变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算

一．学习目标：

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义；

2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1

x

的导数；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

二．学习重、难点：

1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；

2．学习难点：理解导数的几何意义.

三．学习方法：讲练结合

四．自主复习：

1．导数的概念

(1)函数在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0

Δy Δx

， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0

.

(2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________．

(3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．

2．基本初等函数的导数公式

3.运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________；

(2)[f(x)·g(x)]′＝________________________；

(3)[f(x)

g(x)

]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测：

1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1

C．cos1－1 D．－1－cos1

2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x

3．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－1

2gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度

是( )

A ．14 m/s 2

B ．4 m/s 2

C ．10 m/s 2

D ．－4 m/s 2

4．已知函数f (x )＝???

x ，x >0

cos x ，x ≤0

，则f ′(1)f (0)＝__________.

5．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝__________；函数f (x )图象在点(0，f (0))处的切线方程为__________．

要点点拨：

1．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线的切线的求法

若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．

(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))．

第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)． 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1.

第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)·(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程.

六．复习过程：

题型一：利用导数的定义求函数的导数 [例1]

(1)求函数y ＝x 2的导数．

(2)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．

[思路点拨] 解决本题的关键是正确的求出Δy ，Δy

Δx ，然后求出极限即可．

.

[规律总结] 注意[f (x 0)]′，f ′(x 0)与f ′(x )的区别：f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数值，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0，而f ′(x )是函数f (x )的导函数，是一个函数，是f (x )求导后的函数关系.

变式训练1

一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.

(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法)．

题型二：导数的计算 [例2] 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x ＋x 5＋sin x

x 2；

(3)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x

4)．

[规律总结] 导数运算时应注意的问题：

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可

以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

变式训练2

求下列函数的导数：

(1)y ＝3x e x －2x ＋e ；(2)y ＝ln x

x 2＋1

题型三：导数的几何意义 [例3] 已知曲线y ＝13x 3＋4

3.

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．

[规律总结] 求解过曲线上某点的切线方程时，应注意到这条切线与曲线的切点不一定是该点．

变式训练3

曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐

标为__________．

题型四：导数几何意义的综合应用

[例4] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15

4

x －9都相切，则a 等于( )

A ．－1或－2564

B ．－1或21

4

C ．－74或－2564

D ．－7

4或7

变式训练4

(2013·惠州质检)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12

x 2＋mx ＋n ，直线l 与函数f (x )，g (x )的图

象都相切于点(1,0)．

(1)求直线l的方程；

(2)求函数g(x)的解析式．

创新探究——导数几何意义规范解答

[例题](2012·重庆)设f(x)＝a ln x＋1

2x＋

3

2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))

处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

[思路点拨](1)对f(x)求导，运用f′(1)＝0求出a的值；(2)由f′(x)＝0解得x值，结合函数定义域，讨论在各区间上f′(x)的符号，从而确定极值．

链接高考：

1．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．

2．(2012·辽宁)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．

七．反馈练习：

1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2

2．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π

4，0)处的切线的斜率为( )

A ．－1

2

B.12

C ．－22

D.

22

3．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )

A ．0

B ．0

C ．0

D ．0

4．已知点P 在曲线y ＝4

e x

＋1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )

A ．[0，π

4)

B ．[π4，π2)

C ．(π2，3π4

]

D ．[3π

4

，π)

5．已知点P (2 013π3，－1)在函数f (x )＝a 2cos x 的图象上，则该函数的图象在x ＝3π

4处

的切线方程是( )

A ．2x ＋2y －42－32π

2

＝0

B ．2x －2y ＋42－32π

4＝0

C ．2x －2y －42－32π

4＝0

D.2x ＋2y ＋42－32π

4＝0

6．(2013·泰安模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )

A ．1 B. 2 C.2

2

D. 3

7．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π

4)＝__________.

8．若曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线的方程为y ＝2x ＋1，则曲线f (x )＝g (x )＋ln x 在点(1，f (1))处切线的斜率为__________，该切线方程为________．

9．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 012(π

2

)＝__________.

10．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1

e x －1

.

11．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．

12．设函数f (x )＝ln x －1

2ax 2－bx .

(1)当a ＝b ＝1

2

时，求f (x )的最大值；

(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋a x (0

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

八．思维总结：

九．自我评价：

1．你对本章的复习的自我评价如何？A．很好B．一般C．不太好

2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？