初中平行四边形练习题

练习1

一、选择题（3′×10=30′）

1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．

A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等2． ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．

A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°

3．下列正确结论的个数是（）．

①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；

③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．

A．1 B．2 C．3 D．4

4．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．

A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 5．在 ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）． A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm

6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．

A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;

B．直角三角形两个锐角互余;

C．全等三角形对应角相等;

D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

7．下列说法中正确的是（）．

A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理

C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题

8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．

A．1：2：1 B．1 1 C．1：4：1 D．12：1：2

9．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

10．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN

⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为（）．

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

二、填空题（3′×10=30′）

11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的

比为3：4，短边为________，长边为________．

12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，?周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．

13．在 ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，?若 ABCD?的周长为38cm，△ABD的周长比 ABCD的周长少10cm，则 ABCD的一组邻边长分别为______．14．在 ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若

∠F=65°，则

ABCD 的各内角度数分别为_________．

15．平行四边形两邻边的长分别为20cm ，16cm ，两条长边的距离是8cm ，?则两条短边的距

离是_____cm ． 16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，?那么这两个命题是

互为逆命题．

17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．

18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．

19．直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部

分的长分别是__________． 20．△ABC 的两边分别为5，12，另一边c 为奇数，且a+b+?c?是3?的倍数，?则c?应为________，

此三角形为________三角形．

三、解答题（6′×10=60′）

21．如右图所示，在

ABCD 中，BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，若∠A=60°，AF=3cm ，CE=2cm ，求

ABCD 的周长．

22．如图所示，在

ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF.

求证：（1）AE=CF ；（2）AE ∥CF ．

23．如图所示，

ABCD 的周长是

AB 的长是

DE ⊥AB 于E ，DF ⊥CB 交

CB?的延长线于点F ，DE 的长是3，求（1）∠C 的大小；（2）DF 的长．

F

C

D

A

E

B

24．如图所示， ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、?∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：?推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．

25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.

求证：∠C=90°．

26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，?求∠C的度数．

27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，?求三条中位线的长．28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．

29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，?CD?⊥MN 于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，?使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？

30．如图所示，E 是

ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交BC 于F ，求证：S

△ABF

=S △EFC ．

答案:

一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C

二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm 和10cm 14．50°，130°，50°，130° ? ? 15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补，两直线平行 18．5

．13 直角 三、21．

ABCD 的周长为20cm 22．略

23．（1）∠C=45° （2）

DF=

2

24．略 25．?略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm ；20cm ；24cm 28．提示：连结BD ，取BD?的中点G ，连结MG ，NG 29．（1）略 （2）结论仍成立．提示：过F 作FG ⊥MN 于G 30．略

练习2

一、填空题(每空2分,共28分) 1.已知在

中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为cm .

2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明(只需填写一种方法)

3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .

那么图中共有个等腰直角三角形.

4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入

下列相应的空格上.

(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; (第3题) (2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;

A

B C

D

O

(3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.

5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为cm .

6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为 和 .

7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm . 8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为m .

第10题) 9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形 的面积为2cm .

10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) 二、选择题(每题3分,共24分)

11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（）

A 、三角形

B 、四边形

C 、五边形

D 、六边形

12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 四边形ABCD 中，AD//BC ，那么的值可能是（）

A 、3：5：6：4

B 、3：4：5：6

C 、4：5：6：3

D 、6：5：3：4

15.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ?的面积 ( )

A.变大

B.变小

C.不变

D.无法确定

(第15题) (第16题) (第17题) 16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

17.如图,在ABC ?中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F , 那么四边形AFDE 的周长是 ( )

A B C D E

F

A B C a b A

B

C

D

O

l

A.5

B.10

C.15

D.20

18.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:

(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;

(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;

(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( )

A.(1)(2)

B.(1)(3)(4)

C.(2)(3)

D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分) 19.如图,

中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E

.

试求DAE ∠的度数.

(第19题)

20.如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.

(第20题)

21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;

(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;

(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是: .

(图①) (图②) (图③) (图④)

A

B C

D E

A

B

C

D F

E

G

(第21题)

22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.

(第22题)

答案

1.60.

2.平行四边形;有一组邻边相等.

3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ????????

4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形. 7.3. 8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边

进行平移后可得到一个边长为1m 的正方 形,所以它的周长为4m .

8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C.

15.C. 提示:因为ABC ?的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ?的面积不变.

16.A. 提示:由于()

BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=

∠=∠∠∠ 902

1

,所以通过折叠后得到的是由. 17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C.

19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以

,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠?⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.

20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF,

又 DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;

(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得D G E

G B F ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD . 21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

A B

C

D

(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.

22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.

练习3

1、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于

点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．

3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为

A B C

D

E F

G

H D

C A

B

G

H F E

EF ．

（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你

的结论．

挑战自我：

1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠

ABC 的度数为（ ）

A ．90° B．60° C．45° D．30°

2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）

A. 正三角形

B. 正方形

C. 正五边形

D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）

A ．9

B ．8

C ．6

D ．4

4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为。

5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．

6题

6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为

7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①∥，②，③，④．

F

E

D

C B A ABC

D AD BC CD AB =C A ∠=∠?=∠+∠180C B A B C D

E

F D ′

A

B

C

D

第5题图

F

A E B

C

D

已知：在四边形中， ， ；求证：四边形是平行四边形．

8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD 。

（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四

边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。 （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4

中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）

周长为__________ 周长为__________

9、（2007天津市）在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ，求梯形中位线的长。

10、（2007·山东）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm(C)8cm (D)10cm

10题

11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o

，且AE+AF

=ABCD 的周长是 ．

直击中考：

1.（2011安徽）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）【答案】D A ．7 B ．9 C ．10 D ．11

ABCD ABCD

A

C

C C C （图2） （图1） （图3） （图4） A B

C

O

E 11题

2. （2011山东威海）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（） A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．2：5 【答案】A

3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C

……

图① 图② 图③ 图④ A ．55 B ．42 C ．41 D ．29

4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7

5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】Ｂ

A ．120°

B ．135°

C ．140°

D ．144° 6、（2011山东德州）图1是一个边长为1

的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长

为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（ ）【答案】C

（A ）2n

（B ）4n

（C ）1

2

n + （D ）2

2

n +

7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）【答案】B

A.17

B.17

C.18

D.19 8. （2011山东泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为（ ）【答案】A A.2 3 B. 33

2 C.

3 D.6

9. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

图1

图2

图3

……

… A 1

A

A 2 A 3 B

B 1 B 2

B 3

C 2 C 1 C 3

D 2 D 1 D 3

10. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）【答案】A （A ）48cm

（B ）36cm （C ）24cm

（D ）18cm

11.（ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( ) 【答案】C ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长

4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12

+n ab

A.①②

B.②③

C.②③④

D.①②③④

12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且

AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：（ ）【答案】D ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG =

4

3

CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论 A ．只有①②． B ．只有①③．C ．只有②③． D ．①②③．

第12题图

（第10题）

F

A

B

C

D

H E

G

①

②

③

④

⑤

13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是. 【答案】2

14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .

2

15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为。【答案】

1

1

4n

16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，

……

得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含b a 、的代数式表示为．【答案】

ab 2010

2

1）（．

17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形ABCD 中，?=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ?=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使 ?=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为．【答案】()

1

3-n

18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM =时，四边形ABCN 的面积最大． 【答案】2;

19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF=CE ，BH=DG ．

第20题图

3

D 1

求证：GF ∥HE ．

【答案】证明：∵平行四边形ABCD 中，OA=OC ，

由已知：AF=CEAF －OA=CE －OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH ∴四边形EGFH 是平行四边形∴GF ∥HE 20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点. (1)若BK =

52KC ，求AB

CD 的值； (2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE =

1

2

AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE =1

n

AD (2 n )，而其余条件不变

时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

G

H

A

C

B

D

O

E G

F

【答案】解：（1）∵AB ∥CD ，BK =

52KC ，∴AB CD =BK CK =5

2

.

（2）如图所示，分别过C 、D 作BE ∥CF ∥DG 分别交于AB 的延长线于F 、G 三点，

∵BE ∥DG ，点E 是AD 的点，∴AB=BG ；∵CD ∥FG ，CD ∥AG ，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴CD=FG ；

∵∠ABE =∠EBC ，BE ∥CF ，∴∠EBC =∠BCF ，∠ABE =∠BFC ，∴BC =B F ， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC ，∴AB=BC+CD . 当AE =

1

n

AD (2>n )时，（1-n ）AB=BC+CD . 21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF =CE =AE ． ⑴说明四边形ACEF 是平行四边形；

⑵当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．

【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA =90°．∴EF ∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF =CE =AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE =EA

∴△AEC ≌△EAF ，∴EF =CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B =30°时，四边形ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B =30°，∠ACB =90°，∴AC =AB 2

1

，∵DE 垂直平分BC ，∴BE =CE 又∵AE =CE ，∴CE =

AB 2

1

，∴AC =CE ，∴四边形ACEF 是菱形． 22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

【答案】当点O 运动到AC 的中点（或OA=OC ）时，

（第24题图）

F E N

M O C

B

A

第25题图

四边形AECF 是矩形………………2分

证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO ………………6分 ∴EO=FO

又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形………………7分

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF 是矩形………………10分 23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF .

（1）求证：∠ADP ＝∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当

AB

AP

的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形

∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90° ···················· 1分 ∵∠DPE ＝90° ∴∠APD ＋∠EPB ＝90° ∴∠ADP ＝∠EPB . ···················································································· 2分 （2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90° ········· 3分

又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP ∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，∴AP ＝EG ＝BG ············································· 4分 ∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°. ········································································· 5分 （3）方法一：

G

P

F

E D

C

B

A

P

F

E

D

C

B

A

图9

当

2

1

=AB AP 时，△PFE ∽△BFP . ·

································································ 6分 ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ································ 7分 设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝a 21，∴BF ＝BP ·a AD AP 4

1

= ·

···················· 8分 ∴a AP AD PD 2522=+=，a BF PB PF 4

522=+= ∴

5

5

==PF BF PD PB ···················································································· 9分 又∵∠DPF ＝∠PBF ＝90°，∴△ADP ∽△BFP ········································ 10分 方法二：

假设△ADP ∽△BFP ，则

PF

BF

PD PB =

. ······················································· 6分 ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ······························ 7分 ∴BF

AP

PF PD =

， ······················································································· 8分 ∴

BF

AP

BF PB =

， ······················································································· 9分 ∴PB ＝AP ， ∴当

2

1

=AB AP 时，△PFE ∽△BFP. 10分 24. （2011湖南永州10分）探究问题： ⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．

∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．

∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．

⑵方法迁移：

3

2

1G

E

F

D C

B

A （第25题）①