常用逻辑用语学案

1.1.1命题

【学习目标】

1．理解什么是命题，会判断一个命题的真假．

2．分清命题的条件和结论，能将命题写成“若p ，则q ”的形式． 【自主学习】研读教材P2-P3内容，回答下列问题： 1.命题定义：

数学中,我们把可以的叫做命题.

从命题定义中可以看出,命题具备的两个基本条件是： 2.命题的分类：

真命题：判断为的命题叫做真命题. 假命题：判断为的命题叫做真命题.

3.在数学中，命题常写成“若p ，则q”或者 “如果p ，那么q”这种形式。通常，我们把这种形式的命题中的p 叫做，q 叫做.

【自主检测】

下列语句中：

（1）若直线//a b ，则直线a 和直线b 无公共点；（2）247+=； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x =，则1x =； （5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除. 其中真命题有，假命题有

【合作探究及展示】

探究1.判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集． (2)若整数a 是素数，则是a 奇数． (3)指数函数是增函数吗？

(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行． (5)

2

)2(-＝－２．(6)x ＞15．

是命题有，其中真命题有，假命题有 探究2.指出下列命题中的条件p 和结论q ．

(1)若整数a能被2整除，则a是偶数．

(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．

(3)若a＞0，b＞0，则a+b＜0．

探究3.把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断各命题的真假（1）垂直于同一条直线的两个平面平行

（2）负数的立方是负数.

（3）对顶角相等.

【课堂检测】

1.判断下列命题的真假：

（1）能被6整除的整数一定能被3整除；

（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；

（3）二次函数的图象是一条抛物线；

（4）两个内角等于45 的三角形是等腰直角三角形.

2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假.

(1)等腰三角形两腰的中线相等；

(2)偶函数的图象关于y轴对称；

(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.

【课堂小结】判断一个语句是不是命题注意两点：

（1）；（2）

【课后作业】世纪金榜即时小测

1.1.2四种命题

【学习目标】

了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念和形式．

【自主学习】

1.四种命题：

（1）一般地，对于命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．

（2）对于命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．

（3）.对于命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做．其中一个命题叫做，另一个命题叫做原命题的．

2.四种命题的形式

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

原命题：“若P，则q”，则它的逆命题为：“”

否命题为：“”，逆否命题为：“”

（符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；读作“非p”）

【自主检测】

1. 命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（）.

A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.等价命题

2.如果x2＝1，则x＝1的否命题为

x>的逆命题是;否命题是

3. 若1

x>，则21

【合作探究及展示】

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；

(2)若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等；

(3)奇函数的图像关于原点对称.

【课堂检测】

1.命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（ ） A 、若b a <，则c b c a +<+ B 、若b a ≤，则c b c a +≤+

C 、若c b c a +<+，则b a <

D 、若c b c a +≤+，则b a ≤

2. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）. A.若0x >或0y >，则0xy ≤ B.若0x >且0y >，则0xy ≤

C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <

D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤

3.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 （1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数；

（2）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.

【课堂小结】 1.四种命题的真假性2.一些特殊词的否定

3.通过这节课你能发现四种命题的真假性之间有什么联系吗？ 【课后作业】世纪金榜 即时小测

1.1.3四种命题间的相互关系

【学习目标】

掌握四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．

【自主学习】

一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间的相互关系如下：

由于逆命题和否命题也是互为________命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性.

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.

※当直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

【自主检测】

以命题“若0x >且0y >，则0xy >”原命题,则它的四种命题正确的个数为（ ）.

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 【合作探究及展示】

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。并判断其真假。 (1) 若0)7)(3(73=--==x x x x ，则或；

(2) 若b a 、都是奇数，则ab 必是奇数。

【目标检测】

1.证明：若22

0x y +=,则0x y ==.

2.证明：“若2

2

2430a b a b -+--≠,则1a b -≠.”为真命题.

【课堂小结】四种命题的真假性 【课后作业】:课本8P 练习

1.2.1充分条件与必要条件

【学习目标】

理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念； 会判断命题的充分条件、必要条件． 【自主学习】

（1）定义：一般地，“若p ，则q ”为命题，是指由p 通过推理可以得出

q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：，并且说p 是q 的条件，q 是p 的条件.

（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由p 推不出q ，记作.此时，我

们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件. 【自主检测】

试试：用符号“?”与“≠>”填空： （1） 22x y =x y =；

（2） 内错角相等两直线平行；

（3） 整数a 能被6整除a 的个位数字为偶数； （4） ac bc =a b =. 【合作探究及展示】

探究1下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？

（1）若x ＝1，则x 2

－4x ＋ 3 ＝ 0；

（2）若f(x)＝ x ，则f(x)在

∞∞（-,+)上为增函数； （3）若x 为无理数，则x 2

为无理数．

探究2下列“若p,则q ”形式的命题中，那些命题中的q 是p 的必要条件? （1）若x ＝ y ，则x 2

＝ y 2；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若a ＞b,则ac ＞bc ．

【课堂检测】

1. 用“充分”或“必要”填空，并说明理由： （1）p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的条件.

（2）p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的条件 （3）“a 和b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的条件；

2.在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直

3.下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >

4.下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.

5. 判断下列命题的真假.

（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.

【课堂小结】：判断命题的真假是解题的关键. 【课后作业】:课本12P 习题1.2

1.2.2充要条件

【学习目标】

1. 理解充要条件的概念；

2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 【自主学习】

研读教材1.2.2节内容，回答下列问题： 1.定义：

一般地，如果既有p ?q ，又有q ?p ，就记作，此时我们说

p 是q 的条件，简称. 显然,如果p 是q 的充要条件,那么q 也是p 的条件. 概括地说,如果p ? q,那么p 与 q 互为条件. 2.在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一： （1）若p ?q ,但q ≠>p ，则称p 是q 的条件； （2）若p ≠>q ，但q ?p ，则称p 是q 的条件； （3）若p ≠>q ，且q ≠>p ，则称p 是q 的条件. （4）若p ? q, 则p 与 q 互为条件. 【自主检测】

“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分

而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【合作探究及展示】

探究1下列各题中，哪些p 是q 的充要条件? (1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2)p : 0,0,x y >>q :0xy > (3)p : a b > ， q :a c b c +>+

小结：判断是否充要条件的方法 （1）p q ?且q p ?；

（2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化

探究2下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p:-3=0x ，q:()()-3-4=0x x ； （2）p:-23x ≤，q ：-15x ≤≤； 【课堂检测】

1. 用充分、必要、充要填空. (1).3x >是5x >的条件 (2).3x =是2230x x --=的条件

(3).两个三角形全等是两个三角形相似的条件 2. 下列命题为真命题的是（ ）.

A.a b >是22a b >的充分条件

B.||||a b >是22a b >的充要条件

C.21x =是1x =的充分条件

D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件 3.下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？

（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α

平行；

（2）若数列{a }n 的通项公式是a =n n c +，则数列{a }n 是公差为1的等

差数列.

（3）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.

4.在下列各题中, p 是q 的什么条件?

(1) p :234x x =+ , q :x

(2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=

(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ , q :20(0)ax bx c a ++=≠有实数根.

(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根，q :0a b c ++=

【课堂小结】：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性. 【课后作业】:课本12P 习题1.2

1.3.1-1.3.2简单的逻辑联结词

【学习目标】

1.理解逻辑联结词“且”“或”的意义，会判断命题“p 且q ”、“p 或q ”的真假．

2．能把文字语言，符号语言相互转化． 【自主学习】

研读教材1.3.1-1.3.2节内容，回答下列问题：

1．一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，

记作

，读作

.

2．我们规定：当p ，q 都是真命题时，p q ∧是 命题；

当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是 命题． 3．一般地，用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，

记作 ，读作 .

4．我们规定：当p ，q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是

命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p q ∨是 命题

即：

【自主检测】

1.已知:225,:32p q +=>，则下列判断中，错误的是 ( ) A ．p 为假 B.q 为真 C.

p 或q 为假 D.p 且q 为假

2．分别用“p ∧q ”“p ∨q ”填空．

(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式． (2)命题“5小于或等于7”是________形式．

(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式． 【合作探究及展示】

探究1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：

（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数

探究2判断下列命题的真假 (1) 22≤；

(2) 集合A 是A B 的子集或是A B 的子集；

(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

【课堂检测】

1.用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假 （1）1既是奇数，又是素数； （2）2是素数,3是素数.

2.判断下列命题的真假： （1）12是48且是36的约数； （2）矩形的对角线互相垂直且平分. （3） 47是7的倍数或49是7的倍数； （4） 等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.

3. 若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )

A ．“p q ∨”为假

B ．“p q ∨”为真

C ．“p q ∧”为真

D ．以上都不对

4．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么( ) A ．命题p ，q 都是真命题 B ．命题p ，q 都是假命题

C ．命题p ，q 只有一个是真命题

D ．命题p ，q 至少有一个是真命题

5．已知命题p ：0不是自然数，q ：π是无理数，写出命题“p q ∧”，“p q ∨”，并判断其真假．

【课堂小结】：

p ∧q 与p q ∨的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断.

【课后作业】:课本18P 习题1.3

1.3.3简单的逻辑联结词

【学习目标】

1.理解逻辑联结词“非”的意义．

2．能把文字、符号语言相互转化．

【自主学习】

研读教材1.3.3节内容，回答下列问题：

1．一般地，对命题p全盘否定，就得到一个新的命题，记作，读作.

2.若p是真命题，则非p是命题，若p是假命题，则非p是题

3.对一些词语的否定

【自主检测】

1.写出下列命题的否定，并判断其真假：

<

(1)2是有理数；(2)5不是15的约数；(3)23

【合作探究及展示】

写出下列命题的否定，并判断他们的真假：

（1）p：sin

y x

=是周期函数；

（2）p：32

<

（3）p：空集是集合A的子集.

【课堂检测】

1.写出下列命题的否定，然后判断它们的真假.

（1）2+2=5（2）3是方程29=0x -（31-

2.判断下列命题的真假：

（1）78≥（2）52>且73>（3）34>或34< 3. 下列“p ?”形式的命题中，假命题是( ) A.2不是有理数 B ．π≠3.14

C ．方程22321=0x x ++没有实根

D ．等腰三角形不可能有120°的角 4.已知命题:66p ≥，:89q >，则下列选项正确的是 ( )

A ．p q ∨为真，p q ∧为真，p ?为假

B ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ?为真

C ．p q ∨为假，p q ∧为假，p ?为假

D ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ?为假

5．对于命题p 和q ，若p q ∧为真命题，则下列四个命题：

①p 或q ?是真命题；②p 且q ?是真命题； ③p ?且q ?是假命题；④p ?或q 是假命题． 其中真命题有( )

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

6．已知命题p ：不等式2

10x x ++≤的解集为R ，命题q ：不等式

2

01

x x -<-的解集为{}12x x <<，则命题“p q ∨”“p q ∧”“p ?”“q ?”中正确的是命题_______________．

【课堂小结】：p ?的真假性的判断，关键在于p 的真假的判断. 【课后作业】:课本18P 习题1.3

1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词

【学习目标】

1.理解全称量词、存在量词，能够用符号表示全称命题、特称命题，并会判断其真假．

2.明确判断全称命题、特称命题真假的判断方法． 【自主学习】

1．全称量词、全称命题 (1)短语“ ”、“

”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“_______”

表示，含有全称量词的命题叫做

．

(2)常见的全称量词有：

“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“全部的”． (3)全称命题的形式：

对M 中任意一个x ，有p (x )成立，可简记为：

2．存在量词 特称命题 (1)短语“ ”、“

”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“_______”

表示，含有存在量词的命题叫做 ．

(2)常见的存在量词有：

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”． (3)特称命题的形式：

存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立，可简记为

【自主检测】

判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）中国所有的江河都流入大海； （2）有一个素数不是奇数.

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）有的对数函数都是单调递减函数． 【合作探究及展示】

探究1：判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数； （2）?x R ∈,2,+11x R x ?∈≥ （3）对每一个无理数2,x x 也是无理数. 探究2：判断下列特称命题的真假：

（1）有一个实数0x ，使2

00230x x ++=；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数.

【课堂检测】

1. 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3）{|x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数.

2. 判定下列特称命题的真假： （1）00,0x R x ?∈≤；

（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）0{|x x x ?∈是无理数}，20x 是无理数.

3.下列命题中，假命题是（ ） A.

2,230x R x x ?∈--= B.至少有一个,x Z x ∈能被2和3整除

C. 存在两个相交平面垂直于同一直线

D.2,(1)0x R x ?∈-≥ 4.下列命题中假命题的个数（ ）.

(1)2,22x R x ?∈+≥；（2）,213x R x ?∈+=；

（3）,x Z ?∈x 能被3和5整除；（4）2,230x R x x ?∈++= A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

【课堂小结】：

1.要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x ，使命题p(x)为假。

2.要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x ，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。 【课后作业】:课本26P 习题1.4

1.4.3含有一个量词的命题的否定

【学习目标】

1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；

2. 明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题. 【自主学习】

含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题p ：x M ?∈，p (x )，它的否定p ?： ，

全称命题的否定是

命题．

(2)特称命题p ：0x M ?∈，p (x 0)，它的否定p ?：

，

特称命题的否定是 命题．

【自主检测】

1．命题2:1,log 0p x x ?>>，则p ?是( ) A ．21,log 0x x ?>≤ B ．21,log 0x x ?≤> C ．21,log 0x x ?>≤D ．21,log 0x x ?≤>

2.命题“存在x ∈R ，使得x 2

＋2x ＋5＝0”____________________________ 【合作探究及展示】

探究1.写出下列全称命题的否定 (1)p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x ∈Z, x 2

的个位数不是奇数.

探究2写出下列特称命题的否定

（1）p ：存在一个实数0x ，2

00220x x ++≤；

（2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含有三个因数.

【课堂检测】

1.写出下列命题的否定： （1）,n Z n Q ?∈∈；

（2）任意素数都是奇数； （3）每个指数函数都是奇函数.

2. 写出下列命题的否定： （1）有些三角形是直角三角形； （2）有些梯形是等腰梯形；

（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.

2.对下列命题的否定说法错误的是（ ）

A. p ：能被3整除的数是奇数；p ?：存在一个能被3整除的数不是奇数

B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ?：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C. p ：有的三角形为正三角形；p ?：所有的三角形不都是正三角形

D. p ：2

,220x R x x ?∈++≤；p ?：2

,220x R x x ?∈++>

3.命题“对任意的32

,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）

A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤

B. 存在32

,10x R x x ∈-+≤ C. 存在32

,10x R x x ∈-+>

D. 对任意的32

,10x R x x ∈-+> 4. 平行四边形对边相等的否定是

5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是

【课堂小结】：

1.在写一个命题的否定时，要分清这个命题是全称命题还是特称命题.

【课后作业】:课本2627P P 习题1.4