模考】A.9 B.12 C.18 D.20 楚香凝解析：17甲+36乙=54丙，可得甲为18的倍数，选C （2）某商家以120元的单价进购了一批童装，并以每件80元的利润销售了这批童装中的60%。为了保证所有的童装售完后利润率不低于50%，则剩余童装最多可以打几折出售：【粉笔模考】 A.七折 B.七五折 C.八折 D.八五折 楚香凝解析：假设买了10件，总利润不低于120*10*50%=600元；前6件的利润为6*80=480元，所以后4件的利润至少600-480=120元、每件利润30元、售价150元，折扣=150/（120+80）=75%，选B （3）小王先调制了一杯浓度为15%的咖啡，又将90g咖啡粉倒入210g水中调制得到第二杯咖啡。在每杯咖啡分别喝了50g后发现一杯较浓一杯较淡，他便将第一杯咖啡全部倒入了第二杯中冲成浓度为20%的咖啡。则小王原本调制的第一杯咖啡有多少克：【粉笔模考】A、550 B、300 C、82.5 D、75 楚香凝解析：第二杯浓度为90/（90+210）=30%，都喝了50g后，15%和250g浓度为30%的混合得到20%，十字交叉可得两杯剩余的溶液之比=（30-20）：（20-15）=2:1=500:250，所以第一杯最初有500+50=550g，选A （4）某科室有甲、乙、丙、丁、戊五人，计划分别到A、B、C、D、E五个片区进行入户调查，每个片区安排一人。若甲不去A片区，乙不去B片区，丙不去C片区，丁只去D片区，则有多少种不同的安排方法：【粉笔模考】 A.11 B.9 C.44 D.108 楚香凝解析：丁固定去D区；对戊分类，若戊不去E区，相当于四个元素错位重排、有9种；若戊去E区，相当于三个元素错位重排、有2种；共9+2=11种，选A （5）张健、李康、王强三人在10月份分别有19天、16天、12天去餐厅吃饭。其中有6天三人都去餐厅吃饭，有9天三人中只有两人去餐厅吃饭。则整个10月有多少天三人都没去餐厅吃饭：【粉笔模考】 A.4 B.5 C.7 D.8
全错位排列
全错位排列与多个特殊元素特殊位置 （C ．T ） T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数) 错位排列问题 题一 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种. 题二 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法. 这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题（所有元素均为特殊元素）. 题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不 同的坐法有 种. 题三可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置. 对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题； 对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题， 我们称这种排列问题为部分错位排列问题. (多个特殊元素，多个特殊位置) 部分错位排列(多个特殊元素，多个特殊位置) 例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，共有多少种不同的站法。 解一：（特殊元素特殊位置优先处理）第一步：安排甲这特殊元素，有14C 种； 第二步：安排其他人，其余的四个人（元素），不受限制，故有44A 种站法。由分步乘法原理 得14C 44A =96种站法。 解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种） 这样得到共有：55A －44A ＝96种。 例2：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 解一：（特殊元素特殊位置优先处理） 分析：有两个特殊元素，分类讨论，减少限制条件。 第一类：甲站在第二位，则其他的四人（含乙），不受限制，有44A 种站法。 第二类：第一步安排特殊元素甲，甲不站在第二位，则甲也不能站在第一位，故甲的站法有 13C 种；第二步安排乙，乙不站第二位，也不能选择甲以经站的一个位置，故乙的站法有13C 种； 第三步安排其他人，其余的三个人（元素），不受限制，故有33A 种站法。由分步乘法原理得 13C 13C 33A 种站法。 由分类加法原理得44A +13C 13C 33A =78种。
错位重排专题
错位重排问题专项 错位重排 1-6个元素的错位重排数分别为0，1，2，9，44，265递推公式：Dm=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]； 错位重排模型：把编号为1-m的小球分别放入编号为1-n的箱子错位重排（即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子…m号球不在m号箱子），且每个箱子一个球，有多少种不同情况？ 楚香凝证明：假设总情况数为D（m）种，如果让1号球先选，有（m-1）种选择；假设1号球选的2号箱子，接下来让2号球选箱子，进行分类讨论： ①如果2号球选的1号箱子，相当于剩下的（m-2）个球进行错位重排，有D（m-2）种； ②如果2号球选的不是1号箱子，则题目可转化为把编号为2→m的小球分别放入编号为 1、3→m的箱子错位重排（即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子…m号球不在m号箱子），相当于m-1个球错位重排，有D（m-1）种； 所以可得D（m）=（m-1）*[D（m-1）+D（m-2）]，得证； 例1：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？【北京2014】 A.9 B.12 C.14 D.16 楚香凝解析： 解法一：四种元素错位重排有9种，选A 解法二：ABCD四辆车分别停放在一二三四号位置，A先选有三种情况，假设A选了二号，那么B再选、有三种选择，剩下C和D都只有一种选择，共3*3=9种，选A 例2：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9 楚香凝解析：先选出停的正确的那辆车C（4 1）=4种，剩下三辆车错位重排有2种，共4*2=8种，选C 例3：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有两辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9 楚香凝解析：先选出停的正确的两辆车C（4 2）=6种，剩下两辆车错位重排有1种，共6*1=6种，选B
听说“9”和“44”与错位排列更配哦-全错位排列问题
听说“9”和“44”与错位排列更配哦-全错位排列问题亲，如果我说记住两个数字就能搞定数量关系中的一类难题，你信吗? 先不用忙着回答! 或许你将信将疑，但等你看完此文，你一定能找到足够的理由让自己相信。 一、问题导入 【引例1】唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚4人在某公司不同岗位任职，现在需要调换岗位，要求每个人都不能在自己原来的岗位，则共有种不同的安排方法。 【引例2】有4名同学各写了一张贺卡，先全部收集起来，然后每人从中拿出一张贺卡，要求每个人都不拿自己的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种。 【引例3】将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是说4个全部放错)，则共有种不同的放法。 不难发现，以上三个引例都是同一类问题，答案是多少呢?下面用枚举法给大家答案：假设原来顺序：A、B、C、D 枚举的时候注意按照一定规律进行，如果看成1、2、3、4号位置，那么第一步A可以放2、3、4号位置中的任意一个，第二步把B的位置确定，第三步确定C和D的位置：第1种错位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第2种错位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一确定了); 第3种错位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一确定了); 第4种错位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第5种错位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2); 第6种错位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1); 第7种错位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第8种错位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2); 第9种错位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。 可见，4个元素的错位排列一共有9种。即以上三道引例的答案都是9种。 那么，问题来了：图图老湿，我不想一个一个的枚举，眼睛都看花了，肿么办?而且如果下次不是4个元素了呢?答案又肿么办? 请耐心看下文。提前声明一下：接下来这一段需要一定的数学知识，如果觉得自己数学还不错的话可以详细逐字阅读;如果说NO，也没关系嗒，只需你记住最后结论即可哦! 二、理论推导
排列组合二十种解法(最全排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方 法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法
公务员考试粉笔国考模考第十二季数量关系解析
【1】某班50名学生在体育课上玩游戏。所有学生按顺序分别用数字1-50编号。编号为1-25的学生站第一排，编号为26-50的学生与第一排面对面站第二排。现老师从1开始从小到大叫数字，凡是编号为所叫数字倍数的学生统一向后转。在老师叫完所有数字后，仍然是互相面对面站着的有几人？（） A.25 B.32 C.36 D.43 解析：此题考查约数个数性质，编号的约数个数为奇数个，则最后为背向，可知只有平方数的约数个数为平方数。因此1、4、9、16、25、36、49号学生为背向。因此这7组=14位学生不会面对面，其余36人面对面。 【2】某商场在周年活动之际举行扔飞镖活动。将一个圆盘分为5块面积相等的扇形区域，每个区域对应分值为1至5分。每位顾客有3次扔飞镖的机会，若三次扔出的积分都相同或相连（相连可乱序）则视为中奖。每位顾客中奖的概率在以下哪个范围内？（）（假设无脱靶情况） 小于25% B.25%-50% C.50%-75% D.大于75% 解析：一共有5×5×5种积分组合。三次积分相同有5种，三次积分相连（1,2,3）、（2,3,4）、（3,4,5），有3×A3,3=18种。因此每位顾客的中奖概率为23/125<1/5 。 【3】有编号为1、2、3、4、5、6、7的7个瓶子装有7种不同的药水，他们按顺序放在实验室的A、B、C、D、E、F、G七个柜子里，现在有一学生取出这7种药水实验，完后又放回柜子，恰好只有3个药瓶放回了对应的柜子里，那么有多少种放法？（） A.35 B.70 C.140 D.315 解析：此题为错位重排，D4=9，秒杀9倍数D选项。 【4】现有4个质数，其中最大的三个质数乘积比最小的三个质数乘积多525，且最小的三个质数乘积与最大的三个质数乘积之和为665。则这4个质数之和为多少？（） A.31 B.35 C.42 D.46 解析：四个质数A 2013国家公务员考试行测暑期向前冲数学运算：排列组合与 概率问题重难点讲解 排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题常用以下三种策略解题： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥（互不相容）；②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立（不相互影响）；②步与步之间保持连续性。 3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。问有多少种选法？ A．120 B．600 C．1440 D．42000 中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题（参加五个不同的竞赛），又涉及组合问题（从12名学生中选出5名），应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 2.条件概率 在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。 P（AB）为AB同时发生的概率，P（B）为事件B单独发生的概率。 【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？ 四、排列组合问题特殊解法 排列组合问题用到的方法比较特殊，缘于这些方法都是在对问题进行变形，把不容易理解的问题转化为简单的排列组合问题。 1.捆绑法 排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。 【例题4】某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共（）种。 A.30 B.120 C.2520 D.30240 全装错信问题即全错位排列问题及拓展 ——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是—— 我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？ 看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。 〖解法〗 容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6; 依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有 a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。 为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。 不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释： 思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况： 第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图： 第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图： 以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3) 我们还可以这样思考： 思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐， 方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位； 排列组合中的基本解题方法之错位重排法 一、基础理论 错位重排法主要是排列组合中的公式法解题，所以大家先要了解什么是错位重排法和对应的公式是什么? (1)什么是错位重排。 如图1：A、B、C、D、E是五个人，①②③④⑤是五个座位。如下图所示就是对号入座。 如图2：五个人全都不去自己的位置，只能去别人的位置，即全部错位。 所以这里所说的错位重排即全部错位。 (2)错位重排的公式是什么? 这个图的意思是：如果只有1个人A，只有1个座位，而这个人还不去自己的位置上去，那么有0种排列方法。如果有两个人A、B，只有2个座位，而这两个人都不能去做自己的位置，那么只能交换位置，即1种排列方法。如果有三个人A、B、C，有三个位置每个人都不去自己的位置，那么只能A去2，B去3，C去①或A去③，B去①，C去②2种排列方法。那么如果是A、B、C、D四个人错位呢那么共有9种排法，如果五个人错位，共44种排法，如果六个人错位，共265种方法。 错位重排数字：0,1,2,9,44,265，… 注：一般国考和地方性公务员考试，只考到前五个错位重排，所以大家在记得时候只要记住前五个基本就可以了。 二、真题精析 例1、将袋子中的四个红球排成一排，若要求1号球不在第一个位置，2号球不在第二个位置，3号球不在第三个位置，4号球不在第四个位置，问有()种排列方法 A.6 B.9 C.32 D.44 【分析】题干中的四个红球，就类似的是4个人，每个人都不去自己对应的位置，所以完全符合错位重排公式。 【解析】4个错位重排。所以答案对应公式里面的9。答案为B项 例2、四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那到菜。问共有几种不同的尝法? A.6种 B.9种 C.12种 D.15种 【答案】B 【解析】此题为错位重排，根据错位重排公式可知，有9种尝法。 小结：满足错位重排公式直接应用公式法解题。 三、错位重排法的综合运用 例3、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种? A.6 B.10 C.12 D.20 【答案】D 【分析】此题也是错位重排但不是全部错位，我们可以部分应用错位重排来进行解题。 【解析】分步进行：第一步，选出三个瓶子，这三个瓶子恰好贴错了，有C(5,3)=10种;第二步，这三个瓶子满足错位重排，所以对应的公式数据应该是2。最后根据乘法原理，共有10×2=20种。 小结：所以错位重排公式的解题关键是能否准确的找到需要错位重排的数据。 错位重排问题又称伯努利-欧拉错装信封问题，是组合数学史上的一个著名问题。此问题的模型为： 编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法? 对这类问题有个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn,则D1=0，D2=1， Dn=(n-1)( Dn-1+ Dn-2)。这样，就能根据这个递推公式推出所有数的错位重排，解题时又快又准 1.张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个节目，有多少种安排方法？ A,20 B.12 C,6 D,4 2. 某单位今年新近3个工作人员，可以分配到3个部门，但是每个部门之多只能接收2个人，问有几种不同分配方案 A.18 B.20 C.24 D28 3.班委改选，由8人竞选班长、学习委员、生活委员、文娱委员和体育委员五种职务。最后每种职务都有一个人担当，则共有多少种结果?( ) A．120 B．40320 C．840 D．6720 4. 乒乓球比赛共有14名选手参加，先分成两组参加单循环比赛，每组7人，然后根据积分由两组的前三名再进行单循环比赛，决出冠亚军，请问共需要多少场？ A.54 B.56 C.57 D.60 5. 林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法? ( ) A. 4 B. 24 C. 72 D. 144 6.从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法 A.240 B.310 C.720 D.1080 7.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( ) A280种B240种C180种 D96种 8.五人排队甲在乙前面的排法有几种? A.60 B.120 C.150 D.180 9.若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法? 句子排序方法及习题附答案 怎样排列顺序错乱的句子 把排列错乱的句子整理成一段通顺连贯的话，能训练对句子的理解能力、有条理表达能力和构段能力。这样的练习一般可按五步进行。 第一步，仔细阅读每句话或每组句子，理解它们的主要内容；第二步，综合各句的意思，想想这些话主要说的是什么内容；第三步，想想全段的内容按什么顺序排列好，即找出排列顺序的依据，如，是按事情发展顺序，还是时间顺序，或方位，还是“总分”等；第四步，按确定的排列依据排列顺序；第五步，按排好的顺序仔细读两遍，看排得对不对，如发现有的句子排得位置不对，就进行调整，直到这段话排得通顺连贯为止。把错乱的句子排列好，这是小学阶段语文练习中的一个重要形式，必须好好掌握。学会排列句子，不仅能提高我们的思维能力，还能提高我们的写作能力。那么，如何学会排列好句子呢？我们可以按下列方法进行。 一、按事情发展的顺序排列 有些错乱的句子，我们在排列时，应仔细分析句与句之间的联系。常见的错乱句子，往往叙述了一件完整的事，或者活动的具体过程。那么，我们就可以按事情发展的顺序来排列。 二、按时间先后顺序排列 对一些错乱的句子，我们可以找出表示时间概念的词语，如，早晨、上午、中午、下午等词，然后按时间先后顺序进行排列句子。 三、按先总述后分述的顺序排列 根据这段话的特点，找出这句话是个中心句，其他句子都是围绕着这句话来说的。显而易见，我们可按先总后分的顺序来排列句子。 四、按空间推移的顺序排列 所谓空间推移，就是由地点的转移，表达出不同的内容。排列时，要十分注意，不要与其他的方法相混淆。 对练习排列句子有帮助 把错乱的句子排列好，这是小学阶段语文练习中的一个重要形式，必须好好掌握。学会排列句子，不仅能提高我们的思维能力，还能提高我们的写作能力。那么，如何学会排列好句子呢？我们可以按下列方法进行。 一、按事情发展的顺序排列 有些错乱的句子，我们在排列时，应仔细分析句与句之间的联系。常见的错乱句子，往往 排列组合常用策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 练习题： １.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种 2014年全国硕士研究生入学统一考试 管理类专业学位联考综合能力试题 一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1.【答案】E.2。解析：方法一：奖品均价为280元，则26个奖项共728028026=?元，设一等奖个数为x ，其他奖品个数为y ，根据已知条件，建立等量关系，则有 ???=+=+728027040026y x y x ，解得???==24 2y x ，则一等奖的个数有2个，故答案为E 。 方法二：十字交叉法。一等奖与其他奖的个数之比为1:12，由于共有26个奖品，所以一等奖有2个。 2.【答案】B.7。解析：设甲公司每周工时费为x 万元，乙公司每周工时费为y 万元，根据已知条件，建立等量关系；则 ???=+=+96 1861001010y x y x ，解得???==37y x ，则甲公司每周工时费为7万元，故答案为B 。 3.【答案】B.12。解析：如图所示，利用等底同高的三角形面积相等，C 为BF 的中点可知△ACF 面积与△ABC 相等都为2，再根据AE =3AB ，可知BE =2AB ，即△BFE 为△ABF 的2倍，△ABF 的面积为4，因此△BFE 的面积为8，所以△AEF 面积为12，选B 。 4.【答案】B.3升。解析：不妨假设该容器的容积为x ，则容易知道第一次倒出1升，则剩余的溶质为()%901?-x ，则再加入1升水后，溶液浓度为 ()x x %901?-，再倒出1升剩余的溶质为()()x x x % 9011?-?-，再加入1升水后溶液的浓度为 ()()x x x x ÷?-?-%9011，根据题意，则有()%40%9012 2=?-x x ，解得x =3，选B 。 排列组合问题之全错位排列问题 （一个通项公式和两个递推关系） 一、问题引入： 问题1、4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有多少种？ 问题2、将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有多少种不同的放法？ 这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。 问题3、五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有多少种？ 解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置。 对于第一类，就是全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题。 设n 个元素全错位排列的排列数为n T ，则对于问题3，第一类全错位排列的排列数为 5T ；第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第 二类的排列数为45T ；第三类先确定两个排原位的同学，有2 510C =种可能，其余三个同学 全错位排列，所以第三类的排列数为310T ，因此问题3的答案为：543510109T T T ++=。 由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方法。 二、全错位排列数的递推关系式之一： ()()121n n n T n T T --=-+ ()3n ≥ ①定义：一般地，设n 个编号为1、2、3、… 、i 、…、j 、…、n 的不同元素1a 、 2a 、3a 、…、i a 、…、j a 、…、n a ，排成一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位 置，这样的全错位排列数为n T ，则 21T =；32T =；()()121n n n T n T T --=-+，()3n ≥。 ②递推关系的确立： 显然当1n =、2时，有10T =，21T =。 当3n ≥时，在n 个不同元素中任取一个元素i a 不排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下1n -个位置之一，所以i a 有1n -种排法。 对i a 每一种排法，如i a 排在j 位，对应j 位的元素j a 的排位总有两种情况： 第一种情况：j a 恰好排在i 位上。此时，i a 排在j 位，j a 排在i 位，元素i a ，j a 排位已定。还剩2n -个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为2n - 个元素全错位排列数，应有2n T -种。 第二种情况：j a 不排在i 位上。此时，i a 仍排在j 位，j a 不排在i 位，则j a 有1n -个位置可排。除i a 外，还有1n -个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为1n -n 个元素全错位排列数，应有1n T -种。 由乘法原理和加法原理可得：()()121n n n T n T T --=-+，()3n ≥。 利用此递推关系可以分别算出49T =，544T =。 排列组合错位重排 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 排列组合-错位重排 题型概述： 错位重排作为排列组合的一种模型，原理很复杂，但是应用上面很简答。 那我们就通过几个例题来学习下这种题型。 题型要点： 错位题型最直接的就是记住公式：一个元素错位重排的时候情况为0（因 为只有一个，不可能排错），两个元素错位重排情况为1，三个为2，四个为 9，五个为44，…………。从0,1,2,9,44可以看出后面的数为前面两数和的倍数， 那我们后面的情况也就不难推导出来。D n=（n-1）（D n-2+D n-1），（D1=0， D2=1，D3=2）。 如果从排列组合的角度展开，我们分别看下： 三个错排：三个全排列?三个序排?一个序排=A33?1?C31=2 四个错排：四个全排列?四个序排?两个序排?一个序排= 四个全排列?四个序排?两个错排?三个错排=A44?1?C42×1?C41×2=9 五个错排：五个全排列?五个序排?三个序排?两个序排?一个序排= 五个全排列?五个序排?两个错排?三个错排?四个错排= A55?1?C52×1?C52×2?C54×9=44………… ………… ………… 例题： 1.四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做 的那道菜，问共有几种不同的尝法（11年浙江） 种种种种 2.五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，则贴错的可能情况有多少种（07年北 京） 3.要把A、B、C、D四包不同的商品放到货架上，但是，A不能放在第一层，B不能放在 第二层，C不能放在第三层，D不能放在第四层，那么，不同的放法共有（）种。 （09年云南） 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法 一、问题导入 【引例1】唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚4人在某公司不同岗位任职，现在需要调换岗位，要求每个人都不能在自己原来的岗位，则共有种不同的安排方法。 【引例2】有4名同学各写了一张贺卡，先全部收集起来，然后每人从中拿出一张贺卡，要求每个人都不拿自己的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种。 【引例3】将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是说4个全部放错)，则共有种不同的放法。 不难发现，以上三个引例都是同一类问题，答案是多少呢下面用枚举法给大家答案：假设原来顺序：A、B、C、D 枚举的时候注意按照一定规律进行，如果看成1、2、3、4号位置，那么第一步A可以放2、3、4号位置中的任意一个，第二步把B的位置确定，第三步确定C和D的位置：第1种错位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第2种错位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一确定了); 第3种错位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一确定了); 第4种错位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第5种错位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2); 第6种错位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1); 第7种错位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第8种错位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2); 第9种错位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。 可见，4个元素的错位排列一共有9种。即以上三道引例的答案都是9种。 二、理论推导 其实，上面引例涉及的三个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把带这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。 它是一个非常古老的数学问题，贝努利、欧拉等数学家都曾经研究过。这类问题虽然有难度，但我们解题是有快速破解的“窍门”的。且看下面详细解读： 我们将n个元素的全错位排列数记做Dn。 由于1个元素没有错位排列，因此D1=0。 2个元素时可以相互交换一下位置，即有1种错位排列，则D2=1。 当n≥3时，在n个不同元素中任取一个元素ai不排在与其编号相对应的i位，必排在剩下n-1个位置之一，所以ai有n-1种排法。 即第一步排ai，有n-1种。 第二步：排ai所占位置对应的元素。公务员考试排列组合与概率问题重难点讲解
全装错信问题即全错位排列问题及拓展
附录一：排列组合中的基本解题方法之错位重排法(1)
行测排列组合习题
句子排序方法及习题附问题详解
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
2014年MBA真题解析
7、排列组合问题之全错位排列问题(一个通项公式和两个递推关系)
排列组合错位重排
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
全错位排列