3第三章飞机的稳定性和操纵性上课讲义
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第三章飞机的稳定性和操纵性
3.1 飞机的稳定性
在飞行中，飞机会经常受到各种各样的扰动，如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态，而在偏离以后，飞机能否自动恢复原状，这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。
飞机的稳定性是飞机本身的一种特性，与飞机的操纵性有密切的关系。例如，飞行员操纵杆、舵，需要用力的大小，飞机对杆、舵操纵的反应等，都与飞机的稳定性有关。因此，研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。
所谓飞机的稳定性，就是在飞行中，当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态，并在扰动消失以后，不经驾驶员操纵，飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。
3.1.1 纵向稳定性
飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。
当飞机处于平衡飞行状态时，如果有一个小的外力干扰，使它的攻角变大或变小，飞机抬头或低头，绕横轴上下摇摆（也称为俯仰运动）。当外力消除后，驾驶员如果不操纵飞机，而靠飞机本身产生一个力矩，使它恢复到原来的平衡飞行状态，我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态，就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复，也不远离，总是上下摇摆，就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。
飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面，我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。
当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时，如果一阵风从下吹向机头，使飞机机翼的攻角增大，飞机抬头。阵风消失后，由于惯性的作用，飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大，从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下，使机头下沉。经过短时间的上下摇摆，飞机就可恢复到原来的飞行状态。
同样，如果阵风从上吹向机头，使机头下沉，飞机攻角减小，水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩，使飞机抬头，经过短时间的上下摇摆，也可使飞机恢复到原来的飞行状态。
除水平尾翼外，飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机，其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是：重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机，当飞机受扰动而增大攻角时，机翼产生的附加升力是使机头上仰，攻角进一步增大，形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力，使机头下俯，攻角减小，保证飞机的纵向稳定性。
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3.1.2 方向稳定性
飞机的方向稳定性是指飞机绕立轴的稳定性。飞机的方向稳定力矩是在侧滑中产生的。所谓侧滑是指飞机的对称面与相对气流方向不一致的飞行。它是一种既向前、又向侧方的运动。
飞机带有侧滑时，空气则从飞机侧方吹来。这时，相对气流方向与飞机对称面之间的夹角称为“侧滑角” ，也称“偏航角” 。
对飞机方向稳定性影响最大的是垂直尾翼。另外，飞机机身的侧面迎风面积也起相当大的作用。其它如机翼的后掠角、发动机短舱等也有一定的影响。
当飞机稳定飞行时，不存在偏航角，处于平衡状态。如果有一阵风突然吹来，使机头向右偏（此时，相对气流从左前方吹来，称为左侧滑），便有了偏航角。阵风消除后，
由于惯性作用，飞机仍然保持原来的方向，向前冲一段路程。这时相对风吹到偏斜的垂直尾翼上，产生了一个向右的附加力。这个力便绕飞机重心产生了一个向左的恢复力矩，使机头向左偏转。经过一阵短时间的摇摆，消除掉偏航角，飞机恢复到原来的平衡飞行状态。
同样，当飞机出现右侧滑时，就形成使飞机向右偏转的方向稳定力矩。可见，只要有侧滑，飞机就会产生方向稳定力矩。而方向稳定力矩总是要使飞机消除偏航角。
3.1.3 侧向稳定性
飞机的侧向稳定性是指飞机绕纵轴的稳定性。
飞机的稳定性
飞机的稳定性 飞机的稳定性是飞机设计中衡量飞行品质的重要参数，它表示飞机在受到扰动之后是否具有回到原始状态的能力。如果飞机受到扰动（例如突风）之后，在飞行员不进行任何操纵的情况下能够回到初始状态，则称飞机是稳定的，反之则称飞机是不稳定的。 飞机的稳定性包括纵向稳定性，反映飞机在俯仰方向的稳定特性；航向稳定性，反映飞机的方向稳定特性；以及横向稳定性，反映飞机的滚转稳定特性。 关于稳定与不稳定的概念可以形象的加以说明。例如，我们将一个小球放在波浪型表面的波峰上然后轻轻的推一下，小球就会离开波峰掉入波谷，我们将小球处在波峰位置的状态称为不稳定状态。反之，如果我们将小球放在波谷并且轻轻地推一下，球在荡漾一段时间之后，仍然能够回到谷底，我们称小球处在波谷的状态为稳定状态。 飞机的稳定与否对飞行安全尤为重要，如果飞机是稳定的，当遇到突风等扰动时，飞行员可以不用干预飞机，飞机会自动回到平衡状态；如果飞机是不稳定的，在遇到扰动时，哪怕是一丁点扰动，飞行员都必须对飞机进行操纵以保持平衡状态，否则飞机就会离初始状态越来越远。不稳定的飞机不仅极大地加重了飞行员的操纵负担，使飞行员随时随地处于紧张状态，而且飞行员对飞机的操纵与飞机自身运动的相互干扰还容易诱发飞机的振荡，造成飞行事故。从现代飞机设计理论来看，莱特兄弟发明的飞机是纵向不稳定的。然而他们却成功了，这主要是因为当时飞机的速度低，飞行员有足够的时间来调整飞机的平衡。莱特兄弟曾经说过他们在试飞时曾多次失控，飞机不住地振荡，最后以滑橇触地而结束。随着飞行速度越来越快，飞行员越来越难以控制不稳定的飞机，所以一般在飞机设计中要求将飞机设计成稳定的，飞机稳定性设计也变得越来越重要了。 虽然越稳定的飞机对于提高安全性越有利，但是对于操纵性来说却越来越不利。因为越稳定的飞机，要改变它的状态就越困难，也就是说，飞机的机动性越差。所以如何协调飞机的稳定性和操纵性之间的关系，对于现代战斗机来说是一个非常值得权衡的问题。实际上为了获得更大的机动性，目前最先进的战斗机都已经被设计成不稳定的飞机。当然这样的飞机不能再通过飞行员来保持平衡，而是通过一系列其他的增稳措施，比如电传操纵等主动控制手段来自动实现飞机的稳定性。
91108-飞行力学-第10章：飞机的横航向动稳定性和操纵性
第10章 飞机的横航向动稳定性和动操纵性 作业： 10.1 10.2 10.4 10.5
内容10.1 飞机横航向动稳定性10.1.2 典型的横航向运动模态10.1.3 滚转模态 10.1.4 螺旋模态 10.1.5 滚转--螺旋模态 10.1.6 荷兰滚模态 10.2 飞机横航向动操纵性10.2.1 副翼的操纵反应 10.2.2 方向舵的操纵反应 小结
由组成的四阶方程，对于正常布局的飞机，它由一个负的大实根、一对实部为负的共轭复根和一个小的实根（可正可负）组成。 10.1.2 典型的横航向运动模态 ,,,p r βφ滚转模态 荷兰滚模态 螺旋模态负的大实根负的共轭复根 小的实根
对应于特征方程中的一个大的负实根； 其特征是衰减很快的非周期运动，其振幅衰减一半的时间仅为零点几秒； 受横侧扰动后，飞机绕机体轴的单自由度滚转，收敛过程很快。运动变量是滚转角速度和滚转角； 飞机具有较大的横向阻尼（来源机翼），运动衰减快，一般均能满足品质要求。 1.滚转模态 ,p φlp C
飞机横航向运动中最重要的模态； 对应特征方程中的一对共轭复根，滚转角、侧滑角和偏航角的量级相同； 偏航运动略超前滚转，即左偏航时右滚转。飞机重心沿直线轨迹前进，颇似荷兰人的滑冰动作而得名； 模态频率高，周期约为数秒至十几秒，介于纵向长、短周期之间。品质规范对其特性有严格要求。 ,,βφψ荷兰？
3.螺旋模态 对应特征方程中的一个小实根； 特征是衰减缓慢的非周期运动，运动变量为偏航角和滚转角； 允许其特征根为一小的正根，由于运动不 稳定时呈螺旋状而得名； 运动缓慢，半幅或倍幅时间长，约上百秒，易于纠正，对其模态特性要求不高。 ,ψφ
非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性 在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. §6.1 引言 考虑微分方程 (,)d f t dt =x x (6.1) 其中函数(,)f t x 对n D R ∈?x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设 方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ?-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)T n x x =x 的范数取1 221 ()n i i x ==∑x . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足
飞机的稳定性和操纵性
第三章飞机的稳定性和操纵性 飞机的稳定性 在飞行中，飞机会经常受到各种各样的扰动，如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态，而在偏离以后，飞机能否自动恢复原状，这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。 飞机的稳定性是飞机本身的一种特性，与飞机的操纵性有密切的关系。例如，飞行员操纵杆、舵，需要用力的大小，飞机对杆、舵操纵的反应等，都与飞机的稳定性有关。因此，研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。 所谓飞机的稳定性，就是在飞行中，当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态，并在扰动消失以后，不经驾驶员操纵，飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。 纵向稳定性 飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。 当飞机处于平衡飞行状态时，如果有一个小的外力干扰，使它的攻角变大或变小，飞机抬头或低头，绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。当外力消除后，驾驶员如果不操纵飞机，而靠飞机本身产生一个力矩，使它恢复到原来的平衡飞行状态，我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态，就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复，也不远离，总是上下摇摆，就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。 飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面，我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。
当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时，如果一阵风从下吹向机头，使飞机机翼的攻角增大，飞机抬头。阵风消失后，由于惯性的作用，飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大，从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下，使机头下沉。经过短时间的上下摇摆，飞机就可恢复到原来的飞行状态。 同样，如果阵风从上吹向机头，使机头下沉，飞机攻角减小，水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩，使飞机抬头，经过短时间的上下摇摆，也可使飞机恢复到原来的飞行状态。 除水平尾翼外，飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机，其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是：重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机，当飞机受扰动而增大攻角时，机翼产生的附加升力是使机头上仰，攻角进一步增大，形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力，使机头下俯，攻角减小，保证飞机的纵向稳定性。 方向稳定性 飞机的方向稳定性是指飞机绕立轴的稳定性。 飞机的方向稳定力矩是在侧滑中产生的。所谓侧滑是指飞机的对称面与相对气流方向不一致的飞行。它是一种既向前、又向侧方的运动。 飞机带有侧滑时，空气则从飞机侧方吹来。这时，相对气流方向与飞机对称面之间的夹角称为“侧滑角”，也称“偏航角”。 对飞机方向稳定性影响最大的是垂直尾翼。另外，飞机机身的侧面迎风面积也起相当大的作用。其它如机翼的后掠角、发动机短舱等也有一定的影响。 当飞机稳定飞行时，不存在偏航角，处于平衡状态。如果有一阵风突然吹来，使机头向右偏(此时，相对气流从左前方吹来，称为左侧滑)，便有了偏航角。阵风消除后，由于惯性作用，飞机仍然保持原来的方向，向前冲一段路程。这时相对风吹到偏斜的垂
高等数学 简明二阶微分方程讲义
高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为
微分方程稳定性分解
带有时滞的动力系统的运动稳定性 分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。 对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。 在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。 但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>
3第三章 飞机的稳定性和操纵性上课讲义
第三章飞机的稳定性和操纵性 3.1 飞机的稳定性 在飞行中，飞机会经常受到各种各样的扰动，如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态，而在偏离以后，飞机能否自动恢复原状，这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。 飞机的稳定性是飞机本身的一种特性，与飞机的操纵性有密切的关系。例如，飞行员操纵杆、舵，需要用力的大小，飞机对杆、舵操纵的反应等，都与飞机的稳定性有关。因此，研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。 所谓飞机的稳定性，就是在飞行中，当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态，并在扰动消失以后，不经驾驶员操纵，飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。 3.1.1 纵向稳定性 飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。 当飞机处于平衡飞行状态时，如果有一个小的外力干扰，使它的攻角变大或变小，飞机抬头或低头，绕横轴上下摇摆(也称为俯仰运动)。当外力消除后，驾驶员如果不操纵飞机，而靠飞机本身产生一个力矩，使它恢复到原来的平衡飞行状态，我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态，就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复，也不远离，总是上下摇摆，就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。 飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面，我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。 当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时，如果一阵风从下吹向机头，使飞机机翼的攻角增大，飞机抬头。阵风消失后，由于惯性的作用，飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大，从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下，使机头下沉。经过短时间的上下摇摆，飞机就可恢复到原来的飞行状态。 同样，如果阵风从上吹向机头，使机头下沉，飞机攻角减小，水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩，使飞机抬头，经过短时间的上下摇摆，也可使飞机恢复到原来的飞行状态。 除水平尾翼外，飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机，其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是：重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机，当飞机受扰动而增大攻角时，机翼产生的附加升力是使机头上仰，攻角进一步增大，形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力，使机头下俯，攻角减小，保证飞机的纵向稳定性。
常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程
2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）
微分方程稳定性理论简介
第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则
飞机稳定性和操作性分析(2)
毕业设计（论文）任务书 I、毕业设计(论文)题目： 飞机稳定性和操作性分析 II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求： 原始资料： 给定某飞机原始数据 设计技术要求： 1．进行飞机稳定性和操纵性等因素计算。 2．用C或Matlab语言编制计算程序。 3．用给定某飞机机型调试程序； 4．进行理论计算：计算结果以数据表和曲线形式给出。 5．对计算结果进行分析，写出分析报告。 III、毕业设计(论文)工作内容及完成时间： 1．收集有关资料，并完成开题报告； 3.10.－3.17 1周2．相关外文文献资料的阅读与翻译（6000字符以上） 3.17－3.31 2周3．用C或Matlab语言编制计算程序； 3.31－4.28 4周4．调试程序，进行理论计算； 4.28－5.26 4周5．对计算结果进行分析，整理分析报告； 5.26－6.14 3周6．撰写毕业论文及答辩准备； 6.14－6.20 1周
Ⅳ、主要参考资料： [1].飞机设计手册总编委会编，飞机设计手册，航空工业出版社，2005.10； [2]．李为吉编，现代飞机总体综合设计，西北工业大学出版社，2001.12； [3]．李为吉编，飞机总体设计，西北工业大学出版社，2005.1； [4]．顾诵芬编，飞机总体设计，北京航空航天大学出版社，2006.12；； [5]．潭浩强编，C程序设计，清华大学出版社，1991.7； [6]．Proceedings of the International Symposium on, Advancement of Aerospace Education and Collaborative Research in the 21st Century, June 17-19,2004,HANKUK AVIATION UNIVERSITY. 飞行器工程学院（系）飞行器设计与工程专业类班 学生（签名）： 日期：自2016 年 3 月10 日至2016 年 6 月20日 指导教师（签名）： 助理指导教师(并指出所负责的部分)： 飞行器设计工程系（室）主任（签名）：何国毅 附注:任务书应该附在已完成的毕业设计说明书首页。
3第三章飞机的稳定性和操纵性上课讲义
精品文档 第三章飞机的稳定性和操纵性 3.1 飞机的稳定性 在飞行中，飞机会经常受到各种各样的扰动，如气流的波动、发动机工作不稳定、飞行员偶然触动驾驶杆等。这些扰动会使飞机偏离原来的平衡状态，而在偏离以后，飞机能否自动恢复原状，这就是有关飞机的稳定或不稳定的问题。 飞机的稳定性是飞机本身的一种特性，与飞机的操纵性有密切的关系。例如，飞行员操纵杆、舵，需要用力的大小，飞机对杆、舵操纵的反应等，都与飞机的稳定性有关。因此，研究飞机的稳定性是研究飞机操纵性的基础。 所谓飞机的稳定性，就是在飞行中，当飞机受微小扰动而偏离原来的平衡状态，并在扰动消失以后，不经驾驶员操纵，飞机能自动恢复原来平衡状态的特性。 3.1.1 纵向稳定性 飞机的纵向稳定性是指飞机绕横轴的稳定性。 当飞机处于平衡飞行状态时，如果有一个小的外力干扰，使它的攻角变大或变小，飞机抬头或低头，绕横轴上下摇摆（也称为俯仰运动）。当外力消除后，驾驶员如果不操纵飞机，而靠飞机本身产生一个力矩，使它恢复到原来的平衡飞行状态，我们就说这架飞机是纵向稳定的。如果飞机不能靠自身恢复到原来的状态，就称为纵向不稳定的。如果它既不恢复，也不远离，总是上下摇摆，就称为纵向中立稳定的。飞机的纵向稳定性也称为俯仰稳定性。 飞机的纵向稳定性由飞机重心在焦点之前来保证。影响飞机纵向稳定性的主要因素有飞机的水平尾翼和飞机的重心位置。下面，我们首先来看一下水平尾翼是如何影响飞机的纵向稳定性的。 当飞机以一定的攻角作稳定的飞行时，如果一阵风从下吹向机头，使飞机机翼的攻角增大，飞机抬头。阵风消失后，由于惯性的作用，飞机仍要沿原来的方向向前冲一段路程。这时由于水平尾翼的攻角也跟着增大，从而产生了一个低头力矩。飞机在这个低头力矩作用下，使机头下沉。经过短时间的上下摇摆，飞机就可恢复到原来的飞行状态。 同样，如果阵风从上吹向机头，使机头下沉，飞机攻角减小，水平尾翼的攻角也跟着减小。这时水平尾翼上产生一个抬头力矩，使飞机抬头，经过短时间的上下摇摆，也可使飞机恢复到原来的飞行状态。 除水平尾翼外，飞机的重心位置对纵向稳定性也有较大的影响。重心靠后的飞机，其纵向稳定性要比重心靠前的差。其原因是：重心与焦点距离小攻角改变时产生的附加力矩减小。对于重心靠后的飞机，当飞机受扰动而增大攻角时，机翼产生的附加升力是使机头上仰，攻角进一步增大，形成不稳定力矩。这时主要靠水平尾翼的附加升力，使机头下俯，攻角减小，保证飞机的纵向稳定性。 精品文档
常微分方程讲义 (2)
常微分方程讲义（一） 课程目标： 掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。上课方式： 课堂讲授、练习与考试。 课程特点： 承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。 参考书目： 《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。 为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？ 注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。 微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。 什么是方程？)(x y 。 f 什么是微分方程？ dy的方程； 常微分方程：含有dy、dx、 dx
偏微分方程：含有y ?、x ?、x y ??的方程。 x y ??的几何含义：割线、割线的斜率 dx dy 的几何含义：切线、切线的斜率 dx dy x y x =??→?0lim ：数学上——切线的斜率，导数 经济上——变化率，边际 例：求2x y =与x e y =的导数 应当记下来的等式： 1)'(-=n n nx x ，c x dx nx n n +=?-1 x x e e =)'(，c e dx e x x +=? x x 1 )'(ln =，C x dx x +=?ln 1 x x cos )'(sin =，?+=C x xdx sin cos x x sin )'(cos -=，?+=-C x dx x cos )sin ( x tgx 2sec )'(=，?+=C tgx xdx 2sec x ctgx 2csc )'(-=，?+=-C ctgx dx x )csc (2 0)'(=C k kx =)'( '')'(b a b a +=± '')'(ab b a ab += 2' ')'(b ab b a b a -= '')])'([(g f x g f =
飞机横航向稳定性分析
编号 毕业设计题目飞机横航向稳定性分析 学生姓名 学号 学院 专业 班级 指导教师 二〇一六年六月
本科毕业设计（论文）诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）（题目：）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。尽本人所知，除了毕业设计（论文）中特别加以标注引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。 作者签名：年月日 （学号）：
飞机横航向稳定性分析 摘要 飞机的稳定性是保证飞行安全的最基本要求，本文主要目的是对常规布局飞机的横航向稳定性进行分析，并利用Matlab编写程序来实现飞行器横航向稳定性分析；我们首先建立飞行器的运动学方程和动力学方程，得到飞行器正常飞行的力学模型，利用模型充分研究影响飞行器横航向稳定性的因素后，为了利用矩阵工具对方程进行求解，我们采用合理方法使飞行器运动方程线性化；线性化后我们发现飞机的横、纵向方程并不耦合，我们把飞机横向线性方程分离出来，并将其整理成矩阵形式，然后求出矩阵的特征值和特征向量，利用特征值与飞行模态的对应关系就可以确定飞机的稳定性 关键词：稳定性，运动方程，建模，线性化
Aircraft lateral and directional stability Analysis System Abstract The stability of the aircraft is the most basic requirements to ensure flight safety, the main purpose of this article is lateral and directional stability of the general layout of the aircraft for analysis and programming using Matlab to achieve the aircraft lateral and directional stability analysis; we first establish the kinematics of the aircraft equation and dynamic equation, the mechanical model of aircraft normal flight, the full study using the model aircraft after the impact factors of stability cross course, in order to take advantage of tools matrix equation is solved, we have adopted a reasonable approach enables linear equations of motion of the aircraft; linearization we found that the aircraft's horizontal and vertical coupling equation does not, we separated the plane transverse linear equations, and organized into a matrix, and then find the eigenvalues and eigenvectors using the eigenvalues and the corresponding flight modes relations can determine the stability of the aircraft Key Words：Stability; Equations of motion; Modeling; Linearization
微分方程稳定性
目录 摘要 ............................... 错误!未定义书签。ABSTRACT ............................ 错误!未定义书签。前言 ............................... 错误!未定义书签。微分方程稳定性分析原理.................. 错误!未定义书签。捕鱼业的持续收获模型 ................... 错误!未定义书签。种群的相互竞争模型..................... 错误!未定义书签。参考文献 ............................ 错误!未定义书签。
摘要 微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。 【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模
ABSTRACT Differential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences. Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models. 【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling
飞机的稳定性能
飞机的稳定性能 飞机在空中飞行，要求纵向运动应具有静稳定性，即绕飞机横轴的运动静稳定性;而且也要求飞机绕横轴和竖轴运动也具有静稳定性。从机头贯穿机身到机尾的轴叫纵轴（Ox轴），从左翼通过重心到右翼并与纵轴垂直的轴叫横轴（Oy轴）。这两根轴同处在一个平面内，比如水平面内。通过重心并和上述两根轴相垂直到轴叫竖轴（Oz轴）。飞机在铅垂平面（即Oxz平面）内的运动，称为纵向运动；绕横轴Oy的转动叫俯仰运动；绕竖轴Oz的转动叫偏航运动；绕纵轴Ox的转动叫滚转运动。 为了满足飞机的纵向静稳定性，飞机焦点位置和飞机重心位置之间的关系必须满足ΔCm/ΔCL>0。当飞机外形一定时，飞机焦点位置是确定的，反过来就要求在飞机使用过程中的重心位置必须位于允许重心变化的范围内才行。重心的后限是由静稳定性要求确定的，它不能跑到飞机焦点位置的后面去。重心也有前限，重心前移可以增加飞机的静稳定性，但并不是静稳定性越大越好。例如，静稳定性过大，升降舵的操纵力矩就难以使飞机抬头增加迎角获得CL,max。换句话讲，是操纵性要求限制了重心前限。 同要求飞机绕横轴的运动具有纵向静稳定性一样，要求飞机绕竖轴和纵轴运动也应具有静稳定性，并分别称为方向静稳定性和横向静稳定性。 飞机具有横向静稳定性是指处于纵向平衡状态的飞机，一旦受到外界的干扰，打破了原先对飞机纵轴的力矩平衡，产生绕纵轴Ox的倾斜角φ；当外界干扰消除后，飞机靠自身产生的一个恢复力矩，有自动减小倾斜角φ和恢复原先平衡的趋势。保证飞机具有横向静稳定性的主要外形参数是机翼的后掠角和上反角。 跨声速或超声速飞机，为了减小激波阻力，大都采用了后掠角比较大的机翼，因此后掠角的横向静稳定性作用可能过大。所以，可以采用下反角（负的上反角）的外形来削弱后掠机翼的横向静稳定性。低、亚声速飞机大都为梯形直机翼，为了保证飞机的横向静稳定性要求，或多或少都有几度大小的上反角。
基础讲义(下)复习过程
2015基础讲义(下)
2015年考研数学基础班讲义(下) 武忠祥 第 七 章 微 分 方 程 考 试 内 容 概 要 （一）常微分方程的基本概念 1.微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。简称方程。 2.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 3.微分方程的解 满足微分方程的函数，称为该方程的解。 4.微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。 5.微分方程的特解 微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。 6.初始条件 确定特解的一组常数称为初始条件。 7.积分曲线 方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。 （二）一阶微分方程 1.可分离变量的方程 能表示为x x f y y g d )(d )(=的方程，称为可分离变量的方程. 求解的方法是两端积分 .d )(d )(??=x x f y y g 2. 齐次方程 能化为 ?? ? ??=x y dx dy ?的微分方程称为齐次微分方程.
求解齐次微分方程的一般方法为：令x y u = ，则u x u y '+='，从而将原方程化为u u u x -=')(?，此方程为可分离变量的方程。 3. 线性方程 形如)()(x Q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。 求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，或直接利用以下通解公式 .d e )(e d )(d )(?? ????+??=?-C x x Q y x x p x x p 4. 伯努利方程 （仅数学一要求） 形如n y x Q y x p y )()(=+'的方程)1,0(≠n ，称为伯努利方程。 求解伯努利方程的一般方法为：令n y u -=1，将原方程化为一阶线性微分方程。 5. 全微分方程（仅数学一要求） 如果方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 的左端是某个函数),(y x u 的全微分： y y x Q x y x P y x du d ),(d ),(),(+= 则称该方程为全微分方程。 此方程的通解为 C y x u =),( 求),(y x u 有以下三种方法 1）偏积分 2）凑微分 3）线积分 当),(),,(y x Q y x P 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数时，方程 0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是全微分方程的充要条件是 x Q y P ??=??
常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理
常微分方程考研讲义第三章－一阶微分方程解的存在定理
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第三章一阶微分方程解的存在定理 ［教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法,熟练近似解的 误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点］解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 ［教学方法] 讲授,实践。 ［教学时间]12学时 ［教学内容]解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标］ 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2．熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3．利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程
常微分方程讲义word版
常微分方程讲义（三） 常微分方程的初等积分解法： 1、可分离变量方程 ??=?=dx x g dy y h y h x g dx dy )() (1)()( 2、齐次方程（一般含有 x y y x 或的项） ),(y x f dx dy =，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dx du x ==+ 例：x y xtg y xy =-' 例：3 4 4 322xy x y y x dx dy --= 例：2 2 2y x xy dx dy += 例： 1)0(,322 2=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dx dy x -+= 3、一阶线性非齐次方程 ?+=)()(x b y x a dx dy 常数变易法 或])([)()(?+?? =-C dx e x b e y dx x a dx x a 例：e y e y dx dy x x ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dy x 例：2 11'x xy y --=
例：2 12 22sin 22sin 1x e y x dx dy y x ++=+ 4、贝努利方程 n y x b y x a dx dy )()(+= 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，代入得： )()1()()1()()(1x b n z x a n dx dz x b y x a dx dy y n n +++=?+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次 例：)1(22y x xy dx dy += 例： xy y x dx dy -=sin 12 例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例： 21 1y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M 第一种情况：若 x N y M ??=?? 则??+=y y x x d x N d y M y x u 0 ),(),(),(0ηηξξ 或??+=y y x x d x N d y M y x u 0 ),(),(),(0ηηξξ 方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例： 02 2=+-y x ydx xdy