3第三章 飞机的稳定性和操纵性上课讲义

3第三章 飞机的稳定性和操纵性上课讲义
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第三章飞机的稳定性和操纵性

3.1 飞机的稳定性

在飞行中,飞机会经常受到各种各样的扰动,如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态,而在偏离以后,飞机能否自动恢复原状,这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。

飞机的稳定性是飞机本身的一种特性,与飞机的操纵性有密切的关系。例如,飞行员操纵杆、舵,需要用力的大小,飞机对杆、舵操纵的反应等,都与飞机的稳定性有关。因此,研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。

所谓飞机的稳定性,就是在飞行中,当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态,并在扰动消失以后,不经驾驶员操纵,飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。

3.1.1 纵向稳定性

飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。

当飞机处于平衡飞行状态时,如果有一个小的外力干扰,使它的攻角变大或变小,飞机抬头或低头,绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。当外力消除后,驾驶员如果不操纵飞机,而靠飞机本身产生一个力矩,使它恢复到原来的平衡飞行状态,我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态,就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复,也不远离,总是上下摇摆,就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。

飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面,我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。

当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时,如果一阵风从下吹向机头,使飞机机翼的攻角增大,飞机抬头。阵风消失后,由于惯性的作用,飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大,从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下,使机头下沉。经过短时间的上下摇摆,飞机就可恢复到原来的飞行状态。

同样,如果阵风从上吹向机头,使机头下沉,飞机攻角减小,水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩,使飞机抬头,经过短时间的上下摇摆,也可使飞机恢复到原来的飞行状态。

除水平尾翼外,飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机,其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是:重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机,当飞机受扰动而增大攻角时,机翼产生的附加升力是使机头上仰,攻角进一步增大,形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力,使机头下俯,攻角减小,保证飞机的纵向稳定性。

3.1.2 方向稳定性

飞机的方向稳定性是指飞机绕立轴的稳定性。

飞机的方向稳定力矩是在侧滑中产生的。所谓侧滑是指飞机的对称面与相对气流方向不一致的飞行。它是一种既向前、又向侧方的运动。

飞机带有侧滑时,空气则从飞机侧方吹来。这时,相对气流方向与飞机对称面之间的夹角称为“侧滑角”,也称“偏航角”。

对飞机方向稳定性影响最大的是垂直尾翼。另外,飞机机身的侧面迎风面积也起相当大的作用。其它如机翼的后掠角、发动机短舱等也有一定的影响。

当飞机稳定飞行时,不存在偏航角,处于平衡状态。如果有一阵风突然吹来,使机头向右偏(此时,相对气流从左前方吹来,称为左侧滑),便有了偏航角。阵风消除后,由于惯性作用,飞机仍然保持原来的方向,向前冲一段路程。这时相对风吹到偏斜的垂直尾翼上,产生了一个向右的附加力。这个力便绕飞机重心产生了一个向左的恢复力矩,使机头向左偏转。经过一阵短时间的摇摆,消除掉偏航角,飞机恢复到原来的平衡飞行状态。

同样,当飞机出现右侧滑时,就形成使飞机向右偏转的方向稳定力矩。可见,只要有侧滑,飞机就会产生方向稳定力矩。而方向稳定力矩总是要使飞机消除偏航角。

3.1.3 侧向稳定性

飞机的侧向稳定性是指飞机绕纵轴的稳定性。

处于稳定飞行状态下的飞机,如果有一个小的外力干扰,使机翼一边高一边低,飞机绕纵轴发生倾侧。当外力取消后,飞机靠本身产生一个恢复力矩,自动恢复到原来飞行状态,而不靠驾驶员的帮助,这架飞机就是侧向稳定的,否则就是侧向不稳定。

保证飞机侧向稳定性的因素主要有机翼的上反角和后掠角。

我们先来看上反角的侧向稳定作用。当飞机稳定飞行时,如果有一阵风吹到飞机左翼上,使左翼抬起,右翼下沉,飞机绕纵轴发生倾侧。这时飞机的升力Y也随着倾侧。而升力原来是同飞机重力G同处于一根直线上而且彼此相等的。Y倾侧后与重力G构成一个合力R,使飞机沿着合力的方向向右下方滑过去,这种飞行动作就是“侧滑”(如图3-1所示)。

飞机侧滑后,相对气流从与侧滑相反的方向吹来。吹到机翼上以后,由于机翼上反角的作用,相对风速与下沉的那只机翼(这里是右翼)之间所形成的攻角α1,要大于上扬的那只机翼的攻角α2。因此,前者上产生的升力Y1也大于后者的升力Y2。这两个升力之差,对飞机重心产生了一个恢复力矩M,经过短瞬时间的左右倾侧摇摆,就会使飞机恢复到原来的飞行状态。上反角越大,飞机的侧向稳定性就越好。相反,下反角则起侧向不稳定的作用。

现代飞机机翼的上反角大约在正7度到负10度之间。负上反角就是下反角。

现在再来看机翼的后掠角是怎样起侧向稳定作用的。

如图3-2(a)所示,一架后掠角机翼(无上反角)的飞机原来处于稳定飞行状态。当阵风从下向上吹到左机翼上的时候,破坏了稳定飞行,飞机左机翼上扬,右机翼下沉,机翼侧倾,升力Y也随着侧倾而与飞机重力G构成合力R。飞机便沿着R所指的方向发生侧滑。

阵风消除后,飞机沿侧滑方向飞行(如图3-2(b))。这时沿侧滑方向吹来的相对气流,吹到两边机翼上。由于后掠角而产生不同的效果。作用到两边机翼上的相对风速v虽然相同,但由于后掠角的存在,作用到前面的机翼(这里是右翼)的垂直分速v1,大于作用到落后的那只机翼上的垂直分速v3。而这两个分速是产生升力的有效速度。另外两个平行于机翼前缘的分速v2和v4对于产生升力不起什么作用,可不加考虑。

既然v1大于v3,所以下沉的那只机翼上的升力Y1要大于上扬的机翼上的升力Y2。二者之差构成恢复力矩M。它正好使机翼向原来的位置转过去。这样经过短瞬时间的摇摆,飞机最后便恢复到原来的稳定飞行状态。

机翼的后掠角越大,恢复力矩也越大,侧向稳定的作用也就越强。如果后掠角太大,就可能导致侧向过分稳定。因而采用下反角就成为必要的了。

保证飞机的侧向稳定作用,除了机翼上反角和后掠角两项重要因素外,还有机翼和机身的相对位置。上单翼起侧向稳定作用,而下单翼则起侧向不稳定的作用。

此外,飞机的展弦比和垂直尾翼对侧向稳定性也有一定的影响。

飞机的侧向稳定性和方向稳定性,是紧密联系并互为影响的。二者合起来称为飞机

图3-1 机翼上反角对飞机侧向稳定性的影响

v1—阵风速度;v2—侧滑速度;v3—由侧滑引起的相对风速;

M—恢复力矩;O—飞机重心; —上反角

的“横侧稳定”。二者必须适当地配合,过分稳定和过分不稳定都对飞行不利。同时二者配合得不好,如果方向稳定性远远地超过侧向稳定性,或者相反,都会使得横侧稳定性不好,甚至使飞机陷入不利的飞行状态。

图3-2 机翼后掠角对飞机侧向稳定性的影响

v a—阵风;v b—侧滑速度;v c—相对风速;M—恢复力矩

3.2 飞机的操纵性

飞机的操纵性是指飞机在飞行员操纵的情况下,改变其飞行姿态的特性。

飞机在空中的操纵是通过三个操纵面——升降舵、方向舵和副翼来进行的。转动这三个操纵面,在气流的作用下,就会对飞机产生操纵力矩,使其绕横轴、立轴和纵轴转动,从而改变飞机的飞行姿态。

3.2.1 飞机的纵向操纵

飞机的纵向操纵是指控制飞机绕横轴的俯仰运动。它是通过向前或向后推拉驾驶杆,使升降舵向下或向上偏转,来实现飞机纵向操纵的目的。

现代飞机升降舵的偏转角度大约在正15度到负30度之间(升降舵向下偏转时的角度规定为正值)。大型运输机的偏转角要小些。一般在正15度到负20度之间。

3.2.2 飞机的方向操纵

飞机的方向操纵是指飞机绕立轴的偏航运动。驾驶员通过操纵脚蹬来进行飞机的方向操纵。驾驶员踩左脚蹬,方向舵向左偏转,飞机便向左方转过去;驾驶员踩右脚蹬,方向舵向右偏转,飞机便右转。要使飞机向左转,他只须踩动左脚蹬就行了。飞机方向

舵一般可以向左或向右偏转30度。

3.2.3 飞机的侧向操纵

飞机的侧向操纵是指飞机绕纵轴的滚转运动。驾驶员通过向左或向右操纵驾驶杆(盘)来进行飞机的侧向操纵。

飞机的侧向操纵与纵向或方向操纵有一点不同,即副翼有两片,并且转动方向是相反的。一片副翼向上偏转;另一片副翼则向下偏转。由此产生的附加力,对飞机重心O 产生一个滚转力矩M,便可使飞机绕纵轴倾侧。

当飞机处于平衡飞行状态时,作用在飞机上的外力和外力矩都是互相平衡的。如果驾驶员要使飞机向左倾侧,他可把驾驶杆向左摆动(如图3-3(a)所示),这时右边的副翼向下偏转(如图3-3(b)所示),左边的副翼向上偏转(如图3-3(c)所示)。向下偏的右副翼与相对气流之间的夹角(攻角)α1增大,所以右机翼上的升力Y1也增大;而向上偏转的左副翼与相对气流之间的夹角(攻角)α2减小,所以左机翼上的升力Y2也减小。于是,升力Y1和Y2之差,对飞机重心构成了一个滚转力矩,使飞机向左倾侧。

如果驾驶员向左摆动驾驶杆,就会产生相反的结果,使飞机向右倾侧。

现代飞机的副翼向上偏转约为20度到25度(规定为负值),向下偏转约为10度到15度(规定为正值)。

图3-3 飞机的侧向操纵

1—驾驶杆;2—右副翼;3—左副翼;M—滚转力矩;

O—飞机重心;v—相对风速;δ—副翼偏转角

综上所述,在空气动力作用的原理方面,飞机各个方向的操纵基本是相同的,都是改变舵面上的空气动力,产生附加力矩,从而达到改变飞机飞行状态的目的。

飞机的侧向操纵和方向操纵,是有密切联系的。要使飞机转弯,不但要操纵方向舵,

改变飞机的方向;还要操纵副翼使飞机向转弯的一侧倾斜,二者密切配合,才能把转弯的动作做好。

3.3副翼差动

3.3.1 副翼反效

“副翼反效”又称为“副翼反逆”、“副翼反操纵”。飞机高速飞行时由于气动载荷而引起的机翼扭转弹性变形,使得偏转副翼时所引起的总滚转力矩与预期方向相反的现象。

在正常情况下,当驾驶员向右压驾驶杆时,左副翼向下偏转而使左机翼升力增加,右副翼向上偏转而使右机翼升力降低,从而对飞机重心产生一个向右的滚转力矩,飞机向右倾侧,这是和驾驶员的自然动作相一致的。由于副翼一般装在机翼的外侧后缘,机翼的这部分结构比较薄弱,刚度较小。当副翼向下偏转时,机翼后缘升力增大,将使机翼产生前缘向下的扭转,从而使这部分机翼的有效攻角减小,这会使升力减小,因而抵消了副翼下偏的部分效果。随着飞机飞行速度的增大,因结构刚度不变,这种扭转将随着增加,上述抵消现象就日趋严重。当达到某个速度(称为“副翼反操纵临界速度”)时,副翼偏转所引起的升力增量和机翼扭转所减小的升力负增量相抵消,因此偏转副翼并不能产生滚转力矩。超过此速度时,副翼偏转将产生反效果,这种现象就称为“副翼反效。”

飞机设计时必须保证机翼有足够的抗扭刚度,使得在全部飞行速度范围内不致发生副翼反效。高速飞机为了防止出现这种现象,有时采用内侧副翼、全动式翼尖副翼或扰流片等。

3.3.2 副翼差动

通过前面的介绍可以知道,在飞机转弯飞行时,需要同时操纵副翼和方向舵。如果一侧副翼相下偏转的角度与另一侧向上偏转的角度相等,则副翼向下偏转一侧的阻力比另一侧的大,这个阻力偏差量试图把机头拉向机翼抬高的一侧,使飞机转向相反的方向。为了防止这种相反作用的产生,副翼经常被设计成具有不同行程的差动副翼,也就是两侧副翼存在差动行程。当驾驶杆被操纵了一个给定的行程时,副翼向上偏转的偏转角度要比向下偏转的偏转角度大。这种现象称为“副翼差动”。

副翼差动是通过差动摇臂(一种双摇臂)来实现的。这种摇臂之所以能起差动作用,是因为当驾驶杆处于中立位置时,它的两个摇臂中至少有一个摇臂与传动杆不成直角。在维护修理工作中,必须注意保持摇臂与传动杆的正常位置。

3.4 飞机的增升装置

高速飞机机翼的构造和外形,主要是从有利于作高速飞行的观点来设计和制造的。

这种机翼在高速飞行时,攻角很小,但由于飞行速度较大,仍可产生足够的升力来维持水平飞行;同时,它还有足够的强度和刚度来承受巨大的载荷。但在低速飞行时,特别是在起飞和着陆时,由于飞行速度较小,虽然增大攻角,但升力仍很小,不足以维持飞机的平飞。同时,机翼攻角的增加是有一定限度的。如果机翼攻角太大,会造成气流分离,从而导致失速。

因此,高速飞机在低速飞行时的性能较差。这主要表现在:起飞和着陆时由于速度太大,起降不安全;延长起飞和着陆滑跑距离等。

依据不同的增升原理,机翼便有了不同的“增升装置”。其中包括:前缘缝翼、各式襟翼、附面层控制等。这些增升装置使飞机在尽可能小的速度下,产生足够大的升力,保持飞机的平飞,从而大大减小起飞和着陆速度,缩短滑跑距离。

3.4.1前缘增升装置

一、前缘缝翼

前缘缝翼是一个小的翼面,总是装在机翼前缘。当前缘缝翼打开时,它就与机翼表面形成一道缝隙。下翼面压强较大的气流通过这道缝隙,得到加速而流向上翼面,增大了机翼上表面气流的速度,降低了压强,消除了这里的大量旋涡。因而恢复了上下翼面的压强差,延缓了气流分离,避免大攻角下的失速(如图3-4所示)。

前缘缝翼的主要作用是:

(1)延缓机翼上的气流分离,因而提高了“临界攻角”(一般能增大10°~15°),使得机翼在更大的攻角下才会发生失速。

(2)增大最大升力系数C y,max(一般能增大百分之五十左右)。

二、前缘襟翼

安装在机翼前缘的襟翼称为前缘襟翼,如图3-5所示。

在大攻角情况

下,前缘襟翼向下

偏转,既可减小前

缘与相对气流之间

的角度,消除了旋

涡,使气流能够平

滑地沿机翼上翼面

流过;同时也可增

大翼剖面的弯度。

从而达到延缓气流

分离、提高最大升

力系数和临界攻角

的目的。图3-4 前缘缝翼打开时,气流分离被推迟

(a) 缝翼闭合时,在大攻角下发生气流分离,旋涡很多;

(b) 缝翼打开时,旋涡很少,恢复了空气的平滑流动时,

延缓了气流分离

1—前缘襟翼;2—后缘襟翼;3—副翼;4—机翼

图3-5 前缘襟翼的位置和增升作用

机翼上的前缘襟翼;(b)前缘襟翼未放下时,发生气流分离;(c)前缘襟翼放下

三、克鲁格襟翼

实际上,克鲁格襟翼是前缘襟翼的一种。它一般位于机翼根部的前缘,靠作动筒收放,打开时象一块板,如图3-6所示。在闭合位置时为机翼前缘的组成部分,打开时向前下方翻转,开度常大于110°。它既可增大机翼的面积,又可增大翼剖面的弯度,所以具有很好的增升效果。同时,它的构造也比较简单。

克鲁格襟翼的结构因受空间的限制,一般采用整体结构,常用材料为镁合金和铝合金,有时也采用复合材料。

图3-6 “克鲁格”襟翼

1—收放作动筒;2—“克鲁格”襟翼闭合;3—“克鲁格”襟翼打开;4—机翼前缘

3.4.2 后缘增升装置

后缘襟翼的种类很多,较常用的有:分裂式襟翼、简单襟翼、开缝式襟翼、后退襟翼、后退开缝式襟翼和双缝襟翼、三缝襟翼、多缝襟翼等。

所有这些襟翼的共同特点是,它们都位于机翼后缘,靠近机身,在副翼的内侧,所以又称为后缘襟翼(简称襟翼)。襟翼放下时既可增大升力,同时也增大了阻力。所以多用于飞机着陆。这时襟翼放下到最大角度(约为50°~60°)。但有时也用于起飞,但放下的角度较小(约为15°~20°),以减小阻力,避免影响飞机起飞滑跑时的加速。

一、分裂式襟翼

这种襟翼本身象块薄板,紧贴于机翼后缘并形成机翼的一部分,用时放下,在后缘与机翼之间形成一个低压区,对机翼上表面的气流具有吸引作用,使其流速增大,因而增大了机翼上下表面的压强差,即增大了升力;同时还延缓了气流分离(如图3-7所示)。这是它能够增升的原因之一。另一原因是,襟翼放下后,机翼剖面变得更弯拱,也就是增大了翼剖面的弯拱程度(弯度)。这样可提高机翼上表面的流速,增大了上下表面的压强差,也就是增大了升力。由于这两个原因,它的增升效果相当好,一般可把最大升力系数C y,max增大约百分之75到85。

二、简单襟翼

它主要靠增大翼剖面的弯拱程度(弯度)来增大升力。如图3-8所示,当简单襟翼放下时,翼剖面变得更弯拱,增大了上翼面气流的流速,从而增大了升力,但同时阻力也随着增大。并且,阻力增大的百分比,一般要比升力增大的百分比高。因此,总的说来,放下襟翼时,升阻比是下降的。

图3-7 分裂式襟翼的位置

1—分裂式襟翼;2—低压区(具有吸引作用)

简单襟翼的构造比较简单,其形状与副翼相似,平时闭合,形成机翼后缘的一部分;用时可打开放下。由于它只有一种增升作用(即增大翼剖面的弯度),所以它的增升效果不是很高。一般情况下,当它的着陆偏转角约为50°~60°时,它大约只能使C y,max增大65%~75%。

高速飞机上很少单独使用简单襟翼,因为高速飞机的机翼大多数有很大的后掠角,而这种襟翼的增升效果随机翼后掠角的增大而急剧减小。

图3-8 简单襟翼的增升原理

1—简单襟翼;2—副翼;3—机翼

三、开缝式襟翼

开缝式襟翼是对简单襟翼的改进。其特点是,当它放下时,一方面能增大机翼翼剖面的弯度;另一方面它的前缘与机翼后缘之间形成一个缝隙。下翼面的高压气流通过这个缝隙,以较高的速度流向上翼面,使上翼面附面层中的气流速度增大,因而延缓了气流分离,达到增升的目的。由此可见,开缝式襟翼的增升作用也是双重的。所以它的增升效果也较好,一般可增大C y,max值约85%~95%(如图3-9所示)。

四、后退式襟翼

后退式襟翼与开缝式襟翼相似,也有双重增升作用。其一是增加翼剖面的弯度;其二是增大机翼的面积。这种襟翼可沿滑轨向后滑动(如图3-10所示),因此能起到这两种作用。它的增升效果也很好,一般可增大C y,max值约85%~95%。

图3-9 开缝式襟翼的气流流动情况 图3-10 后退式襟翼

1—后退襟翼;2—机翼后缘;3—机翼

五、后退开缝式襟翼

后退开缝式襟翼又称为“富

勒”襟翼。位于机翼后缘的下表

面,打开时向后滑动一段距离,

同时又向下偏转,并与机翼后缘

形成一条缝隙(如图3-11所示)。

后退开缝式襟翼主要靠增大

机翼面积及增加翼剖面的弯度来

增加机翼的升力系数。缝隙与开

缝式襟翼相同,可以防止附面层

内的气流分离。这种襟翼一般在

起飞和着陆时,分别采用不同的后退量和偏转角度。在起飞状态,采用较小的偏转角,因而阻力增加较小,升阻比较大,有利于起飞加速,减少滑跑距离。

3.5 操纵面的附设装置

大多数现代飞机的操纵面——升降舵、方向舵和副翼上都有一些必要的附设装置用来改善飞机的操纵和保证飞行的安全。这就是:重量平衡、空气动力补偿和空气动力平衡。

图3-11 后退开缝式襟翼 1—机翼;2—后退开缝式襟翼;3—缝隙

3.5.1 重量平衡

为了防止飞机机翼和尾翼发生颤振,保证飞行的安全,实践和理论都证明:一个有效的办法是在操纵面的转轴前面安装配重,把操纵面的重心移到转轴之前或与转轴轴线重合。

重量平衡主要有两种构造型式。一是集中式配重(如图3-12(b)所示),即把配重集中于一处,用托架支托到操纵面之前。这样可以有效地使舵面的重心前移,但是它突出于气流之中,会增大阻力。

另一种是分散式配重,即把配重分散开,置于操纵面(例如副翼)本身的前部(如图3-12(a)所示)。这种型式的配重藏于翼剖面内,不会增加阻力,但由于位置离操纵面的转轴不远,防颤振的作用不是很大。

图3-12 操纵面上的配重图3-13 铰链力矩和操纵力矩

(a)分散式;(b)集中式1—操纵面;2—尾翼面;3—转轴

1—操纵面;2—配重;3—尾翼a—操纵拉杆;b—摇臂

3.5.2 空气动力补偿(简称“气动补偿”)

气动补偿的目的是为了使驾驶员操纵飞机时省力。其中主要包括轴式补偿、角式补偿、内封补偿和随动补偿。

一、铰链力矩和操纵力矩

所谓铰链力矩M就是操纵面上的空气动力F与它到操纵面转轴距离(力臂)d的乘积(如图3-13所示),即

M=F×d(3-1) 所谓操纵力矩M p就是加到转轴摇臂上的力P与它到转轴距离的乘积h,即

M p=P×h(3-2) 在操纵过程中,操纵力矩应与铰链力矩相平衡,即

P×h=F×d(3-3) 或

h d

F P ?

=(3-4)

二、轴式补偿

低速或小型飞机在平静空气中飞行时,驾驶员不需要很大力量就可转动操纵面来操纵飞机。因为这时作用在操纵面上的空气动力不大(因而铰链力矩也不大)。但对高速或重型飞机来说,或在剧烈的上升或下降气流中飞行的飞机,由于铰链力矩很大,驾驶员操纵就很困难。

并且,飞行速度及操纵面面积越大,铰链力矩M就越大,驾驶员需用的力P就越大。当操纵力P大到一定程度时,驾驶员会感到气力不济。如果在飞机上采用气动补偿,就可帮助驾驶员进行操纵。

轴式补偿是构造简单和常用的一种气动补偿方法。在这种补偿中,将操纵面的转轴从操纵面前缘向后移到某一位置(如图3-14(a)(b)所示)。当操纵面(图中所示为升降舵)绕转轴偏转时,转轴前面的部分若向上,后部就向下,两部分同时有空气动力F和F1作用,绕转轴产生方向相反的两个力矩M和M1。其中M为驾驶员必须克服的铰链力矩,M1就起补偿作用。

轴式补偿构造简单,而且不易引起振动,阻力也较小,所以目前得到广泛应用。但当操纵面偏转角度太大时,补偿面突出于机翼表面之外,以致阻力显著增大。

图3-14 轴式补偿

1—操纵面(升降舵);2—水平安定面;3—转轴;4—垂直尾翼

三、角式补偿

角式补偿的工作原理与轴式补偿相同,只是把操纵面的一个“角”伸在转轴之前(如图3-15所示),位于操纵面的边缘。这种补偿装置的特点是,当操纵面转动时会形成缝隙,产生很多旋涡,增加了阻力。此外,它容易引起气流周期性的分离,使操纵面发生振动。但由于它的构造简单,所以目前在某些低速飞机上还有应用。

四、内封补偿

内封补偿由轴式补偿发展而来,一般多用在副翼上。它的补偿面位于机翼后缘的空腔内,这一空腔由气密胶布隔成上下两部分,互不通气。当副翼向下偏转时,下部压强大,上部压强小,在空腔下部的压强比上部大,因而形成了上下压强差。这一压强差作用在补偿面上,正好使它产生一个绕副翼转轴的力矩,帮助驾驶员克服铰链力矩(如图3-16所示)。

由于它不突出在翼面之外,内封补偿面不会降低舵面的操纵效率;不易过早地产生激波。在补偿面上安装配重,力臂长,重量平衡的作用比较大。但是,由于这种补偿装置使得舵面的偏转角度不能太大,因而用途受到限制——一般只能用于副翼。此外,这种补偿的气密胶布易于磨损,必须经常注意维修。

图3-15 角式补偿

(a)方向舵角式补偿;(b)升降舵角式补偿

1—方向舵的一个角;2—转轴;3—方向舵;4—升降舵的一个角;5—升降舵;6—水平安定面

图3-16 内封补偿

1—副翼;2—机翼;3—翼梁;4—气密胶布;5—补偿面;6—转轴;7—配重

五、随动补偿片

“随动补偿片”又称为“随动调整片”或“补偿调整片”。它是补偿装置的一种,装在操纵舵面(例如升降舵)后缘的一块可偏转小翼面(有自己的转轴)。当驾驶员用力P向前拉操纵杆时(如图3-17所示),由于刚性连杆的长度固定不变,随动补偿片便被它拉着向与舵面转动方向相反的方向转动(图中所示是向上转动)。这时,相对气流吹在随动补偿片上,产生向下的力F1。F1对舵面转轴产生的力矩M1就是补偿力矩。它可以抵消一部分由舵面空气动力F2对转轴所产生的铰链力矩M2。

这种气动补偿它在飞机上很少单独使用。一般多在大型飞机上作为一种辅助性的补偿,与轴式补偿配合使用。

图3-17 随动补偿片

1—随动补偿片;2—刚性连杆支座;3—刚性连杆;4—支座;5—水平安定面;

6—升降舵;7—升降舵转轴;8—操纵拉杆;2、3、4为连杆机构

3.5.3 空气动力平衡(简称“气动平衡”)

“空气动力平衡”的作用是:在长时间稳定飞行时,消除驾驶杆或脚蹬上的力(控杆飞行),以解除驾驶员长时间握杆或踩蹬的单调和疲劳。另外,它也可消除飞机在飞行中对其本身的三根轴(纵轴、横轴和立轴)产生的不平衡力矩。例如飞机制造上的误差,飞行中重心的变化,双发或多发动机飞机有一个或几个发动机停车等。

主要的气动平衡为配平调整片;此外还有随动配平补翼、可调整的水平安定面和固定调整片等。

一、配平调整片

配平调整片是将可偏转的活动小翼面置于操纵面的后缘,由驾驶员通过一套独立的操纵机构调整其偏转角。当飞机需要平衡时,驾驶员不直接操纵舵面,而是通过独立的转盘或手柄来操纵配平调整片。它可以绕本身的转轴偏转。如升降舵配平调制片,若需要使舵面向下偏转,就可使配平调整片向上。这时相对气流在它上面产生空气动力F1。F1对舵面转轴形成的力矩使舵面向下偏转。于是舵面上产生了空气动力F2,舵面在F1的作用下继续偏转,直到F2对舵面转轴所产生的力矩增加到与F1对转轴所产生的力矩相等时为止。这时舵面就会保持在这一位置上,而舵面上空气动力对转轴的铰链力矩等于零,即驾驶杆上的力等于零。值得注意的是:这时F1和F2对飞机重心形成的力矩并不相等,二者之差正是操纵飞机所必需的力矩。

配平调整片在舵面上的位置和力的平衡情况如图3-18所示。

图3-18 配平调整片

(a)配平调整片在升降舵上的位置:1—配平调整片;2—升降舵;3—水平安定面。

(b)配平调整片的作用:1—配平调整片;2—连杆支座;3—连杆及涡轮螺杆机构;

4—支座;5—水平安定面;6—升降舵;7—升降舵转轴;8—通至转盘或手柄

二、随动配平补翼

随动配平补翼既可起气动补偿作用,又可起气动平衡作用(如图3-19所示)。当驾驶

员直接操纵舵面时,调整片按补偿调整片原理工作,起补偿调整片的助力作用。如果驾驶员通过转盘或手柄来操纵调整片操纵机构,调整片则起配平作用。

图3-19 随动配平补翼图3-20 可变安装角的水平安定面1—调整片;2—连杆支座;3—连杆;1—支座;2—液压作动筒;3—扇形构件;

4—摇臂;5—水平安定面;6—升降舵;4—水平安定面;5—水平安定面弦线;

7—调整片操纵机构;8—操纵系统通到驾驶员6—操纵柄;7—滑槽

三、固定调整片

固定调整片在飞行中是固定不变的。在地面时可以根据试飞结果,将它向上或向下偏转一定的角度,以消除飞机制造误差引起的气动力不平衡,例如由于两边机翼翼剖面不完全相同而引起的气动力不平衡。或者由于螺旋桨反作用力矩引起的不平衡等等。它本身是一个装在舵面后缘上的小翼面。

4、安装角可变的水平安定面

这是早期采用的气动平衡方法,仅用于纵向平衡,即通过改变水平安定面的安装角,来达到这一目的。目前在现代高速飞机,尤其是在大型旅客机上使用。这种方法的操纵动力多用液压电动马达。当液压作动筒的活动杆伸出或缩入时,就带动扇形构件摆动,从而使水平安定面上操纵柄在扇形构件的滑槽中滑动,于是水平安定面就可改变它的安装角了。如图3-20所示。

飞机的稳定性

飞机的稳定性 飞机的稳定性是飞机设计中衡量飞行品质的重要参数,它表示飞机在受到扰动之后是否具有回到原始状态的能力。如果飞机受到扰动(例如突风)之后,在飞行员不进行任何操纵的情况下能够回到初始状态,则称飞机是稳定的,反之则称飞机是不稳定的。 飞机的稳定性包括纵向稳定性,反映飞机在俯仰方向的稳定特性;航向稳定性,反映飞机的方向稳定特性;以及横向稳定性,反映飞机的滚转稳定特性。 关于稳定与不稳定的概念可以形象的加以说明。例如,我们将一个小球放在波浪型表面的波峰上然后轻轻的推一下,小球就会离开波峰掉入波谷,我们将小球处在波峰位置的状态称为不稳定状态。反之,如果我们将小球放在波谷并且轻轻地推一下,球在荡漾一段时间之后,仍然能够回到谷底,我们称小球处在波谷的状态为稳定状态。 飞机的稳定与否对飞行安全尤为重要,如果飞机是稳定的,当遇到突风等扰动时,飞行员可以不用干预飞机,飞机会自动回到平衡状态;如果飞机是不稳定的,在遇到扰动时,哪怕是一丁点扰动,飞行员都必须对飞机进行操纵以保持平衡状态,否则飞机就会离初始状态越来越远。不稳定的飞机不仅极大地加重了飞行员的操纵负担,使飞行员随时随地处于紧张状态,而且飞行员对飞机的操纵与飞机自身运动的相互干扰还容易诱发飞机的振荡,造成飞行事故。从现代飞机设计理论来看,莱特兄弟发明的飞机是纵向不稳定的。然而他们却成功了,这主要是因为当时飞机的速度低,飞行员有足够的时间来调整飞机的平衡。莱特兄弟曾经说过他们在试飞时曾多次失控,飞机不住地振荡,最后以滑橇触地而结束。随着飞行速度越来越快,飞行员越来越难以控制不稳定的飞机,所以一般在飞机设计中要求将飞机设计成稳定的,飞机稳定性设计也变得越来越重要了。 虽然越稳定的飞机对于提高安全性越有利,但是对于操纵性来说却越来越不利。因为越稳定的飞机,要改变它的状态就越困难,也就是说,飞机的机动性越差。所以如何协调飞机的稳定性和操纵性之间的关系,对于现代战斗机来说是一个非常值得权衡的问题。实际上为了获得更大的机动性,目前最先进的战斗机都已经被设计成不稳定的飞机。当然这样的飞机不能再通过飞行员来保持平衡,而是通过一系列其他的增稳措施,比如电传操纵等主动控制手段来自动实现飞机的稳定性。

非线性微分方程和稳定性

第六章 非线性微分方程和稳定性 在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. §6.1 引言 考虑微分方程 (,)d f t dt =x x (6.1) 其中函数(,)f t x 对n D R ∈?x 和t ∈(-∞,+∞)连续,对x 满足局部李普希兹条件. 设 方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ?=,而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是:当01x x -很小时,差0001(,,)(,,)x t t x t t x ?-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)T n x x =x 的范数取1 221 ()n i i x ==∑x . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间,那么这是解对初值的连续依赖性,第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间,那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3),这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>,使得只要0x 满足

91108-飞行力学-第10章:飞机的横航向动稳定性和操纵性

第10章 飞机的横航向动稳定性和动操纵性 作业: 10.1 10.2 10.4 10.5

内容10.1 飞机横航向动稳定性10.1.2 典型的横航向运动模态10.1.3 滚转模态 10.1.4 螺旋模态 10.1.5 滚转--螺旋模态 10.1.6 荷兰滚模态 10.2 飞机横航向动操纵性10.2.1 副翼的操纵反应 10.2.2 方向舵的操纵反应 小结

由组成的四阶方程,对于正常布局的飞机,它由一个负的大实根、一对实部为负的共轭复根和一个小的实根(可正可负)组成。 10.1.2 典型的横航向运动模态 ,,,p r βφ滚转模态 荷兰滚模态 螺旋模态负的大实根负的共轭复根 小的实根

对应于特征方程中的一个大的负实根; 其特征是衰减很快的非周期运动,其振幅衰减一半的时间仅为零点几秒; 受横侧扰动后,飞机绕机体轴的单自由度滚转,收敛过程很快。运动变量是滚转角速度和滚转角; 飞机具有较大的横向阻尼(来源机翼),运动衰减快,一般均能满足品质要求。 1.滚转模态 ,p φlp C

飞机横航向运动中最重要的模态; 对应特征方程中的一对共轭复根,滚转角、侧滑角和偏航角的量级相同; 偏航运动略超前滚转,即左偏航时右滚转。飞机重心沿直线轨迹前进,颇似荷兰人的滑冰动作而得名; 模态频率高,周期约为数秒至十几秒,介于纵向长、短周期之间。品质规范对其特性有严格要求。 ,,βφψ荷兰?

3.螺旋模态 对应特征方程中的一个小实根; 特征是衰减缓慢的非周期运动,运动变量为偏航角和滚转角; 允许其特征根为一小的正根,由于运动不 稳定时呈螺旋状而得名; 运动缓慢,半幅或倍幅时间长,约上百秒,易于纠正,对其模态特性要求不高。 ,ψφ

《圆的对称性》教学设计

3.2圆的对称性学案 学习目标: 1.理解圆的轴对称性; 2.理解垂径定理及逆定理的的推导过程,并能初步应用。 一、课前预习 自学课本P96,回答下列问题: 1.平面上,到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种:点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图,以A、B为端点的弧记作,读作“”或“”。 5.弧包括和,大于半圆的弧称为,小于半圆的弧称为。半圆既不是,也不是。优弧一般用个大写字母来表示,劣弧一般用个大写字母来表示,如图,以A、D为端点的弧有两条,优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。 二、合作探究 【自主学习】 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的? 3.右图还是轴对称图形吗?如果是你能找出它的对称轴吗? 【小组讨论】 4.如图,AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗?说一说你的理由。 垂径定理:。 用几何语言表达:∵∴ 在下列图形中,哪些符合垂径定理的条件? 三、典型例题

E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。 例2:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧,(即图中 CD,点O是CD的圆心),其中CD =600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m。求这段弯路的半径。 四.练习: 1.半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是。 3.半径为2cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。 (1)题(2)题(3)题(4)题(5)题 4.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, 且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm,弓形的高CD为8cm,则这弓形所在圆的半径为 _____ 6.已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证:AC=BD 五.小结感悟 学了本节课你有哪些收获? 六.作业《分层作业B本》第21-22面,17题选做

高等数学 简明二阶微分方程讲义

高等数学简明二阶微分方程讲义 作者:齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图,在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比,阻力f的方向与速度方向相反(f=-cv).

物体的位置随时间如何变化? 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程: 记 得到形如下式的方程(*) 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程

(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1)如果阻力很大,弹簧弹性弱,那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量)记为y. 那么方程为: . 特征方程为,有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像

2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为

微分方程稳定性分解

带有时滞的动力系统的运动稳定性 分五部分内容,第一部分是Понтрягин定理,给出解实部、虚部的形式;第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计;第三部分讨论解的存在唯一性;第四部分探讨解的表达式;第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数,所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑, 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑,1,2, ,i n =0τ>, 这时,相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=, 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。 对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。 在常微分方程解的稳定性理论中,关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ,则欲是平衡态的位置稳定,其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。 但是,现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=,0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程,可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起,这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时,系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑, 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑,1,2, ,i n =0τ>

3第三章 飞机的稳定性和操纵性上课讲义

第三章飞机的稳定性和操纵性 3.1 飞机的稳定性 在飞行中,飞机会经常受到各种各样的扰动,如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态,而在偏离以后,飞机能否自动恢复原状,这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。 飞机的稳定性是飞机本身的一种特性,与飞机的操纵性有密切的关系。例如,飞行员操纵杆、舵,需要用力的大小,飞机对杆、舵操纵的反应等,都与飞机的稳定性有关。因此,研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。 所谓飞机的稳定性,就是在飞行中,当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态,并在扰动消失以后,不经驾驶员操纵,飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。 3.1.1 纵向稳定性 飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。 当飞机处于平衡飞行状态时,如果有一个小的外力干扰,使它的攻角变大或变小,飞机抬头或低头,绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。当外力消除后,驾驶员如果不操纵飞机,而靠飞机本身产生一个力矩,使它恢复到原来的平衡飞行状态,我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态,就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复,也不远离,总是上下摇摆,就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。 飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面,我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。 当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时,如果一阵风从下吹向机头,使飞机机翼的攻角增大,飞机抬头。阵风消失后,由于惯性的作用,飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大,从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下,使机头下沉。经过短时间的上下摇摆,飞机就可恢复到原来的飞行状态。 同样,如果阵风从上吹向机头,使机头下沉,飞机攻角减小,水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩,使飞机抬头,经过短时间的上下摇摆,也可使飞机恢复到原来的飞行状态。 除水平尾翼外,飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机,其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是:重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机,当飞机受扰动而增大攻角时,机翼产生的附加升力是使机头上仰,攻角进一步增大,形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力,使机头下俯,攻角减小,保证飞机的纵向稳定性。

人教版六年级上册数学《圆的对称性》教案

人教版六年级上册数学《圆 的对称性》教案 本页仅作为文档页封面,使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

人教版六年级上册数学《圆的对称性》教案 杨晓莉 教学内容:教科书59页例题3 做一做 教学目标: 1、知识与技能:(1)初步认识轴对称图形,知道轴对称的含义;(2)会判断哪些图形是轴对称图形并能找出轴对称图形的对称轴。 2、过程与方法:(1)培养学生动手操作能力、分析推理能力;(2)培养学生对信息进行采集、整理和利用的基本能力,以及合理利用现代信息技术手段提高学习效率的能力。 3、情感、态度与价值观:(1)通过观察、讨论、创作,使学生充分感知数学美,激发学生喜爱数学的情感;(2)通过小组合作的研究性学习,培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。 教学重点:(1)认识轴对称图形的特点,建立轴对称图形的概念; (2)准确判断生活中哪些事物是轴对称图形。 教学难点:找轴对称图形的对称轴。 教具:多媒体课件,所学过的平面图形。 教学过程: 一、教学引入 1.复习 1)、连接()和()任意一点的线段叫做圆的半径。 2)、在同一个圆中,所有的半径都()。 3)、在同一个圆中,直径有()条。 4)、在同一个圆里,半径的长度是直径的(),直径的长度是半径的 ()。 2、观察以前认识对称图形。

1)、举例说出轴对称的物体。如:蝴蝶、枫叶、门窗、剪刀、五角星等。想一想这些图形有什么特点? 2)、观察、概括。 如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 二、教学我们所学过的平面图形的对称轴 1.师:我们以前已经认识了许多平面图形(长方形、正方形、梯形、三角形、平行四边形),长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等都是由线段围成的平面图形,叫做直线图形。圆是由曲线围成的平面图形,叫做曲线图形。大家一起来找找这些图形中哪些是轴对称图形( 电脑出示) 2.提出要求:四人小组为单位先猜一猜,再拿出图形动手折一折,验证一下哪些图形是轴对称图形,有几条对称轴,并画出对称轴。 3.学生操作交流。(师巡视辅导) 4.汇报交流 (1)判断哪些图形是轴对称图形? (2)找轴对称图形的对称轴。(指名上台折,展示) (3)画出对称轴。 5.小结:从上面的图形中可以看出,正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条的对称轴。 三、教学认识圆的对称轴 1、出示例3:你能分别画出下面两个圆的对称轴吗?你能画出几条呢

常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,掌握逐次逼近法,熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明,解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授,实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论,能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式,解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型,但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性,而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位,是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程

2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一,易知0y =是方程过(0,0)的解,此外,容易验证,2y x =或更一般地,函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解,其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题,它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外,由于能得到精确解的微分方程为数不多,微分方程的近似解法具有重要的意义,而解的存在唯一性是进行近似计算的前提,如果解本身不存在,而近似求解就失去意义;如果存在不唯一,不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1.存在性与唯一性定理: (1)显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = (3.1) 这里),(y x f 是在矩形域:00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (3.2) 上连续。 定理1:如果函数),(y x f 满足以下条件:1)在R 上连续:2)在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件,即存在常数0L >,使对于R 上任何一对点1(,)x y , 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立,则方程(3.1)存在唯一的解()y x ?=,在区间0||x x h -≤上连续,而且满足初始条件 00()x y ?= (3.3)

微分方程稳定性理论简介

第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容: 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = (1) 右端不显含自变量t ,代数方程 ()0f x = (2) 的实根0x x =称为方程(1)的平衡点(或奇点),它也是方程(1)的解(奇解) 如果从所有可能的初始条件出发,方程(1)的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = (3) 则称平衡点0x 是稳定的(稳定性理论中称渐近稳定);否则,称0x 是不稳定的(不渐近稳定)。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法,利用定义即(3)式称间接法,不求方程(1)的解()x t ,因而不利用(3)式的方法称直接法,下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开,只取一次项,则方程(1)近似为: 0'()()dx f x x x dt =- (4) (4)称为(1)的近似线性方程。0x 也是(4)的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论: 若0'()0f x <,则0x 是方程(1)、(4)的稳定的平衡点。 若0'()0f x >,则0x 不是方程(1)、(4)的稳定的平衡点 0x 对于方程(4)的稳定性很容易由定义(3)证明,因为(4)的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ (5) 其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 二阶(平面)方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? (6) 右端不显含t ,代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? (7) 的实根0012 (,)x x 称为方程(6)的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发,方程(6)的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = (8) 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的(渐近稳定);否则,称P 0是不稳定的(不渐 近稳定)。 为了用直接法讨论方法方程(6)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? (9) 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程(9)的唯一平衡点,它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ(特征根)决定,上方程可以写成更加明确的形式: 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? (10) 将特征根记作12,λλ,则

飞机的稳定性和操纵性

第三章飞机的稳定性和操纵性 飞机的稳定性 在飞行中,飞机会经常受到各种各样的扰动,如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态,而在偏离以后,飞机能否自动恢复原状,这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。 飞机的稳定性是飞机本身的一种特性,与飞机的操纵性有密切的关系。例如,飞行员操纵杆、舵,需要用力的大小,飞机对杆、舵操纵的反应等,都与飞机的稳定性有关。因此,研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。 所谓飞机的稳定性,就是在飞行中,当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态,并在扰动消失以后,不经驾驶员操纵,飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。 纵向稳定性 飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。 当飞机处于平衡飞行状态时,如果有一个小的外力干扰,使它的攻角变大或变小,飞机抬头或低头,绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。当外力消除后,驾驶员如果不操纵飞机,而靠飞机本身产生一个力矩,使它恢复到原来的平衡飞行状态,我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态,就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复,也不远离,总是上下摇摆,就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。 飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面,我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。

当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时,如果一阵风从下吹向机头,使飞机机翼的攻角增大,飞机抬头。阵风消失后,由于惯性的作用,飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大,从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下,使机头下沉。经过短时间的上下摇摆,飞机就可恢复到原来的飞行状态。 同样,如果阵风从上吹向机头,使机头下沉,飞机攻角减小,水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩,使飞机抬头,经过短时间的上下摇摆,也可使飞机恢复到原来的飞行状态。 除水平尾翼外,飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机,其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是:重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机,当飞机受扰动而增大攻角时,机翼产生的附加升力是使机头上仰,攻角进一步增大,形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力,使机头下俯,攻角减小,保证飞机的纵向稳定性。 方向稳定性 飞机的方向稳定性是指飞机绕立轴的稳定性。 飞机的方向稳定力矩是在侧滑中产生的。所谓侧滑是指飞机的对称面与相对气流方向不一致的飞行。它是一种既向前、又向侧方的运动。 飞机带有侧滑时,空气则从飞机侧方吹来。这时,相对气流方向与飞机对称面之间的夹角称为“侧滑角”,也称“偏航角”。 对飞机方向稳定性影响最大的是垂直尾翼。另外,飞机机身的侧面迎风面积也起相当大的作用。其它如机翼的后掠角、发动机短舱等也有一定的影响。 当飞机稳定飞行时,不存在偏航角,处于平衡状态。如果有一阵风突然吹来,使机头向右偏(此时,相对气流从左前方吹来,称为左侧滑),便有了偏航角。阵风消除后,由于惯性作用,飞机仍然保持原来的方向,向前冲一段路程。这时相对风吹到偏斜的垂

青岛版数学九年级上册教案3.1圆的对称性

3.1圆的对称性 教学目标 【知识与能力】 (1)理解圆的轴对称性和中心对称性,会画出圆的对称轴,会找圆的对称中心; (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系,并会用它们之间的关系解题. 【过程与方法】 (1)通过对圆的对称性的理解,培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力,促进学生创造性思维水平的发展和提高; (2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究,掌握解题的方法和技巧. 【情感态度价值观】 经过观察、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣.教学重难点 【教学重点】 对圆心角、弧和弦之间的关系的理解. 【教学难点】 能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题,会用圆心角、弧和弦之间的关系解题. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、创设情境,导入新课 问:前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义? (如果一个图形沿着某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴). 问:我们是用什么方法来研究轴对称图形? 生:折叠. 今天我们继续来探究圆的对称性. 问题1:前面我们已经认识了圆,你还记得确定圆的两个元素吗? 生:圆心和半径. 问题2:你还记得学习圆中的哪些概念吗? 忆一忆: 1.圆:平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆,其中______为圆心,定长为________. 2.弧:圆上_____叫做圆弧,简称弧,圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做圆的半径.__________称为优弧,_____________称为劣弧. 3.___________叫做等圆,_________叫做等弧. 4.圆心角:顶点在_____的角叫做圆心角. 二、探究交流,获取新知 知识点一:圆的对称性 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

飞机稳定性和操作性分析(2)

毕业设计(论文)任务书 I、毕业设计(论文)题目: 飞机稳定性和操作性分析 II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求: 原始资料: 给定某飞机原始数据 设计技术要求: 1.进行飞机稳定性和操纵性等因素计算。 2.用C或Matlab语言编制计算程序。 3.用给定某飞机机型调试程序; 4.进行理论计算:计算结果以数据表和曲线形式给出。 5.对计算结果进行分析,写出分析报告。 III、毕业设计(论文)工作内容及完成时间: 1.收集有关资料,并完成开题报告; 3.10.-3.17 1周2.相关外文文献资料的阅读与翻译(6000字符以上) 3.17-3.31 2周3.用C或Matlab语言编制计算程序; 3.31-4.28 4周4.调试程序,进行理论计算; 4.28-5.26 4周5.对计算结果进行分析,整理分析报告; 5.26-6.14 3周6.撰写毕业论文及答辩准备; 6.14-6.20 1周

Ⅳ、主要参考资料: [1].飞机设计手册总编委会编,飞机设计手册,航空工业出版社,2005.10; [2].李为吉编,现代飞机总体综合设计,西北工业大学出版社,2001.12; [3].李为吉编,飞机总体设计,西北工业大学出版社,2005.1; [4].顾诵芬编,飞机总体设计,北京航空航天大学出版社,2006.12;; [5].潭浩强编,C程序设计,清华大学出版社,1991.7; [6].Proceedings of the International Symposium on, Advancement of Aerospace Education and Collaborative Research in the 21st Century, June 17-19,2004,HANKUK AVIATION UNIVERSITY. 飞行器工程学院(系)飞行器设计与工程专业类班 学生(签名): 日期:自2016 年 3 月10 日至2016 年 6 月20日 指导教师(签名): 助理指导教师(并指出所负责的部分): 飞行器设计工程系(室)主任(签名):何国毅 附注:任务书应该附在已完成的毕业设计说明书首页。

六年级上册数学圆单元教学设计人教课标版

六年级上册数学圆单元教学设计(人教课标版) 《圆的对称性》教学设计 一、教材分析: 《圆的对称性》是义务教育课程标准实验教科书六年级上册第四单元第59页的内容。它是在学生已经认识了长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形等平面图形和初步认识轴对称图形和对称轴基础上进行学习的。这是学生研究曲线图形的开始,是学生认识发展的又一次飞跃。教材注重从学生已有的生活经验和知识背景出发,结合具体情境和操作活动激活已经存在于学生头脑中的经验,促使学生逐步归纳内化,上升到数学层面来认识圆也是轴对称图形,体会到圆是轴对称图形且有无数条对称轴。考虑到小学生的认知水平,教材并没有给出圆的对称特征的描述,但教材通过观察与思考、画一画等活动帮助学生逐步对此加以体会,为学生到中学学习圆的知识提供了感性认识和直观经验。通过对圆的有关知识的学习,不仅能够加深学习对周围事物的理解,提高解决简单实际问题的能力,也为以后学习圆柱、圆锥等知识和绘制扇形统计图打好基础。 二、教学内容:教材59页例3。

三、设计思想: 现代课堂教学是以现代先进的教育思想和教学理论为指 导的,以面向全体学生,全面提高学生作为现代人应具备的基本素质为根本目的,以充分体现学生主体地位,实现教学过程最优化为基本特征的实践活动。“圆的对称性”的设计我力求体现: 数学于生活,中出示的几种生活中的图形都是轴对称图形图形,很自然的就为学生创设了问题情境。 强化操作,在操作中探究,画一画、剪一剪、折一折,让学生在操作中感知圆对称性特征。 运用,用新颖的教学手段加深学生的印象,激发学生的求知欲,发挥图象的效果,让学生建立深刻的印象。 将知识还原于生活,运用于生活,不断激发学生的思维,促进学生思维活动的发展,培养创新意识,又让学生感受到数学起源于生活,又能应用于生活。 四、学法指导:动手操作,结合观察、分析、推理和验证 五、教学目标: 知识目标:认识圆也是轴对称图形。 能力目标:通过画一画,折一折,在实际操作中来体会圆的对称轴有无数条这一特性。 情感目标:重视联系生活实际,为学生搭建欣赏数学对称美的平台。.

圆的对称性-教案

圆的对称性 (南充市建华中学 张懿) 教学目标: 使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 重点难点: 1、重点:由实验得到同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、难点:运用同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程: 一、由问题引入新课:要同学们画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 由以上实验,同学们发现圆是中心对称图形吗?对称中心是哪一点?圆不仅是中心对称圆形,而且还是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 二、新课 1、同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度,得到图23.1.4中的图形,同学们可以通过比较前后两个图形,发现AOB AOB ∠=∠,AB AB =,AB AB =。 实质上,AOB ∠确定了扇形AOB 的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等。 问题:在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦是否相等呢? 在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧是 否相等呢? 实验2、如图23.1.7,如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ,垂足为P ,再将纸片沿着直径CD 对折,比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵ ,你能发现什么结论? 显然,如果CD 是直径,AB 是⊙O 中垂直于直径的弦,那么AP BP =,AC BC =,AD BD =。请同学们用一句话加以 概括。 ( 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧) 2、同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系的应用。(1)思考:如图,在一个半径为6米的圆形花坛里,准备种植六种不同颜色的花卉,要求每种花卉的种植面积相等,请你帮助设计种植方案。(2)如图23.1.5,在⊙O 中,AC BC =,145∠=?,求2∠的度数。 图 23.1.3 图 23.1.4 图23.1.7

3第三章飞机的稳定性和操纵性上课讲义

精品文档 第三章飞机的稳定性和操纵性 3.1 飞机的稳定性 在飞行中,飞机会经常受到各种各样的扰动,如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态,而在偏离以后,飞机能否自动恢复原状,这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。 飞机的稳定性是飞机本身的一种特性,与飞机的操纵性有密切的关系。例如,飞行员操纵杆、舵,需要用力的大小,飞机对杆、舵操纵的反应等,都与飞机的稳定性有关。因此,研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。 所谓飞机的稳定性,就是在飞行中,当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态,并在扰动消失以后,不经驾驶员操纵,飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。 3.1.1 纵向稳定性 飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。 当飞机处于平衡飞行状态时,如果有一个小的外力干扰,使它的攻角变大或变小,飞机抬头或低头,绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。当外力消除后,驾驶员如果不操纵飞机,而靠飞机本身产生一个力矩,使它恢复到原来的平衡飞行状态,我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态,就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复,也不远离,总是上下摇摆,就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。 飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面,我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。 当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时,如果一阵风从下吹向机头,使飞机机翼的攻角增大,飞机抬头。阵风消失后,由于惯性的作用,飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大,从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下,使机头下沉。经过短时间的上下摇摆,飞机就可恢复到原来的飞行状态。 同样,如果阵风从上吹向机头,使机头下沉,飞机攻角减小,水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩,使飞机抬头,经过短时间的上下摇摆,也可使飞机恢复到原来的飞行状态。 除水平尾翼外,飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机,其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是:重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机,当飞机受扰动而增大攻角时,机翼产生的附加升力是使机头上仰,攻角进一步增大,形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力,使机头下俯,攻角减小,保证飞机的纵向稳定性。 精品文档

圆的对称性(教案)

5.2 圆的对称性(二) 班级姓名学号 学习目标 1.理解圆的对称性(轴对称)及有关性质. 2.理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点:垂径定理及其运用. 学习难点:灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设 (1)圆是轴对称图形吗? (2)你是如何验证的? 设计意图1、体验折叠是验证轴对称图形的非常好的方法。 2、确信圆是轴对称图形,圆的对称轴是直径所在的直线,这样的对称轴有无数条。 圆是轴对称图形,我们这节课就来研究与圆的轴对称有关的性质。 二、探索与发现 如图,AB是⊙O的直径,画弦CD⊥AB,垂足为P,探索图形中的相等关系。 你是如何发现的? 教学设计: 经历从感性到理性的认知过程 通过观察操作说理等方法获取结论。 垂径定理 文字语言:_________________________________________________________。 符号语言: 。 三、例题讲解 2cm,你能求出圆心O到CD的距离吗?例1. 已知:如图,直径AB⊥CD,⊙O的半径为2cm,若弦CD=3 例2. 如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗?为什么?

四、及时巩固: 1.如图,OA=OB ,AB 交⊙O 与点C 、D ,AC 与BD 是否相等?为什么? 2.填空 (1)如图,已知⊙O 的半径为13cm ,AB 为⊙O 的一条弦,点O 到AB 的距离为5cm ,则AB=____. (2)如图,已知⊙O 的直径为10cm 中,弦AB=8cm ,P 是AB 上的一个动点。OP长度的范围是 。 (3)如图,以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ,B 两点,点P 的坐标为(4,2),点A 的坐标为(2,0)则点B 的坐标为_________. 第(1)题 第(2)题 第(3)题 五、应用与拓展: 1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道.如图所示,已知污水水面宽度为60cm ,水面至管道顶部距离为10cm ,问修理人员应准备半径多大的管道? 思考: 如果水面宽度由60cm 变为80cm ,那么污水面下降了多少厘米? 2. (思维拓展)已知⊙O 的半径为5cm ,点P 是⊙O 内一点,OP=4cm ,则过点P 的所有弦中,最短弦的长为多少cm? 过点P 的所有弦中,长度为整数的弦有几条? O B A P O B A

常微分方程讲义 (2)

常微分方程讲义(一) 课程目标: 掌握常用的常微分方程解题技巧;利用常微分方程的思想建模。上课方式: 课堂讲授、练习与考试。 课程特点: 承接高数、微积分、数学分析等课程而来,与导数、积分的关系非常紧密,在经济数学中有广泛的应用;常与其他数学工具与方法混合使用。 参考书目: 《常微分方程》,蔡燧林编著,武汉大学出版社,2003;及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。 为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程? 注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化,实现了从“静态”向“动态”的飞跃。 微分方程比初等函数更近于现实,更真于模拟。 什么是方程?)(x y 。 f 什么是微分方程? dy的方程; 常微分方程:含有dy、dx、 dx

偏微分方程:含有y ?、x ?、x y ??的方程。 x y ??的几何含义:割线、割线的斜率 dx dy 的几何含义:切线、切线的斜率 dx dy x y x =??→?0lim :数学上——切线的斜率,导数 经济上——变化率,边际 例:求2x y =与x e y =的导数 应当记下来的等式: 1)'(-=n n nx x ,c x dx nx n n +=?-1 x x e e =)'(,c e dx e x x +=? x x 1 )'(ln =,C x dx x +=?ln 1 x x cos )'(sin =,?+=C x xdx sin cos x x sin )'(cos -=,?+=-C x dx x cos )sin ( x tgx 2sec )'(=,?+=C tgx xdx 2sec x ctgx 2csc )'(-=,?+=-C ctgx dx x )csc (2 0)'(=C k kx =)'( '')'(b a b a +=± '')'(ab b a ab += 2' ')'(b ab b a b a -= '')])'([(g f x g f =

《圆的对称性》教案

《圆的对称性》教案 教学目标 1.知识与技能 (1)理解圆的轴对称性和中心对称性,会画出圆的对称轴,会找圆的对称中心; (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系,并会用它们之间的关系解题. 2.过程与方法 (1)通过对圆的对称性的理解,培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力,促进学生创造性思维水平的发展和提高; (2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究,掌握解题的方法和技巧. 3.情感、态度与价值观 经过观察、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣. 教学重难点 重点:对圆心角、弧和弦之间的关系的理解. 难点:能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题,会用圆心角、弧和弦之间的关系解题.教学过程 一、创设情境,导入新课 问:前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义? (如果一个图形沿着某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴). 问:我们是用什么方法来研究轴对称图形? 生:折叠. 今天我们继续来探究圆的对称性. 问题1:前面我们已经认识了圆,你还记得确定圆的两个元素吗? 生:圆心和半径. 问题2:你还记得学习圆中的哪些概念吗? 忆一忆: 1.圆:平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆,其中______为圆心,定长为________.

2.弧:圆上_____叫做圆弧,简称弧,圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做圆的半径.__________称为优弧,_____________称为劣弧. 3.___________叫做等圆,_________叫做等弧. 4.圆心角:顶点在_____的角叫做圆心角. 二、探究交流,获取新知 知识点一:圆的对称性 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.大家交流一下:你是用什么方法来解决这个问题的呢? 动手操作:请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠:看折痕经不经过圆心? 学生讨论得出结论:我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形,经过圆心的一条直线是圆的对称轴,圆的对称轴有无数条. 知识点二:圆的中心对称性. 问:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗? 让学生得出结论:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合,我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性.圆是中心对称图形,对称中心为圆心. 做一做: 在等圆⊙O 和⊙O ' 中,分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8),将两圆重叠,并固定圆心,然后把其中的一个圆旋转一个角度,得OA 与OA '重合.你能发现哪些等量关系吗?说一说你的理由.

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