函数极限与连续

函 数

1.1.1 函数及其性质

1.函数的概念

引例 汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系 设行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，依题意可得()600s t t =<<+∞.变量s 和t 的这种对应关系，即是函数概念的实质.

定义 设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x 按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．

如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作00()y f x =.集合{}

(),Y y y f x x D ==∈称为函数的值域.

2.函数的表示法

（1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y kx b =+ （,k b 为常数，且0k ≠）.

（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表.

（3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像.

3.函数的两个要素

函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为[]1,1-等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.

两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数.

例如函数

y =y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x =因定义域不

例1.1.1 求函数()(

)lg 1f x x =-.

解 当且仅当10x ->且40x +≥时，()x f 才有意义，即41x -≤<，所以函数的定义域为[)4,1-.

例1.1.2 已知()31f x x =+，求()1f a -及1f x ?? ???

. 解 ()()3

3

2

11133f a a a a a -=-+=-+

3

311111f x x x ????

=+=+ ? ?????

例1.1.3 已知()211f x x x +=-+，求()f x . 解 令1x t +=，则1t x =-，

从而 ()()()2

2

11133f t t t t t =---+=-+

所以 ()233f x x x =-+

4.几种常见函数简介

（1）分段函数

有些函数在定义域不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数

例1.1.4 设()1,0,0,0,10.x f x x x >??

==??-

求()()()3,0,5f f f -.

解 ()()()31,00,5 1.f f f ==-=- （2）隐函数

通常将形如()y f x =的函数称为显函数；由二元方程(),0F x y =确定的函数称为隐函数.有些隐函数可以通过一定的运算，把它转化为显函数，例如2

2

4x y +=可以化为显函

数y =；但有些隐函数却不能化为显函数，例如

0x y e xy e +-=.

（3）参数方程确定的函数

由参数方程()()()x t t I R y t φ?=??∈??=??来表示x 和y 之间的函数关系，称为由参数方程确定的函数.例如，由参数方程()cos 0sin x t

t y t π=?≤≤?=?，可以确定函

数[]1,1y x =∈-.

（4）反函数 设()x f y =为定义在数集D 上的函数，其值域为M ．若对于数集M 中的每一

个数y ，数集D 中都有唯一的数x ，使得()f x y =，则称由此确定的函数为()

x f y =的反函数，记为()1

y f x -=，其定义域为M ，值域为D ．

注意：只有严格单调的函数才有反函数. 例1.1.5 求函数13

22

x y e =-的反函数，并确定反函数的定义域. 解 由1322

x y e =-得23x

e y =+，即()ln 23x y =+.将上式中的,x y 互换，因此得到函数1322x y e =-的反函数为()ln 23y x =+，反函数的定义域为3,2??

-+∞ ???

. 5.函数的几种特性

（1）奇偶性

设函数()x f y =的定义域D 关于原点对称，对任意x D ∈，①若()()x f x f =-，则称()x f y =为偶函数；②若()()x f x f -=-，则称()x f y =为奇函数；③不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.由定义可知奇函数的图像关于原点对

称，偶函数的图像关于y 轴对称.

例 1.1.6 判断下列函数的奇偶性：

①()()sin f x x x x =+；② (

)(ln f x x =；③32y x =+. 解 ①()()()()

()sin sin f x x x x x x x -=--+-=--- ()()sin x x x f x =+=，所以()()sin f x x x x =+是偶函数.

(

(()ln x f x =-=-，所以(

)(ln f x x =为奇函数．

③()()33

22f x x x -=-+=-+，它既不等于()f x ，也不等于()f x -，所以

32y x =+为非奇非偶函数.

（2）周期性 设T 为一个不为零的常数，如果函数()x f y =对于任意x D ∈，都有x T D +∈，

且()()f x T f x +=，则称()x f y =是周期函数．使上述关系式成立的最小正数T ，

称为函数()y f x =的周期．应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正

周期．例如函数x y x y cos sin ==、都是以π2为周期的周期函数，而x y tan =、

x y cot =则是以π为周期的周期函数． （3）单调性 设函数()x f y =在区间(),a b 内有定义，对于任意12a x x b <<<，

1）若()()21x f x f <，则称()x f y =在区间(),a b 内为单调增加函数，这时()

,a b 为()x f y =的单调增加区间.

2）若()()21x f x f >，则称()x f y =在区间(),a b 内为单调减少函数，这时()

,a b 为()x f y =的单调减少区间.

例如，函数2

x y =在()0，

∞-上是调减函数；在()∞+，0上是增函数． （4）有界性 设函数()x f y =的定义域为D ，如果存在一个正数M ，使得对任意x D ∈，恒

有()M x f ≤，则称()x f y =在D 上有界；如果不存在这样的正数，则称()

x f y =在D 上无界．

例如，函数sin y x =在其定义域()∞+∞-，

上是有界的；ln y x =在其定义域()0+∞，

上是无界的. 关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的．

1.基本初等函数

我们称下列六种函数为基本初等函数.

（1）常数函数：c y =（c 为常数）()x ∈-∞+∞，，函数的图形是一条水平的直线，

（2）幂函数：()R a x y a

∈=

（3）指数函数：()10≠>=a a a y x

，，()x ∈-∞+∞，

（4）对数函数：()10log ≠>=a a x y a ，，()0x ∈+∞，

（5）三角函数：

正弦函数x y sin =，()x ∈-∞+∞，； 余弦函数x y cos =，()x ∈-∞+∞，； 正切函数x y tan =，,2

x k k Z π

π≠+

∈；

余切函数x y cot =，,x k k Z π≠∈；

正割函数1

sec cos y x x ==（不做详细讨论）； 余割函数1

csc sin y x x

==（不做详细讨论）.

（6）反三角函数

反正弦函数x y arcsin =，[]1,1x ∈- 反余弦函数x y arccos =，[]1,1x ∈- 反正切函数x y arctan =，()x ∈-∞+∞， 反余切函数x arc y cot =，()x ∈-∞+∞，

2.复合函数

设函数()y f u =的定义域与函数()u x ?=的值域的交集非空，则称函数

()y f x ?=????是由()y f u =与()u x ?=复合而成的复合函数，u 其中称为中间变

量.

例1.1.7

求函数y =

与21u x =-的复合函数.

不是任何两个函数都能复合成一个复合函数．如arcsin y u =，2

2u x =+就

不能复合成一个复合函数. 利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较 复杂的函数分解成几个简单的函数. 例1.1.8 指出复合函数()2sin 1y x =+是由哪些函数复合而成的.

解()2sin 1y x =+是由2

,sin ,1y u u v v x ===+复合而成.

3.初等函数

定义 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并能用一个解析式表

达的函数称为初等函数．

例如：y =()arcsin 2y x =-等都是初等函数.而分段

函数不是初等函数.

1.1.3 函数关系的建立

构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那

些保持不变的规律性质.下面举例介绍运用函数思想来解决实际问题.

例1.1.9 某种旅行帽的沿接有两个塑料帽带，其中一个朔料帽带上有7个等距

的小圆柱体扣，另一个帽带上扎有7个等距的扣眼，用第一个扣分别去扣不同扣眼所

测得帽圈直径的有关数据（单位：cm ）见表1-1.

（2）小明的头围约为cm ，他将第一个扣扣到第4号扣眼，你认为松紧合适吗

解 （1）可根据统计数据，画出它们相应的散点图.可以看出与以前所学过的一

次函数的图像（直线）较为接近.由此确定近似的函数关系.设一次函数关系式

()0y kx b k =+≠，依题意可得

22.92,222.60.k b k b +=??+=? 解得0.32,

23.24.

k b =-??=? 所以函数关系式为0.3223.24y x =-+. （2）当4x =时，0.32423.2421.96,21.9668.95y c y ππ=-?+===?≈而 68.9568.940.01cm -=，因为0.01cm 很小，所以将第一扣扣到第4扣时合适.

小结与思考：

本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备．

思考：1. 分段函数()[][]3231,01,2x x f x x

x ?+∈-?=?∈??的定义域是什么

2. 任意两个函数都可以复合成一个复合函数吗

极限及其性质

1.2.1极限的概念

一般概念 ：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确

定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

1.∞→x 时函数的极限

定义 如果当x 的绝对值无限增大时，函数()x f 有定义，且函数值无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为∞→x 时函数()x f 的极限，记作()lim x f x A →∞

=或

()A x f →（∞→x ）．

由定义可知，当∞→x 时，()1f x x

=

的极限为0，即1

lim 0x x →∞=.

如果当0x >且x 无限增大时，函数()x f 有定义，且函数值无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为x →+∞时()x f 的极限，记作()lim x f x A →+∞

=.例如，当x →+∞

时，()x

f x e -=的极限为0，即lim 0x

x e

-→+∞

=.如果当0x <且x 无限增大时，函数

()x f 有定义，且函数值无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为x →-∞时()x f 的

极限，记作()lim x f x A →-∞

=.例如，当x →-∞时，()x

f x e =的极限为0，即

lim 0x x e →-∞

=.

例1.2.1 判断lim x

x e →-∞

与lim x

x e →+∞是否存在.

解 lim 0x x e →-∞

=.因为x e →+∞（x →+∞），所以lim x

x e →+∞

不存在.

数列12,,,,n y y y L L 可以写成()()1,2,3,n y f n n ==L ，即数列可以看成是自变量为整数的函数.由定义得到数列极限的定义.

列n y 的极限.此时也称数列n y 收敛于A ，记为lim n n y A →∞=或()n y A n →→∞

()A x f →（∞→x ）．若数列n y 的极限不存在，则称该数列发散.

例如，（1）lim n c c →∞=；（2）1lim 02n n →∞=；（3）()lim 1n

n →∞-不存在.

2.0x x →时函数的极限

为了便于描述。先介绍邻域的概念：开区间()00,x x δδ-+称为点0x 的δ邻域；

开区间()()0000,,x x x x δδ-+U 称为点0x 的去心邻域（0δ>）.

定义 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义.如果当x 无限趋近于0x 时，

()x f 无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为0x x →时函数()x f 的极限，记作

()0

lim x x f x A →=或()A x f →（0x x →）

． 由极限的定义可知，211lim 21x x x →-=-.11lim 1x x →-不存在，但可以记为11lim 1

x x →=∞-. 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域的左侧有定义.如果当0x x <且无限趋近于0

x 时，()x f 无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为()x f 在点0x 的左极限，记作

()0

lim x x f x A -

→=.设函数()x f 在点0x 的某去心邻域的右侧有定义.如果当0x x >且无限趋近于0x 时，()x f 无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为()x f 在点0x 的右极

限，记作()0

lim x x f x A +

→=. 根据定义可得：()()()000

lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==. 例 1.2.2 设()1,00,01,0

x x f x x x x -? 讨论()()()000lim ,lim ,lim x x x f x f x f x +-→→→是否存在 解 由图1-2可以看出： ()()00lim 1,lim 1x x f x f x +-→→==-.显然()()00lim lim x x f x f x +-→→≠，所以()0lim x f x →不存在.

1.2.2 极限的性质

性质1（唯一性） 如果()0

lim x x f x A →=存在，那么这极限值A 唯一. 性质2（局部有界性） 如果()0

lim x x f x A →=，则在点0x 的某个去心邻域内()x f 有界.

性质3（局部保号性） 如果()0

lim x x f x A →=，且0A >（或0A <），则在点0x 的某个去心邻域内()0f x >（或()0f x <）. 性质4（夹逼定理） 若在点0x 的某个去心邻域内，有()()()g x f x h x ≤≤，且()0lim x x g x A →=，()0lim x x h x A →=；则()0

lim x x f x A →=. 注意：对于00,,,x x x x x x -+

→→→-∞→+∞时定理仍然成立. 1.2.3 无穷小与无穷大

1.无穷小量

定义 在某变化过程中以零为极限的量称为无穷小量，简称无穷小.

例如，当0x →时，函数()21x

f x =-就是无穷小量. 注意：（1）无穷小不是很小的数，而是以零为极限的函数；（2）数0是无穷小；

（3）若一个函数是无穷小，必须同时指出自变量的变化过程.

2.无穷大量

定义 在某变化过程中绝对值无限增大的量称为无穷大量，简称无穷大.

注意：（1）无穷大不是很大的数，它是一个绝对值无限增大的函数；（2）若一个

函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化过程.

3.无穷小量与无穷大量的关系

当0x →时，2

x 是无穷小，而21x

是无穷大.说明无穷小（数0除外）的倒数是

无穷大.当2x →-时，12

x +是无穷大，而2x +是无穷小.说明无穷大的倒数是无穷

小. 定理 如果()0f x ≠，且()0lim x x f x →=∞，则()0

lim 0x x f x →=；反之，若()0

lim 0x x f x →=，则()01

lim x x f x →=∞. 注意：对于00,,,,x x x x x x x -+

→→→∞→-∞→+∞时定理仍然成立.

（1）2123lim

54

x x x x →--+；（2）221

lim

x x x x →∞++. 解（1）因为2154lim 023x x x x →-+=-，所以2123

lim 54x x x x →-=∞-+.

（2）()()21211

1lim lim lim 00011x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞+++??==+=+= ?+++??. 小结与思考： 本节讲述了各种趋势下的极限的定义，掌握它们的叙述方法. 思考： 作业：作业见教学日历 极限的运算 利用极限的定义只能计算一些简单函数的极限，本节介绍极限的四则运算法则、两个重要极限、无穷小比较，以期求较复杂函数的极限. 在下面的讨论中，记号“lim ”表示定理对0x x →及x →∞都是成立的．

1.3.1 极限四则运算法则 定理 在自变量x 的统一变化过程中，若()()lim ,lim f x A g x B ==. 则

(1) ()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ±=±=±????

； (2) ()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ?=?=?????

； (3) 若()lim 0g x B =≠，则()()()()lim lim lim f x f x A

g x g x B

== . 推论1 ()()lim lim cf x c f x =????

（c 为常数）. 推论2 ()()lim lim n n

f x f x =????????. 例1.3.1 求322 2

lim 53

x x x x →--+.

解： 332222 2

lim(2)2

lim 253lim(53)

x x x x x x x x x →→→--==--+-+ 例1.3.2 求23

lim x -.

01

lim sin .

x x

→证明不存在

解 2

3 3 311

lim lim 936

x x x x x →→-==-+ 例1.3.3 求3232341

lim 43x x x x x →∞+--+ .

解 3

2

3323

41

33413lim

lim 134434x x x x x x x x x

x →∞→∞

+

-

+-==-+-+

同理可得：()1010

0010

01,,lim

,,0,00,,

n n n m m x m m n a x a x a a m n a b b b x b x b m n --→∞?∞

+++?==≠≠?+++??>?L L . 1.3.2 两个重要极限

在求极限过程中，利用两个重要极限公式来求，相当方便.

1. 第一个重要极限 1sin lim 0=→x

x x

经常应用它的变量代换形式，即：若()0

lim 0x x x ?→=，则()()

sin lim

1x x x x ??→????

=.

例1.3.4 求0lim

sin 2x x

x →.

解 000111

lim lim sin 2sin 2sin 22

2lim 2x x x x x x x x x

→→→===.

例1.3.5 求0sin lim sin x ax

bx

→.

解 000sin sin lim lim lim sin sin x x x ax

ax a a

ax bx bx b b

bx

→→→=?=

例1.3.6 求01

lim sin x x x

→?

解 001sin

1lim sin lim

11

x x x x x x

→→?== 2. 第二个重要极限 1lim 1x

x e x →∞

??

+= ???

从上表可以看出，当x 无限趋于∞时，11x

x ??+ ???的值无限趋于e . 经常应用它的变量代换形式，即()()()

1lim 1x x e x ???→∞??+= ? ???

或. 例1.3.7 求下列极限.

（1）1lim 1x x x →∞??- ???；（2）23

1lim 1x x x -→∞

??+ ???. 解（1）()()()()111

111lim 1lim 1lim 1x x x

x x x e x x x -----→∞→∞→∞????????????-=+-=+-=?? ? ? ? ? ??????????????? （2）2233

111lim 1lim 11x x x x x x x --→∞→∞

????????+=+?+?? ? ? ???????

????

23

2211lim 1lim 11x x x e e x x -→∞→∞

??????=+?+=?=?? ? ?????????

1.3.3 无穷小的性质与比较

1. 无穷小的性质

由于无穷小是在某种趋向下，极限为零的函数，由极限的四则运算容易得到以下结论. 性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

性质2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.

性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

例1.3.8 求sin lim x x

x

→∞.

解 因为sin 1x ≤，x 1

为x →∞时的无穷小量，所以sin 1lim

lim sin 0x x x x x

x →∞→∞== 2.无穷小的比较

定义 设lim 0,lim 0αβ==，若lim 0β

α

=，则称β是α的高阶无穷小，记作

()βοα=；若lim β

α=∞，则称β是α的低阶无穷小；若()lim 0,0k c c k βα

=≠>，则

称β是α的k 阶无穷小；若()lim

0c c β

α

=≠.当1c ≠时，称β与α是同阶无穷小；当

1c =时，称β与α是等价无穷小，记作~αβ； 例1.3.9 比较下面的无穷小.

（1）当0x →时，32x 与2

x ；（2）当2x →时，24x -与2x -；

（3）当0x →时，sin x 与x ；（4）当0x →时，1cos x -是关于x 几阶无穷小. 解（1）3200

2lim lim 20x x x x x →→==，此时32x 是2

x 的高阶无穷小；

（2）2

24

lim

42

x x x →-=-，此时24x -与2x -是同阶无穷小； （3）0sin lim 1x x x

→=，此时sin x 与x 是等价无穷小；

（4）2

20002sin sin 1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→?? ?-=== ? ???

，此时1cos x -是关于x 二阶无穷小. 定理 设,αβ均为无穷小，且''~,~ααββ，且''lim βα存在，则'

'lim lim ββ

αα=. 此定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母可用与之等价的无穷小来替换. 例1.3.9 求下列极限. （1）0tan 2lim sin 5x x x →；（2）30sin lim 3x x x x →+.

解（1）当0x →时，tan 2~2,sin5~5x x x x .所以00tan 222lim lim sin 555

x x x x x x →→==.

（2）当0x →时，sin ~x x ，所以332000sin 11lim lim lim 3333x x x x x x x x x x →→→===+++

常用的等价无穷小有： 当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，arctan ~x x ，2

1cos ~2x x -，()ln 1~x x +，1~x e x -

1

1~2

x . 小结与思考：

本节讲述了极限四则运算法则，两个重要极限及无穷小的性质与比较．

1.已知21lim

51x x ax b

x

→++=-，求a 与b 的值. 2.求极限()()()2030502126lim 23x x x x →∞

-+-. 函数的连续性 1.4.1函数的连续性及其性质 1.函数在一点处连续

定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若()()0

0lim x x f x f x →=，则称函数()x f y =在点0x 连续．

函数在一点连续的概念也可以如下定义： 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，记x ?为自变量x 在点0x 处的改

变量，y ?为相应函数值的改变量.若0

lim 0x y ?→?=，则称函数()x f y =在点0x 连续． 2.函数在一点处的左右连续

定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若()()0

0lim x x f x f x -→=（或()()0

0lim x x f x f x +→=）

，则称函数()x f y =在点0x 处左连续（或右连续）． 3.函数在区间上连续

若函数()x f y =在开区间(),a b 内的每一点处均连续，则称函数在开区间()

,a b 内连续；若函数()x f y =在(),a b 内连续，且在左端点a 处右连续，在右端点b 处

左连续，即()()()()lim ,lim x a x b f x f a f x f b -→+→==，则称该函数在闭区间[]

,a b 内连续. 4.初等函数的连续性 定理（连续的四则运算法则） 若函数()f x 和()g x 在点0x 处连续，则

它们的和()()f x g x +、差()()f x g x -、积()()f x g x ?以及商

()(()0)()f x g x g x ≠点0x 处连续. 定理（复合函数连续性） 设函数()y f u =在0u 处连续，函数()u x ?=在

点0x 处连续，且()00u x ?=，如果在点0x 的某个邻域内复合函数()()y f

x ?=有

定义，则复合函数()()

y f x ?=在点0x 处连续.并且有：

()()()()()()

00

0lim lim x x x x f x f x f x ???→→==.

例1.4.1

求3x →

解

3x →=== 例1.4.2 求()6

lim ln 2cos 2x x π→

.

解 ()66lim ln 2cos 2ln lim 2cos 2ln 2cos 2ln106x x x x πππ→→??

??==?== ??????? 定理 初等函数在其定义区间内是连续的. 5.闭区间上连续函数的性质 定理（有界定理）若函数()f x 在闭区间[]

,a b 上连续，则函数()f x 在[],a b 上有界.

定理（最值定理）若函数()f x 在闭区间[]

,a b 上连续，则函数()f x 在[],a b 上有最

大值和最小值. 定理（介值定理）若函数()f x 在闭区间[]

,a b 上连续，m 和M 分别是函数()f x 在

[],a b 上的最大值和最小值，则对于任一数c ：m c M <<，在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使得()f c ξ=.

定理（零点定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则在

(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=.

例1.4.3 证明方程5

310x x --=在()1,2内至少有一个实根.

证 设()5

31f x x x =--，显然()f x 在[]1,2上连续.

又()()130,2250f f =-<=>.由零点定理，至少存在一点()1,2ξ∈，使得

()0f ξ=，即方程5310x x --=在()1,2内至少有一个实根.

定义 设函数()f x 在0x 的某个去心邻域内有定义，若函数()f x 在点0x 处不

连续，则点0x 称为函数()f x 的间断点.

若点0x 为函数()f x 的间断点，则根据极限的定义，它至少满足以下三

个条件之一：(1) ()f x 在点0x 处没有定义；(2) ()0

lim x x f x →不存在；(3) ()()0

0lim x x f x f x →≠.

定义 设0x 为()f x 的一个间断点，如果当0x x →时，()f x 的左右极限都

存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点.并且，当()()00

lim lim x x x x f x f x +-→→=，称0x 为()f x 的可去间断点；当()()00

lim lim x x x x f x f x +-→→≠，称0x 为()f x 的跳跃间断点.函数()f x 除第一类之外的间断点都称为()f x 的第二类间断点.

例1.4.4 求函数()221

32x f x x x -=-+的间断点，并判断是何种类型的间断点. 解 令()()2

32120x x x x -+=--=，解得1x =或2x =.由间断点的定义可

知，1x =，2x =是函数()f x 的间断点.

因为()22

11111

lim lim lim 2322

x x x x x f x x x x →→→-+===--+-，所以1x =是第一类间断点的可去间断点.而()22

22211

lim lim lim 322

x x x x x f x x x x →→→-+===+∞-+-，所以2x =是第二类间断点.

思考： 1.如何求初等函数的连续区间》 2.如何利用连续性求函数的极限

一、主要内容

1. 函数

2. 函数的极限

3. 两条极限存在准则 两个重要极限 （1）夹逼准则

（2）单调有界准则 （1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。

（3）两个重要极限 4. 无穷小

（1）无穷小与无穷大 （2）无穷小的比较 （3）几个常用的等价无穷小

（4）应用等价无穷小求极限 （等价无穷小替换定理） 5. 函数的连续性与间断点 （1）函数的连续性 （2）函数的间断点 （3）初等函数的连续性 6. 闭区间上连续函数的性质 （1)最值定理 （2介值定理 （3零点存在定理

二、习题选讲

例1 设?????<≥=1

1)(2

x x

x x

x f x x g lg )(= 求))((x g f ，))((x f g .

解：① ??

?<≥=1

lg )

(lg 1lg lg ))((2

x x x x g f

???<<≥≤=)

10()

(lg )

10(lg 10

12

101

x x x x x

或

② )(lg ))((x f x f g =，故必须0)(>x f .

当1≥x ，即1-≤x 或1≥x ，有x x f =)(，显然1-≤x ，x lg 无意义， ))((x f g ==)(lg x f x lg （当1≥x ）

当1

)(x x f =，显然0)0(=f 不符合0)(>x f 这一要求，故0=x 不在))((x f g 定义域内。

2lg )(lg ))((x x f x f g ==∴ （当01<<-x 或10<

∴???<<<<-≥=1001lg 1lg ))((2

x x x x x

x f g 或当当 例2 设0>a ，01>x ，????

??+=+x n n n x a x x 2311，Λ2,1=n ，证明}{n x 收敛，并求其极限。

证明 3

32

2131a x a x x x a x x x n n n n n n n =??≥???? ?

?++=+Θ，Λ2,1=n ， }{n x ∴有下界 又 ???

? ??-=-???? ??+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x 22131231Θ 032≤-=n n x x a }{n x ∴单调下降有下界，从而存在极限 设l x n n =∞→lim ，对???

? ??+=+21231n n n x a x x 两边取极限??? ??+=?2231l a l l ，3

a l =∴. 例3 求x

x x x 1

)cos (sin lim +→

解法1： 原式=[]

x x x

x x x x 210

2120)2sin 1(lim )cos (sin lim +=+→→ e x x x

x x =??

?

???+=→22sin 2sin 10

)2sin 1(lim

解法2： 令x x x y 1

)cos (sin +=，则有)cos ln(sin 1

ln x x x

y +=，而

1cos sin sin cos lim )cos ln(sin lim 00=+-=+→→x x x x x

x x x x ，e =∴原式. ????12

解： 令t x 1=，则有原式21)1ln(lim )1ln(1lim 2020=+-=??

????+-=→→t t t t t t t t . 例5 求x x x π

)(cos lim 0

+→

解：原式 []

π

?-?-→-+=x x x x x 1

cos 1cos 10

)1(cos 1lim

2

ln 2ππ--==e e e 例6已知01lim 20=????

??--+→b ax x x x ，其中a ，b 为常数，求a ，b . 解： 01lim 2=????

??--+∞→b ax x x x Θ =--+∴∞→x b

ax x x

x 1lim 2

01lim =??

? ??-+∞→a x x x 11lim =+=∞→x x

a x ，再由01lim 2=???? ??--+∞→

b ax x x x ，=???? ??-+=∞→x x x b x 1lim 211lim -=+-∞→x x

x 1=∴a ，1-=b .

例7 已知 83lim

2=-++→a x b

bx x a x ，求常数a ，b . 解： 由于a x -，当a x →时趋于0，极限值为8，故此极限式必为0

0型极限。由

因式分解ax x a c x c x a x b bx x --+=+-=++)())((32

2(a ，

c 为待定常数)，比较两边系数???=-=-b ac b a c 3，再由c a c x a x b

bx x a x a x +=+=-++→→)(lim 3lim

2，8=+∴c a

??

?

??=+=-=-∴8

3c a b ac b

b c ，???-==∴416b a 或 ???=-=164b a

例8 求函数x x e x f --=111

)(的间断点，并指出其类型。 解： 当0=x ，1=x 函数无定义，故为函数间断点

∞=-=-→→x

x x x e x f 10

011lim )(lim Θ 0=∴x 是函数的第二间断点 又 011lim )(lim 111=-=-→→--x

x x x e x f Θ，111lim )(lim 11

1=-=-→→+

+x

x x x e x f 1=∴x 为第(一)类间断点。 例9 设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，对?实数x ，y 有关系式 )()()(y f x f y x f +=+且)(x f 在0=x 连续，试证：)(x f 在),(∞+-∞内处处连续。 证明 ),(0∞+-∞∈?x ，设x ?为增量，)()()(00x f x f x x f ?+=?+，由于

)(lim )(lim )(lim 00000x f x f x x f x x x ?+=?+→?→?→?

)(0)()0()(000x f x f f x f =+=+=

())0()0(00(f f f +=+）Θ ∴)(x f 在),(∞+-∞上连续。

例10 设函数)(x f 在],[b a 上连续，且函数的值域也是],[b a ，证明：至少存在一点

),(b a ∈ξ使ξξ=)(f ，其中a b >.

证明 设x x f x F -=)()(，则)(x F 在],[b a 上连续，若0)(=a F （或0)(=b F ），

则

a a F =)(（或

b b F =)(），令a =ξ（或b =ξ）即可。