人教中考数学平行四边形(大题培优易错试卷)附详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．问题发现：

（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．

问题探究：

（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．

问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点

(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ．

【解析】

试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．

（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．

（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．

试题解析：（1）作图如下：

（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，

∴设:6PO y kx =+'，

67{43k b k b +=+=，2{5

k b ==-， ∴25y x =-，

交x 轴于5,02N ?? ???

， 交BC 于11,62M ?? ???， 2

211563522MN ??=+-= ???．

（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．

∵(1052,102)P --在直线y x =上，

∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，

设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，

82{28k b k +=+=，1{10

k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，

联立10{y x y x =-+=，得55x y =??=?

， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．

2．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是；

结论2：DM、MN的位置关系是；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出

MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF

是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，

AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又

∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的

中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．

3．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°

问题探究：

（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．

（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．

问题解决：

（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

【答案】(1)、5；(2)、62

2

+

；(3)、

321

2

++

.

【解析】

【分析】

试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=22

OC CD

+计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据

OC=22

OE CE

+计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．

【详解】

试题解析：(1)、如图1中，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，

∴OD=2222

215

OC CD

+=+=

(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．

∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四边形BECF是矩形，∴BF=CF=1

2，

3

在Rt△OCE中，

22

22

31

1

22

OE CE

????

+=++

? ?

???

??

62

+

(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．

∵FD=FE=DE=1，OF ⊥DE ， ∴DH=HE ，OD=OE ，∠DOH=12∠DOE=22.5°， ∵OM=DM ， ∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=

12， ∴DM=OM=22， ∵FH=223DF DH -=

， ∴OF=OM+MH+FH=2132++=321++． ∴OF 的最大值为321++． 考点：四边形综合题．

4．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．

（1）证明：BE=CF ．

（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

【答案】(1)见解析；（2）33）见解析

【解析】

试题分析：（1）先求证AB=AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB 进而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE=CF ；

（2）根据△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ，故根据S 四边形

AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC 即可解题；

（3）当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又根据S △CEF =S 四边形AECF -S △AEF ，则△CEF 的面积就会最大.

试题解析：（1）证明：连接AC，

∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠ADC=60°

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC、△ACD为等边三角形

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF．（ASA）

∴BE=CF．

（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE=S△ACF．

故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，

是定值．

作AH⊥BC于H点，

则BH=2，

S四边形AECF=S△ABC

=

=

=；

（3）解：由“垂线段最短”可知，

当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF

=﹣=．

点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，

40），直线AB：y＝1

3

x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作

EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．

（1）求边EF的长；

（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．

①当点F1移动到点B时，求t的值；

②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．

【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；

【解析】

【分析】

（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-4

3

x+40，可

求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；

（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；

②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE

上时，在Rt△F'NF中，NF

NF'

=

1

3

，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，

4

3

MH

EM

'

=，

t=4，S=1

2

×(12+

45

4

)×11=

1023

8

；当点

G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，

PK

F K'

=

1

3

，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，

PK

KG'

＝

3

1539

t

t

-

-+

＝

4

3

，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】

（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，

将点E（30，0），点D（0，40），

∴

300

40

k b

b

+=

?

?

=

?

，

∴

4

3

40

k

b

?

=-

?

?

?=

?

，

∴y＝﹣4

3

x+40，

直线AB与直线DE的交点P（21，12），

由题意知F（30，15），

∴EF＝15；

（2）①易求B（0，5），

∴BF＝1010，

∴当点F1移动到点B时，t＝101010

÷＝10；

②当点H运动到直线DE上时，

F点移动到F'10，

在Rt△F'NF中，

NF

NF'

=

1

3

，

∴FN＝t，F'N＝3t，

∵MH'＝FN＝t，

EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，

在Rt△DMH'中，

4

3

MH

EM

'

=，

∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，

∴S ＝

1451023(12)11248

?+?=； 当点G 运动到直线DE 上时，

F 点移动到F'的距离是10t ，

∵PF ＝310，

∴PF'＝10t ﹣310，

在Rt △F'PK 中，

13

PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，

在Rt △PKG'中，

PK KG '＝31539t t --+＝43

， ∴t ＝7，

∴S ＝15×（15﹣7）＝120.

【点睛】

本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．

6．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．

（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；

（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；

（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．

【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ???，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ???，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ?中，12

OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．

【详解】

（1）OE =OF ．理由如下：

如图1．

∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．

∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=?．

∵在AOE ?和COF ?中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠??∠=∠??=?

，∴()AOE COF AAS ???，∴ OE =OF ；

（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：

延长EO 交CF 于点G ．

∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．

又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．

在AOE ?和COG ?中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠??=??∠=?

，∴()AOE COG ASA ???，∴ OG =OE ，

∴Rt EFG ?中，12

OF EG =

，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．

∵30OEF ∠=?，90EFG ∠=?，∴60OGF ∠=?，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ?是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ???，∴ CG =AE ．

又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；

②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．

∵30OEF ∠=?，90EFG ∠=?，∴60OGF ∠=?，同理可得：OGF ?是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ???，∴ CG =AE ．

又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．

7．如图，在正方形ABCD 中，点E 在CD 上，AF ⊥AE 交CB 的延长线于F ．

求证：AE=AF ．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE ，再利用正方形的性质可得AB=AD ，

∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA 判定△ABF ≌△ADE ，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE ．

【详解】

∵AF ⊥AE ，

∴∠BAF+∠BAE=90°，

又∵∠DAE+∠BAE=90°，

∴∠BAF=∠DAE ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB=AD ，∠ABF=∠ADE=90°，

在△ABF 和△ADE 中，

，

∴△ABF ≌△ADE （ASA ），

∴AF=AE ．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．

8．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．

（1）求证：图1中的PBC是正三角形：

（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求证：IH=IJ

②请求出NJ的长；

（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3

【解析】

分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由

Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、3，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）证明：①如图

∵矩形AHIJ

∴∠H=∠J=90°

∵△MNJ 是等边三角形

∴MI=NI

在Rt △MHI 和Rt △JNI 中

MI NI MH NJ =??=?

∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ）

∴HI=IJ

②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ

∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，

∴∠HIM=∠JIN ，

∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，

∴∠HIM=∠JIN=15°，

由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°，

∴∠NQJ=30°，

设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，QJ=22=3QN NJ -x ，

∵IJ=6cm ，

∴2x+3x=6，

∴x=12-63，即NJ=12-63（cm ）．

（3）分三种情况：

①如图：

设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6，

则

tan60°=

3=

2

a

b

，

∴a=3

2

b

，

∴0＜b≤63

2

=33；

②如图

当DF与DC重合时，DF=DE=6，

∴a=sin60°×DE=63

2

=33，

当DE与DA重合时，a=

6

43

sin603

==

?，

∴33＜a＜43；

③如图

∵△DEF是等边三角形

∴∠FDC=30°

∴DF=

6

43

cos303

==

?

∴a＞3

点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．

9．如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n“，其它条件不变，请你猜想：当∠A n﹣2MN=_____°时，结论A n﹣2M=MN仍然成立．（不要求证明）

【答案】

0 (2)180 n

n

【解析】

分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．

（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．

详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．

在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，

BE=AB-AE=BC-MC=BM，

∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分线上一点，

∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（2）解：结论成立；

理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB-AE=BC-MC=BM，

∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分线上一点，

∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN（ASA），

∴AM=MN．

（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；

即∠A n-2MN=()0

2180

n

n

-

时，结论A n-2M=MN仍然成立；

故答案为[()0

2180

n

n

-

]．

点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．

10．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．

（1）求证：△ABM≌△CDN；

（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析；【解析】

试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；

（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC．

∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在

Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN．

（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．

∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形．

考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．