最大基数悖论

最大基数悖论（Grelling–Nelson 悖论）是由数学家库尔特·格

雷林和尤利乌斯·尼尔森于1908年提出的悖论。它探讨的是“自指”的概念。简单来说，自指就是某个概念或实体可以用自

己来描述自己。

考虑这样一个问题：在英语中，“单词”是由字母组成的，比如单词“单词”就由4个字母组成。现在，考虑一个“自指”的单词，即一个单词描述它本身，如何表示这个单词的字母数量呢？

如果这个单词由3个字母组成，我们可以用“三”来表示它的字

母数量。但是，如果这个单词由4个字母组成呢？我们可能会选择用“四”来表示它的字母数量。但是，这样做似乎存在问题。

因为这个单词描述它本身的特征，而这一特征就是字母数量。如果用“四”表示它的字母数量，那么它就应该由4个字母组成，即它的字母数量应该为3。但是，如果它的字母数量为3，那

么用“三”表示它的字母数量又有问题了……

这个悖论就是最大基数悖论，它暗示了一个重要的哲学问题：是否存在一些概念或实体，它们无法用任何语言或符号来精确地描述自己？

数学模型部分词汇翻译

数学模型: [英文]：mathematical model [解释]：对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，通过一些必要的假设和简化后所作的数学描述。利用模型，通过数学的分析处理，能够对原型的现实性态给出深层次的解释，或预测原型未来的状况或提供处理原型的控制或优化的决策。它是数学理论和方法用以解决现实世界实际问题的一个重要途径。例如牛顿第二定律所描述的力和运动的关系 F ＝ ma ＝ md 2 s ／ dt 2 给出了受外力 F 作用的物体运动的距离 s ( t )与 F 的关系。它是一个数学上的二阶微分方程，假设物体为一个质点，不存在阻力，摩擦力等的前提下描述了物体的运动与所受外力的依赖关系。这就是动力学一个最基本的数学模型。利用它就可以从理论上探讨大量的动力学的现象。当代由于数学向各门学科的全面渗透，数学不仅仅是物理学的研究工具，它已成为各门学科的一个重要的研究手段，建立数学模型最重要的步骤是首先要把研究对象通过化简，归结出它的数学结构，以便于使用数学理论和方法。由于数学模型在科学发展中的重要性，它和数学建模已经逐渐从各门学科中独立出来，成为应用数学的一个重要的方向而进入学校的教学计划。与数学的演绎推理不同，数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的信息通过假设、化简加以翻译归纳的产物，因此随着研究目的、简化方式的不同，同一个原型的数学模型可以有不同的表现方式，它可以是确定型的，也可以是随机的；可以是连续型的，也可以是离散的。因此对于同一个原型，可以使用不同的数学分支，通过相应的模型进行研究。当然通过数学抽象出来的模型较之原型有更宽的覆盖面，甚至于能够描述不同学科有关对象的变化关系。由于现实世界的复杂性，科学技术发展到今天，还不能给出普遍适用的建立数学模型的准则和技巧。在一些使用模型较多的研究领域内，已经开始形成了自己的数学模型及建模体系，例如种群生态学中的数学模型，经济学中的数学模型，天气预报的数学模型，当然也包括理论力学——作为物理中运动和力学的数学模型。但多数对象还没有形成完整的体系和理论。这一类问题的模型往往因研究对象而异，有人称这一大类模型为模块插件，还有待连接成一个整体。 [英文]：mathematics，foundation of [解释]：研究数学的基础，回答“数学是什么？”，“数学的基础是什么？”，“数学是否和谐？”等等一些数学上的根本问题的学科。发展概况在数学的发展过程中曾遇到过3次危机。第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。尽管原本还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。 17世纪后半期I. 牛顿，G.W. 莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。 A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。数理逻辑是数学基础的重要内容。数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素

悖论及其意义

悖论及其意义一、悖论的举例及其注释为了便于理解悖论的特征和意义，我们不妨先从实例讲起。由于悖论的起源和发展几乎与科学史同步，所以悖论已经历了几千年漫长的发展和演变过程，因而种类繁多，无法一一列举，下面仅举几个典型例子。 1．说谎者悖论公元前六世纪，克里特人构造了这样一个语句，一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话，”试问这句话是真是假？这里给出这句活是真是假的逻辑论证：假设它是真的，即所有克里特人说的每一句话都是谎话，由于这句话正是克里特人所说，故根据此话的论断可推出这句话是假的。由此可见，由这句话的真可推出它是假的。显然，这是一个逻辑矛盾。产生矛盾的原因是，命题的论断中包含了前提。反之，假设这句话是假的，也就是说并非每一个克里特人的每一句话都是假话，从而既不能导致逻辑矛盾，也推不出它的真。此悖论的特征是，由它的真可以推出它的假，但反之，由它的假却推不出它的真。现将此悖论略加修改，可以构造一个强化的说谎者悖论：“我说这句话时正在说谎”，试问这句话是真是假？下面给出这句话真假性的逻辑论证。假设这句话是真的，即肯定了这句话的论断，但由此话的论断推出这句话是假。反之，假设这句话是假，则应否定这句话的论断，即肯定其反面，从而又推出这句话是真。以上矛盾产生的原因是，由于语言结构层次的混乱，具体地讲，这是一句话套话的句子，且被套的话就是套它的话自身，或者说被断定的话与断定的话混而为一。 2.康托悖论这个悖论是康托1899年发现的，现叙述如下。设集合M是所有集合的集合，试问集合M的基数== M与集合M的幂集的基数===== ) (M P，哪个大。

一方面，根据康托定理，任何集合A的基数== A小于其幂集 ==== ) (A P，即 == A<==== ) (A P，可推得 == M< ===== ) (M P (i) 另一方面，由) (M P是M的幂集，可知集) (M P中的任一个元素x，即) (M P x∈都是M的子集，所以x必是一个集合。而又因M是所有集合的集合，从而又有M x∈。于是有M M P⊆ ) (，即) (M P是M的子集，故又有 ==== == ≥) (M P M (ii) 显然，(i)式与(ii)式矛盾，产生这种悖论的原因是，在承认康托定理的前提下，根据概括原则所确定的集合M是不存在的。 3.罗素傅论此悖论是罗素的1902年提出的，叙述如下。将集合分为两种，一种是集合A亦是它的元素，即A A∈，例如，所有集合的集合就属于这一种。人们称这种集合为本身分子集。另一种集合A不是它的元素，即A A∉，例如，自然数集就属于这一种集合。人们称这种集合为非本身分子集。观将所有集合按此标准分为两类，一类是所有本身分子集，另一类是所有非本身分子集。现在问，所有非本身分子集组成的集是哪一种集合。为了陈述简明清晰，不妨设所有非本身分子集构成的集为M，即{}x x x M∉ =:。如果M是本身分子集，即M M∈，由M的组成可推出M M∉；反之，如果M是非本身分子集，即M M∉，由M的构成又可推出M M∈。综合以上可得如下逻辑推理表达式 M M∈⇔M M∉ 这是一个两边互相矛盾的等价式(注意这和康托悖论中的两个互相矛盾的命题有些微妙的差异。因为两个互相矛盾的等价命题，当然首先是两个互相矛盾的命题；但反之，两个互相矛盾的命题未必都能化归为两个互相矛盾的等价命题)。产生这个悖论的根源是，这种所有非本身分子集是不存在的。 4.理发师悖论

关于数学悖论

引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义. 1 数学悖论的概述

值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说. 1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡. 那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确： (1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的； (2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论； (3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论

悖论逻辑浅析

悖论逻辑浅析悖论，是一个与数学、逻辑学等多个学科紧密联系的课题，其成因往往是深刻复杂的，本文通过对悖论进行初步探究，可以使我们对许多数学、逻辑的概念有更加深刻的认识，而悖论的成因也正与定义的不明确，或者我们对定义的不理解有关，这些内容都将在本文中加以初步解读。本文将在前人研究的基础上加以梳理，用逻辑分析与解读的方式，力争让大家对悖论，尤其是数学悖论有所认识。而在数学的领域中，历史上曾经有过多个重大的悖论课题，如康托尔悖论、最大序数悖论等。这些悖论当时看似动摇了数学的根基，实则让我们在研究悖论的过程中对数学与逻辑、概念有了更深刻、更清晰的理解。再此，若要浅析悖论问题，首先要对数学上的悖论问题进行分类研究，其中就要涉及到有限与无限悖论及概率，统计，几何，时间，逻辑等类型的悖论。本文的学习结果主要为：初步认识到了悖论的成因，以及几种典型的悖论类型，并对其进行了一定程度上的分析。在对数学逻辑悖论进行研究的过程中，我们可以对一些数学上的概念、定义有更深刻的认识，同时使我们有一个更清晰的逻辑思维。从而提升自身！关键词：悖论;康托尔;逻辑

第一章绪论 1.1 研究背景及意义本文研究意义在于：解除一些悖论在学习中给我们带来的疑惑，明确一些数学与逻辑学中的定义，理清思路，使我们逻辑更加清晰、对定义的理解更加明确，从而也对我们所学习的理论有更加深刻的认识。 1.2 研究对象本文的研究对象以数学、逻辑学两方面的悖论为主，同时还会涉及到一些数学定义等。 1.3 研究思路对前人提出的悖论，通过明确定义以及理清逻辑思维，对经典的悖论进行 1.4 研究方法文献法、运算法、讨论法、归谬法等。 1.5 知识准备研究悖论，首先要以逻辑思维为基础，涉及到的具体的、较为深入的专业知识并不是非常多，首先，在数理逻辑悖论的探究中，需要具备一定的数学基础，特别是逻辑语言与统计学的基础知识，了解集合论的一些基本定义、统计学中的权重等概念。

悖论及其解决方案

悖论及其解决方案悖论及其解决方案 1、一连串悖论的出现罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。但是，罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托

数学史上三个著名数学悖论与三次数学危机

数学史上三个著名数学悖论与三次数学危机关键词：数学悖论，数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。只能说中国是最早发现这一问题的，但没有最早给出证明。也是一个遗憾啊。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。二百年后，大约在公元前370 年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基

第二十一课时康托尔与第三次数学危机

第二十一课时康托尔与第三次数学危机教学目标：了解第三次数学危机及其发生与解决。体会数学的发展不是一帆风顺的，同时，数学的发展也要经历从不完善到完善的过程。教学过程 1872年，年仅27岁的康托尔在数学上放了一把火：他用有理数列构造实数R。在数学发展历史上，这是前无古人的创意。康托尔，何许人也？一、康托尔其人康托尔

格奥尔格·康托尔（1845.3.3-1918.1.6），生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。他自幼对数学有浓厚兴趣。1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于当时非常出名的几位数学家如：在函数论、数论和几何三个方面有较大贡献、后成为柏林大学校长的库默尔、被誉为“现代分析之父”的维尔斯特拉斯和努力统一数论、代数学和分析学的研究的克罗内克。康托尔23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。1872年成为该校副教授，1879年任教授。1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。我国现行人民教育出版社出版的高中数学课本必修一第一章第一课时就是集合（也就是说进入高中的第一节数学课就是学习康托尔的集合）。第三次数学危机是康托尔的集合论引发的，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论，集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身。下面，我们看一些康托尔集合论中关于无穷集合的观点： 1874年，康托尔证明了有理数没有实数多。也就是说，有理数集合与实数集合相比是元素更少的无穷集合。这个好理解。随后，康托尔又证明了：单位正方形与单位线段上的点可以建立一一对应关系，也就是说，单位正方形的点与单位线段的点一样多。由此可以推出：空间中的点与平面上的点一样多。这个说法似乎和我们的直觉有了冲突了。康托尔还证明有理数集合与正整数集合的元素一样多。这同样与我们的直觉相冲突。康托尔猜想，在自然数集合与实数集合之间是否存在一种集合，其元素一方面比实数集合少一些，另一方面却又比自然数集合多一些？康托尔猜想，这种集合是不可能存在的。这个猜想被人们称为康托尔“连续统”假设。但这个假设到底对不对呢？康托尔没法证明。当时

无最大基数定理

无最大基数定理（原创版）目录 1.无最大基数定理的概述 2.无最大基数定理的证明 3.无最大基数定理的意义正文【1.无最大基数定理的概述】无最大基数定理，又称为 Cantor-Bernstein 定理，是由德国数学家康托尔（Cantor）和瑞士数学家伯恩斯坦（Bernstein）于 19 世纪末 20 世纪初分别独立发现的一个数学定理。该定理主要研究的是集合论中的无限基数问题，它表明在无限基数集合之间不存在最大和最小的基数。换句话说，对于任意一个无限基数集合，总是可以找到一个与其等势的更大或更小的无限基数集合。【2.无最大基数定理的证明】为了证明无最大基数定理，我们需要引入一个重要的概念——基数。基数是用来度量集合大小的一种方法，对于任意一个集合，我们可以用基数来表示该集合中元素的数量。现在，我们来证明无最大基数定理。假设存在一个最大基数，记为 M。那么，我们可以构造一个集合 A，其中包含所有小于等于 M 的基数。显然，集合 A 的基数也是 M。由于 A 中包含了所有小于等于 M 的基数，因此 A 中的元素数量一定大于等于M。但这与假设 M 是最大基数相矛盾。因此，我们得出结论：不存在最大基数。同样地，我们也可以证明不存在最小基数。假设存在一个最小基数，记为 m。那么，我们可以构造一个集合 B，其中包含所有大于 m 的基数。

显然，集合 B 的基数也是 m。由于 B 中包含了所有大于 m 的基数，因此 B 中的元素数量一定大于 m。但这与假设 m 是最小基数相矛盾。因此，我们得出结论：不存在最小基数。【3.无最大基数定理的意义】无最大基数定理在集合论中具有重要的意义。首先，它告诉我们，在无限基数集合之间不存在最大和最小的基数。其次，无最大基数定理揭示了无限集合的某种连续性，即在无限集合中，总是可以找到一个比给定集合更大的集合。此外，无最大基数定理还为数学家提供了一种构造更大无限集合的方法。例如，通过连续统假设（Continuum Hypothesis），我们可以构造一个比实数集更大的无限集合。虽然连续统假设目前还没有得到证明，但它在集合论和数学的其他领域中具有重要的应用价值。

悖论及其解决方案(3)

悖论及其解决方案(3) 1908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文《关于集合论基础的研究》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集合’的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念’集合’或’类’为其外延。康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。”

在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理、初等集合公理、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理。实际上策梅罗的公理系统Z把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。策梅罗不把集合只简单看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集合”。特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内函公理组，如今已换成弱得多的分离公理组。策梅罗首次提出的集合论公理系统，意义是非常重大的。但是，其中有许多缺点相毛病。比如：公理3的确定性质的含义并不清楚，他的公理没有涉及逻辑基础，选择公理有许多争议等等。后来经许多人加以严格处理及补充，才成为严格的公理系统，即ZF或ZFS系统。其中Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，S代表斯科兰姆。这里面特别是有斯科兰姆和弗兰克尔进行的改进。但是一般的ZF中往往不包括选择公理，如果加进选择公理则写为ZFC 策梅罗的公理系统发表之后，遭到各方面的批评。特别是斯科兰姆1922年在8月份在赫尔辛基召开的第五届斯

十大反直觉的数学结论

十大反直觉的数学结论传播数学干货，学会理性的方式去思考问题反直觉的事实有时候甚至骗过了最好的数学家。这十大令人惊愕的数学结论，恰恰跟我们生活中的经验背道而驰。生日悖论假设房间里有23人，那么两个人生日是同天的概率将大于50%。我们很容易得出，任何一个特定的日子里某人过生日的概率是1/365。所以这个理论看似是无法成立，但理论与现实差异正源自于：我们的唯一要求是两个人彼此拥有同一天生日即可，不限定在特定的一天。否则，如果换做某人在某特定日期生日，例如2月19日，那么23个人中概率便仅为6.12%。另一方面如果你在有23个人的房间挑选一人问他：“有人和你同一天生日吗？”答案很可能是否定的。但如果重复询问其余22人，每问一次，你便会有更大机会得到肯定答复，最终这个概率是50.7%。

巴拿赫-塔尔斯基悖论这一定理指出在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。并且它被许多数学家视作数学中最为反常的一个结果。在现实生活中我们没有任何办法能将一个物体凭空复制成两个。但事实上他却是成立的，这个结果似乎挑战了物理中的质量守恒定律，但似乎又是在说一个物体的质量可以凭空变为原来的两倍？但如若原质量是无限的话，翻倍后还是无限大，那么从这一层面出发来看这一理论也并没有打破物理法则。

蒙提霍尔问题三门问题亦称为蒙提霍尔问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。曾经问过很多人，几乎所有人都没有答对，换门的这一答案实在是太过反常识！关于第一个解答这个问题的女士的经历也十分耐人寻味：

矛盾的存在意味着科学的发展,定稿

矛盾的存在意味着科学的发展 ---浅谈数学悖论对数学发展的影响宋慧（广东省河源市紫金中学）悖论对数学发展而言，不是一种灾难或绝望，而是引导人们向未知领域探索的向导，是促进数学繁荣和发展的动力，是科学发展的强大杠杆，具有重要的历史意义。一、悖论的来源和定义 “悖论”由数学家在研究数学基础过程中发现的。当集合论成为数学的基础之后, 随着人类对无穷集合认来已久，它的起源可以追溯到古希腊时代的“芝诺悖论”和中国的先秦时代的“飞鸟说悖论”和“二分说悖论”。但严格意义下的悖论是在19 世纪末、20 世纪初的识的不断深入，就产生了许多悖论。1897年意大利数学家布拉里·福蒂 (Burali forti, 1861-1931)在超穷序数理论中发现了第一个悖论；接着,集合论的创始人康托尔(cantor, 1845-1918)于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论；1902 年罗素(Russell, 1872- 1970)在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”。1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”。由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡。那么，究竟什么是悖论呢? 对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的”。又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真”。诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面。本文认为，任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的。例如：罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对于朴素集合论和真理性理论而言的。悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示。这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念(真、假)而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑—数学悖论”。例如：古代的说谎者悖论（某人说：“我说的一切都是假的”）就属于第一类型的悖论。对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“诡辩”。因为悖论与诡辩有含义上的不同。后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因；而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因。在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的。在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”。对悖论的研究，19世纪以前一直没有引起人们的足够重视，直到集合论中：罗素悖论、康托尔最大基数悖论和布拉里·福蒂最大序数悖论的出现，才震惊了数学界，真正引起了数学家们的重视，从而进行了探讨数学基础，解决数学悖论的大运动。在数学家破解悖论秘密的过程中，完成和发展了许许多多对数学来说很重要的课题，导致数学思想和方法的重大发展，从而大大影响和推动了数学的发展。二、悖论对数学发展的影响 1、数学在矛盾与危机中成长从哲学上看，数学是现实世界的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾。正像恩格斯所指出的：“不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾”。比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与偶然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换及其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构的，等等。当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等。它们可以说贯穿整个数学发展史，而这些大大小小的矛盾的产生，发展到激化，到

数学危机

数学危机什么是数学危机？数学中有大大小小的许多矛盾，例如，正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如，有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 1．第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义上的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯(Hipparchus，公元前180～前125)约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。第一次数学危机的产物——欧氏几何学。欧几里得的《原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系，这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等，都采用了欧几里得《几何原本》的体例。 2．第二次数学危机早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量，这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例，他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论。第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”，它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。

康托尔-维特根斯坦论无限

康托尔-维特根斯坦论无限哥德尔的不完备性定理震撼了20世纪数学界的天空，其数学意义颠覆了希尔伯特的形式化数学的宏伟计划，其哲学意义直到21世纪的今天仍然不断被延伸到各个自然学科，深刻影响着人们的思维。图灵为了解决希尔伯特著名的第十问题而提出有效计算模型，进而作出了可计算理论和现代计算机的奠基性工作，著名的停机问题给出了机械计算模型的能力极限，其深刻的意义和漂亮的证明使它成为可计算理论中的标志性定理之一。丘齐，跟图灵同时代的天才，则从另一个抽象角度提出了lambda算子的思想，与图灵机抽象的倾向于硬件性不同，丘齐的lambda算子理论是从数学的角度进行抽象，不关心运算的机械过程而只关心运算的抽象性质，只用最简洁的几条公理便建立起了与图灵机完全等价的计算模型，其体现出来的数学抽象美开出了函数式编程语言这朵奇葩，Lisp、Scheme、Haskell… 这些以抽象性和简洁美为特点的语言至今仍然活跃在计算机科学界，虽然由于其本质上源于lambda算子理论的抽象方式不符合人的思维习惯从而注定无法成为主流的编程语言，然而这仍然无法妨碍它们成为编程理论乃至计算机学科的最佳教本。而诞生于函数式编程语言的神奇的Y combinator至今仍然让人们陷入深沉的震撼和反思当中…然而，这一切的一切，看似不很相关却又有点相关，认真思考其关系却又有点一头雾水的背后，其实隐隐藏着一条线，这条线把它们从本质上串到了一起，而顺着时光的河流逆流而上，我们将会看到，这条线的尽头，不是别人，正是只手拨开被不严密性问题困扰的19世纪数学界阴沉天空的天才数学家康托尔。康托尔创造性地将一一对应和对角线方法运用到无穷集合理论的建立当中，这个被希尔伯特称为“谁也无法将我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”、被罗素称为“19世纪最伟大的智者之一”的人，他在集合论方面的工作终于驱散了不严密性问题带来的阴霾，仿佛一道金色的阳光刺破乌云，19世纪的数学终于看到了真正严格化的曙光，数学终于得以站在了前所未有的坚固的基础之上；集合论至今

数学的奥秘本质与思维-参考答案

数学的奥秘本质与思维-参考答案一、单选题（题数：50，共50.0 分）1 建立了实数系统一基础的是哪位数学家?（） 1.0 分 ? 柯西A、 ? ? 牛顿B、 ? ? 戴德金C、 ? ? 庞加莱D、 ? 我的答案：C 2 求不定积分？() 1.0 分 ? A、 ? ? B、 ? ? C、 ? ? D、

我的答案：A 3 微分思想与积分思想谁出现得更早些？（）1.0 分 ? 微分A、 ? ? 积分B、 ? ? C、同时出现 ? ? 不确定D、 ? 我的答案：B 4 阿基米德是怎样把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（） 1.0 分 ? A、用平衡法去求面积

? B、用穷竭法去证明 ? ? C、先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明? ? D、先用穷竭法求解面积，再用平衡法加以证明? 我的答案：C 5 设，下列不等式正确的是（）。 1.0 分 ? A、 ? ? B、 ? ? C、 ? ? D、 ?

我的答案：A 6 方程在上是否有实根？1.0 分? 没有A、 ? ? B、至少有1个 ? ? C、至少有3个 ? ? 不确定D、 ? 我的答案：B 7 如果在上，，则与的大小（）。 0.0 分 ? A、 = ? ? B、 ?

? C、 ? ? 不确定D、 ? 我的答案：A 8 假如你正在一个圆形的公园里游玩，手里的公园地图掉在了地上，问：此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？（） 0.0 分? 有A、 ? ? 没有B、 ? ? C、需要考虑具体情况 ? ? D、尚且无法证明 ? 我的答案：B 9