浅谈函数模型在生活中的应用

本科生毕业论文（设计）

题目： 浅谈函数模型在生活中的应用

院 （系） 数学与统计系

专 业 班 级 数学与应用数学2009级2班

学 生 姓 名 雒 兴

指导教师（职称） 王彦海（副教授）

提 交 时 间 二〇一三 年 五 月

学

号 2009211336

分类号 242

安康学院学位论文独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.

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作者签名：日期：

浅谈函数模型在生活中的应用

雒兴

（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）

摘要函数模型是数学模型重要的组成部分之一。（Mathematical Model）这个名词早就为科学界、工程界，甚至经济学界所熟知，因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的。今天人类社会正处在由工业化向信息化社会的过渡的变革。以数字化为特征的信息社会有两个显著特点：随着计算机技术的飞速发展与广泛应用；数学的应用向一切领域渗透。随着计算机技术的飞速发展，科学计算的作用越来越引起人们的广发重视，它已经与科学理论和科学实验并列成为人们探索和研究自然界、人类社会的三大基本方法。为了适应这种社会的变革建立数学模型就应运而生并且成为了一门学科。数学建模时对现实世界的特定对象，为了特定的目的，根据特有的内在规律对其进行必要的抽象、归纳、假设和简化，运用适当的数学工具建立的一个数学结构。而在这门学科中函数是最重要的工具性知识之一，其涉及的内容十分广泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数的模型加以解决，比如经济中的利润最值问题，生物的细胞分裂文图，测量问题等等。

关键词数学模型函数模型人口模型

Shallowly discuss function model in the application of life

Luo Xing

（Department of mathematics and statistics, Ankang University, Shaanxi Ankang,

725000)

Abstract Function model is one of the important component of the mathematical model. (Mathematical Model) The term early to science, engineering and economics, because they are to study in this way they have to deal with problems. Today's human society is in transition from industrialization to informatization society change.Characterized by digitalization of the information society, there are two significant features, with the rapid development of computer technology and widely used. Application of mathematics permeates all areas. With the rapid development of computer technology, the role of scientific computing has become more and more aroused people's wide hair negotiable. It is in company with scientific theories and scientific experiments ,which makes people explore and research the nature of the three basic methods of human society.In order to adapt to this change of the society to establish a mathematical model,it is become a subject.Mathematical modeling as the specific objects in the real world, for a specific purpose, according to the characteristic of the inherent law of necessary abstract, induction and hypothesis and simplified, using appropriate mathematical tools to establish a mathematical structure.And in the subject function is one of the most important instrumental knowledge, its content is very extensive.In actual production and life, there are a large number of practical problems must be resolved depend on the function of the model, such as the profit the most value problems in economic, biological cell division diagram, measurement problems and so on.

Key words M athematical models Functional model The population model

目录

摘要.............................................................. I Abstract........................................................... II 前言.. (1)

正文 (2)

1.如何建立函数模型 (2)

2. 常见函数几类主要的模型 (3)

2.1 线性函数 (3)

2.2 非线性函数 (4)

3.几种常见函数模型案例 (8)

3.1 油耗与里程 (8)

3.2 除雪问题 (10)

3.3 利润最大化问题 (11)

3.4 整数规划模型 (12)

结束语 (13)

参考文献 (15)

致谢 (16)

前言

数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评,对教师的工作业绩的评定以及诸如访友，采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。

在利用数学方法分析和解决实际问题时，要求从实际错综复杂的关系中找出其内在的规律，然后用数学的语言--即数字、公式、图表、符号等刻画和描述出来，然后经过数学与计算机的处理--即计算、迭代等得到定量的结果，供人们进行分析、预报、决策和控制，这种把实际问题进行合理的简化假设归结为数学问题并求解的过程就是建立数学模型，简称建模。而这种成功的方法和技术反映在培养专门人才的大学教学活动中，就是数学建模教学和竞赛。数学建模简而言之就是应用数学模型来解决各种实际问题的过程，也就是通过对实际问题的抽象、简化、确定变量和参数，并应用某些规律建立变量与参数间的关系的数学问题(或称一个数学模型)，再借用计算机求解该数学问题，并解释、检验、评价所得的解，从而确定能否将其用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。

正 文

1.如何建立函数模型

建立函数模型的步骤大体可以归纳以下几点：

1.对某个实际问题进行分析以及观察（重点是抓住主要方面）；

2.作出合理的假设也就是对实际问题进行抽象、简化（往往是很不容易的）；

3.确定要建立函数模型中的变量以及参数；

4.根据某种定律（通常是已知的各学科中的规律，也可能是经验的规律），建立变量和参数间确定的数学关系（明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型），这是一个非常具有难度和挑战性的数学问题；

5.解析或尽可能近似地求解该数学问题，这往往涉及复杂的数学理论和方法，其中包括近似方法和算法；

6.计算结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象，或用某种方法（例如，历史数据、实验数据或现场测试等）来验证模型是否正确；

7.如果第6步的结果是成立的，那么就可以付之试用；如果是不成立的，那就要回到第1~6步进行仔细分析，重复上述建立的过程。

因此，数学建模用框图表示如下：

通过 不通过 解释、验证 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型） 利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系（数学问题，这个层次上的一个数学模型） 观察、分析实际问题 抽象、简化，确定变量和参数 可应用该数学模型

2. 常见函数几类主要的模型

2.1 线性函数

2.1.1.一次函数（线性函数） 定义：在某一个变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果可以写成ax y =(a 为常数，叫做定量)，那么我们就说y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 在人们的生活实践中，通常会遇到怎么利用现有资源来计划生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划，而线性规划(LinearProgramming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

2.1.2 线性规划的实例与定义

例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为5000 元与4000 元。生产甲机床需用 A 、B 机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床需用 A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时间分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台时，才能使获得总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则 1x ，2x 应满足

（目标函数） max z =50001x + 40002x (1)

???????≥≤≤+≤+0

,78102.2122121x x x x x x x t s (2) 这里变量 1x ,2x 称之为决策变量，（1）式被称为目标函数，（2）中的几个不等式是约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数以及其约束条件均为线性函数，所以被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或者最小值的问题。在解决实际生活中的问题时，要把问题归结成一个线性规划数学模型是特别重要的一步，但往往也是比较困难的一步，模型建立得是否恰当，将直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

由此我们可以得到一般线性规划的数学标准型为：

∑==n

j j j x c z 1max

??

???=≥==∑=.,2,1,0,,2,1,.1n j x m i b a t s j n

j i ij 其中0≥i b ,i =1,2…m .

2.2 非线性函数

在实际的生活中我们通常会遇到类似这样的问题：某企业有n 个工程可供选择投资，并且至少要对其中一个工程投资。已知该企业拥有总资金为A 元，投资于第()n i i ,1=个工程需金i a 元，预计可收益i b 元。试选择一个最佳的投资方案。 像上面的问题如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规问题。一般的，解非线性要比解线性规划问题复杂得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一较为通用方法，非线性规划目前还没有一种适于各种问题的一般算法，各个方法都有其特定的适用范围。

上面的问题解答：

设投资决策变量为

(),,2,1,0,1n i i i x i =???=个项目

决定不投资第个项目决定投资第 则投资总额为∑=n i i i x a 1，投资总收益∑=n

i i i x b 1。因为该公司至少要对一个工程投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故其限制条件应为

A x a n i i i ≤<∑=10,

另外，由于i x (i =n ,1)只能取0或1，所以还有

)1(i i x x -=0，i =1，…，n .

最佳投资方案应是以最少的投资从而获得总最大的收益方案，所以这个最佳投资决策问题归结为极大化总收益和总投资之比，在总资金以及决策变量(取0或取1)的限制条件下。因此，其数学模型为

∑∑===n

i i i n i i i x

a x

b Q 11

max ， ()?????==-≤<∑=n

i x x A x a t s i i n i i i ,,1,010.1 上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式：

(),x f Min =

()()???=≤00.x g x h t s i

i ()p i q j ==,,1 其中：x =[1x ,…n x ]为上述模型的决策变量，f 成为目标函数，

i g (i =1,…,p)和i h (j =1,…,q)成为约束函数。另外()0=x g i (i =1,…,p)成()0≤x h i (j =1,…,q)称为不等式的约束。

对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：

(1)确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料以及数据，在全面熟悉问题的基础上，再确问题的可供选择的方案是认什么，并用一组变量来表示它们。

(2)提出追求目标：经过分析资料，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且利用各种科学和技术原理或规律，把它表示成与数学相关的关系式。

(3)给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“不好”的判断标准，并用某种数量关系形式来判定它。

(4)寻求限制条件：由于所追求的目标通常都要在一定条件下取得极小化或极大化目的，因此还需要寻找出问题的所有约束条件，这些条件通常用变量之间的一些等式或不等式来表示。

2.2.1二次函数模型

目标函数：()c bx ax x f ++=2其中c b a ,,为常数。

限制条件：()???<<<<,

,n x m B x f A

二次函数的图象是一条抛物线，具有对称性，并且这一函数在实数域上的单调性是有增有减的。运用二次函数的有关知识解决实际问题，是比较常见的问题之一，例如求销售利润的最值问题、几何图形变换中建立函数关系式的问题、以抛物线形为基础的实际问题都需要在实际的情景中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，建立数学模型。

有关二次函数的应用问题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类，一类不需要建立平面直角坐标系，这类题目关键是要求出二次函数的解析式，二次函数的解析式分为顶点式，一般式和交点式，要根据实际问题所给的条件选择合适的解析式，接着只需运用二次函数的主要性质 ,如单调性、奇偶性、对称性、最值等，必要时结合二次函数图形求解出函数模型。另一类就是必须建立平面直角坐标系。这类题呈现的方式主要是以抛物线为基础的实际问题，如拱桥问题，首先要将拱桥抽象为抛物线，然后结合实际问题中的条件，建立坐标系求出抛物线的解析式。平面直角坐标系选择的一般原则是使得出的二次函数的解析式最简单，因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置。

综上可知不管是哪类二次函数模型题最终都是通过二次函数解析式来解决问题的。

2.2.2 三角函数模型

能够用三角函数表达的数学模型即三角函数模型。比如正弦函数的解析式可表示为sin()y A x ω?=+，其余五个三角函数的解析式与正弦函数类似。三角函数最显著的性质就是周期性和对称性，因此三角函数模型通常是用来描述客观世界中具有周期性变化现象的数学模型。在数学和其他学科领域中，三角函数模型具有非常广泛的应用,它是高中数学乃至高等数学的重要基础知识之一。

将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见的形式有：求出三角函数的解析式；画出三角函数的图像以及利用函数的性质进行解题。这类题型常常与航海、测量角度、摆动、振动等问题联系在一起，也会涉及一些几何图形，题中常会出现坡度、仰角、俯角、视角、方向角和方位角等术语。解三角函数模型常出现的情形是：实际问题抽象后，已知量与未知量集中在一个、两个甚至几个三角形中，再使用正弦定理、余弦定理或三角函数的相关性质如周期性、最值、单调性、对称性等解题。为了解题方便，应尽量将已知或未知量集中在一个三角形中，而且通常设角为变量，之后再建立解三角形的数学模型。当然三角函数模型并不是只局限于以角为自变量，生活中许多实际问题中的事物之间也存在三角函数关系，这时就需要利用三角函数模型才能得以解决。

2.2.3 指数和对数函数模型

在数学中指数函数模型是指一类能用指数函数表达的数学模型，形如(01,)x y a a a x R =>≠∈且的函数叫做指数函数。类似地，对数函数模型：指能用

对数函数表达的函数模型，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫做对数函数。由

于指数函数与对数函数互为反函数，在这里不妨将两者放在一起讨论。考虑底数1a >时的情况：指数函数增长的特点是随着自变量的增大函数值增大的速度越来越快，而对数函数增长的特点恰恰相反，它随着自变量的增大，函数值增加的速度越来越小[6]。对应地，当01a <<时，也可以得出相似的结论，只不过此时两个函数都是单调递减的。在一定程度上指数函数、对数函数是具有相似性的，但是相似之中又存在某些差异，致使二者在实际问题中的应用也有所区别。

由于指数函数这种爆炸性增长方式的特点，使得指数函数模型多适用于细胞分裂、人口增长、银行利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活问题中。而对数函数的增长方式常被形象地称为能量渐失，因此在价格与利润，收入与成本、人口等生产、生活及航天等领域对数函数模型有着比较广泛的应用。

有关这两个函数模型构造的应用题中，题型一般可以分为给定函数模型和不给定函数模型这两类。如果是给定函数模型的题目难度一般不是很大，只需能够应用这两种函数的性质，套用相关公式，对问题进行定量分析就行了。如果是不给定函数模型的题目，就需要先建立相关函数模型。在建立函数模型方面，有的可以通过分步骤找规律得出函数关系式，有的则须通过题目所给数据进行绘制部分函数图象，由图象的直观性以及已知的熟悉的函数图象来猜测可能是哪种函数模型，比如处理人口问题时，就必须先根据题目所给的数据绘出部分图像，看看类似于学过的哪种函数的图像，将可能的这几种函数进行误差比较，最后确定出具体的误差最小的那个函数。要注意的是建立的函数模型与实际数据可能还会有一点点误差，但这是不可避免的，这样的模型称之为近似模型。

例2 有按复利计算利息的一种储蓄，设本金为1000元，每期利率为2.25%。不计利息税。

（1）计算10期后的本利和是多少？

（2）计算存款几期后本利和超过2000元？

问题解析 这是一道以银行储蓄为背景的应用题，涉及到建立指数函数模型，但要马上建立起指数函数模型难度还是相当大的，不妨先分析下题目：现有本金1000元，要求10期后的本利和，这里就又涉及到“复利”、“本利和”、“利息”等专业术语。要知道利息=本金?利率，本利和=本金+利息，接着可以先试着考虑1、2、3期后的本利和，看看有什么规律。至于第（2）题显然与第（1）联系，因此关键解决第（1）问。

模型的建立

决策变量：设存款期数为x

目标函数为

()x

y %25.211000+?= 约束条件

期数的限制 0≥x 且为整数

问题模型的求解

当期数,10=x 时2.1249%)25.21(100010≈+?=y 即第10期的本利和为1249.2元

当2000=y 元时，35.31=x 。即第32期是本利和超过2000元。

本题是以复利储蓄为实际背景的数学应用题，要解答本道题需要先建立指数函数模型，为此，必不可少的步骤是进行列举前几期本利和，从而找出本利和与存期之间的函数关系。一旦构造出指数函数模型，那么后面的问题只需运用指数函数、对数函数的有关性质就可以迎刃而解了。

3.几种常见函数模型案例

3.1 油耗与里程

例3 近年来由于石油短缺和禁运造成的能源危机，人们总是想要了解油料开支是怎么随车速而变化的。我们觉得以低速率和低速排挡行驶时，汽车转换能量的效率相对不高，而高速行时作用在汽车上的阻力会迅速增加。于是，人们就有了以下的期望。即存在一个或多个速率，汽车以这些速率行驶会产生最优的燃油里程(一加仑燃油能行驶的最大英里数）。那么在这个速率附近燃油里程与汽车速率有什么样的关系呢？

模型的分析与假设

让我们来考虑影响燃油里程的因素。

第一，存在着推动汽车前进的动力P F 。这些取决于燃油燃烧类型能提供的功率r P 、发动机转换潜在功率的效率η、齿轮比n 、空气的温度T 以及包括车速在内的许多其他因素．

第二，存在着阻碍汽车前进的阻力z F 。阻力包括依赖于汽车重量助摩擦应、车胎的类型和状况以及路面的状况。空气阻力是另—种阻力，它依赖于：车速、车辆的表形状、风以及空气密度ρ。

第三，影响燃油里程的另一个因素与司机的驾驶习惯有关。以常速驾驶还是不断地加速?路面平坦还是崎呕?

因此，燃油里程是总结在下面的方程中的若干因素的函数：

燃油里程＝f (推进力，阻力，驾驶习惯，等等)

很清楚，如果要考虑车型、司机以及道路情况的所有可能的组合，对原问题的回答将会很复杂。因为做这样的研究实在是心有余而力不足，所以我们要限制和简化待处理的问题。

在限制问题下，可以认为诸如空气的温度T 、空气密度ρ以及道路状况那样的环境件都是不变的．因为我们已经规定了司机正在驾驶着的车，确定了车胎的状况、车的形状和表面及燃油的种类。通过限制高速公路的驾驶速率是在最优速率附近，得到了发动机效率η不变及车速变化小时齿轮比n 不变的简化假设。最终我们得到了燃油里程的变化只与推进力p F 和阻力z F 之间存在关系。

模型的建立

原问题是要解决燃油里程与汽车最优速率的关系，上面排除其他因素对燃油里程的影响。那么，现在我们只要确定推进力p F 和阻力z F 与最优速率u 之间关系就可以了。

通过牛顿第二定律可以得出：

p F =z F

首先考虑推进力。每加仑汽油包含一定的能量，记为K 的能量。如果r C 表示单位时间燃烧掉的燃油的量，那么K C r η就表示该车可利用的功率。假设功率转换率是不变的即发动机的转化效率η不变，因为对于常力而言，功率等于力和速度的乘积．这种论证就给出下面的关系

u

K C F r p η= 现在来考虑阻力，与空气的阻力相比较，假设摩擦力很小是合理的。在高速公路的速率下，这些阻力的一个有意义的模型为

2Su F z =

其中S 为汽车运动中的受阻率为常数。

我们知道燃油里程的定义： 燃油里程为 ()油耗

距离=u f 由此我们可以得到燃油里程和速度之间的模型(目标函数)

()2su

k u f η= (3) ?

??<<<<55010.u t s η 模型的结果分析

以上模型能够帮助我们解释汽车油耗的某种有用的定量信息。首先尽管方程

(3)中的能量关系看起来给人印象深刻，但它只是在限制的速度范围内才是有效

的。有赖于比例常数的大小，在那个限制范围里这个关系才可能是几乎线性的。不要忘记在我们的分析中曾经忽略了许多因素，而假设了某些重要的因素是不变的(常数)．因此，我们的模型的用途也只限于在限制使率的范同上的定性解释。

3.2 除雪问题

例4 冬天经常会降大雪，路上堆满了积雪会影响交通，需要用除雪机来清扫积雪。有条10公里长的路，每当路面平均积雪0.5米时，就需要用除雪机清理路面但问题是往往在开始时天空仍在下雪。这样雪的深度慢慢增加，除雪机工作速度慢慢下降，直到无法工作。

下雪的大小影响除雪机的工作速度。那么除雪机能否完成这10公里长路程的除雪工作?当雪以多大的速率下多长时间除雪机就无法工作了?

假设与说明

①总共下了一个小时的雪。

②下雪的速度是可变的，但下得最大时地面上雪深度的增加量为每秒0．1厘米。

③当雪的深度达到1．5米时陈雪机将无法工作。

④在没有雪的路面上，除雪机的行驶速度为10米／秒。

(3)模型的建立：

首先，我们不妨假设：除雪机的行进工作速度u 的降低与雪的深度成正比关系。如果u 的单位为米每秒．d 的单位为米，我们建立一个模型：

u ：10m/s →0m/s

d :0m →1.5m

??

? ??-=d u 32110 ](5.1,0∈d （4） 下雪的速度在下雪的一个小时内是可变的。但是为了函数的模型简化，假设下雪速度在一个小时之内保持不变，记为c R （cm/s ）。因为雪的厚度在t 秒内增加为t R c 厘米，即100

t R c 米，从而得到某时刻雪的总厚度为 d =0.5+100

t R c （5） 由（4），（5）可以得到t 秒后除雪机的除雪速度为

u =310（2-50

t R c ） （6） 另外可以得出除雪机行驶的距离：

S =?u d t

从而我们可以得到除雪机工作行进的距离和下雪速度以及时间之间的关系的函数模型

30

320max 2

t R t S c -= ](???

????∈??? ??-=≥<<5.1,0,321100

1000..d d u R R t t s c c 模型的求解

由上面的模型可以得到5.0=d 米是除雪机的速度为6.7m/s.由除雪机工作开始经过c

R 200秒后除雪机就无法再工作了。 模型的计算结果与分析

由于上述问题中降雪的速度c R 是可变的但如果只研究极短的一段时间的话可以认为是不变的。所以上述模型应用只能得降雪速度的变化不是很快的情况下。

3.3 利润最大化问题

例5 葛先生家里今年苹果大丰收想要自己运出去卖，首先他去果品包装公司了解了一下包装材料的价格等情况如下表：

价格

材料

元/个 Kg/个 纸箱 2.4

0.5 垫板 0.05

0.03 网套 38/2000

0.001 隔档 0.05

0.1

现如今有两种包装方案：

1.箱子+垫板+网套+苹果。这种方案需要10人包装7天每人的人工费80元/天。

2.箱子+垫板+网套+隔档+苹果。由于这种方案包装比较复杂所以需要10人8天完成人工费认为80元/天。（每箱使用两个隔档）

以上的两种方案包装完成后都是每个箱子重5kg.共有20000kg 苹果.

重量

方案一平均每箱使用15个网套方案二平均每箱使用12个网套总运费为15000元。 完成包装后的按箱子来卖每箱35元；哪种包装获得的利润更大？

问题的假设与说明：

首先，利润=总价-成本，现在来看看方案一的总价：方案一的包装方法可以装2122箱可以卖74270元。方案二可以装2167箱可以75845卖元。

方案一的成本为（2.4+2?0.05?2+2000

38?15）?2122+5600元即11510元。方案二的成本12528元。

模型的建立

我们可以得出方案一的利润为47760元，方案二的例如为48317元。对于这个问题其实这样考虑更简单由于每箱卖35实际是把苹果和材料都当作苹果来卖那么可以得到苹果单价可以认为7元/kg,那么方案一和二苹果都卖14万那么实际上引起方案一和二的利润不同是由于材料的差值引起的,为了使模型简化我们把其中两种网套的差可以认为零。那么引起两种方案的差值实际上就在方案二每箱多使用了两个隔档，假设x 箱我们可以得到方案一减去方案二的利润差模型：

()=x f 0.157x -800 （7）

0..>x t s

模型的求解

由（7）式我们可以看到在箱子数小于4571时用方案二的利润高于方案一。 同时我们也可以得到方案一和方案二关于苹果质量m 的函数关系：

方案一： ()m g =3.652m -5600 （8） 方案二： ()m g =3.698m -6400 （9） 由（8）-（9）得到：()m g =-0.046m +800得到当m =17391时两个方案利润一样，当小于17391时方案一利润大反之方案二利润大。

模型计算结果与分析

本模型利于数学工具简化问题，将目标函数与约束条件转化成了线性问题。在本例中为了使问题简化只考虑到主要的因素箱子数和苹果质量这两个变量对两种方案利润的影响。然而对于市场价格的变动没有考虑。因此可以考虑加入市场价格变动这个变量可以使模型应用更广泛。

3.4 整数规划模型

例6 一汽车厂生产小、中、大三类汽车，现已知各类型的每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时间的现有两如下表所示。试制定月生产计划，使工厂的利润最大。

小型

中型 大型 现有量 钢材/t 1.5

3 5 600 劳动时间/h 280

250 400 60000 利润/万元 2

3 4

模型的建立 决策变量：设每月生产小、中、大型车的数量分别为321,,x x x

目标函数：问题的目标是工厂的月利润最大，用z 表示工厂的月利润，在题目所给参数均不随生产数量变化的假设下，可得目标函数为

321432x x x z ++=

约束条件

钢材的限制 600535.1321≤++x x x

劳动时间限制 60000400250280321≤++x x x

非负限制 0,,321≥x x x

最终问题模型为

321432x x x z ++=

??

???≥≤++≤++且均为整数0,,60000400250280600535.1.321321321x x x x x x x x x t s

模型求解

最优解为,0,168,64321===x x x 最优解为632=z 。所以月生产计划应为小型车64辆、中型车168辆，大型车不生产。

模型的结果分析

通过对于上面的求解可以看出在利润最大的时候没有生产大型车如果说要求了生产大型车的数量那么原模型的约束条件就应该改变了。

结束语

用函数问题解决问题就是要把实际问题抽象成数学问题，然后分析其中的已知量、未知量以及等量关系由此给出函数关系所建立的模型，通过推理运算并反复检验给出合理的解释从而解决问题。在学科运用方面函数模型与生物、物理、化学等有密切的联系是许多学科必要的基础知识，尤其随着现代社会的信息化计算机的飞速发展函数模型的作用与日俱增。在数学应用的领域中随处可见数学模型的影子，而函数模型是数学模型重要的分类之一，将来的应用中，函数模型一定会有更加广泛的应用，因此我们更应该重视函数模型的开发和利用做到真正的

学以致用，让其为我们的生活工作服务。

参考文献

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