江苏省天一中学2021届高三数学上学期12月份调研考试试题(含解析).doc

江苏省天一中学2021届高三数学上学期12月份调研考试试题（含解

析）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =_____. 答案：{2}，

分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 解：

{1A =，3}，{3B =，4}，

{1A B ∴=，3，4}，

{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，

(){2}U C A

B ∴=

2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 ． 答案：3-

分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：

(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，

且z 的实部与虚部相等，

221a a ∴-=+，即3a =-．

故答案为：3-．

3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)

分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.

解：由题意得0

10x x ≥??

->?

，解得01x ≤<

故函数()f x 的定义域为[0,1)

4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：23

分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．

解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），共4种，

故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为426

3

=，

故答案为：23

5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为 ．

答案：200

分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量??频率

组距

组距求出．

解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．

根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，

其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200?++?= 故答案为：200

6. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ． 答案：8

分析：根据程序框图进行模拟运算即可． 解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，

10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，

故答案为：8

7.若抛物线2

2y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22

4

51x y -=的右焦点，则p =____． 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．

解：双曲线22

4

51x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32

p =，6p ∴=

故答案为：6

8. 已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ???π=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()

8

f π-的值为 ． 答案：2-

分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可． 解：()3sin(2)cos(2)2sin(2)6

f x x x x π???=+-+=+-，

()f x 是奇函数，

6

k π

?π∴-

=，

即6

k π?π=+，k Z ∈，

0?π<<，0k ∴=时，6

π?=，

即()2sin 2f x x =，

则2

()2sin()2284f ππ-=-=-?

=-， 故答案为：2-．

9. 已知数列{}n a 与2

{}n

a n

均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．

答案：20

分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}n

a n

均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得

222(2)2(22)2213

d d ++?=+，解得d ，即可得出．

解：设等差数列{}n a 的公差为d ．

又数列2{}n

a n

均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，

222

(2)2(22)2213

d d ++∴?=+，

解得2d =．

则1029220a =+?=． 故答案为：20．

10. 如图，在ABC ?中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=?，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134

DE DF =，则线段BD 的长为 ．

3

分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =，

再由余弦定理可得：BC =

然后设(01)BD BC λλ=，结合平面向量的线性运算可得：

213

()()121874

DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=

，解得：14λ=，即可得解．

解：因为在ABC ?中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=?， 所以4AB AC =，

又在ABC ?中，由余弦定理可得：

2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，

又4AB =，2AC =，60BAC ∠=?，

得BC = 设(01)BD BC λλ=，

则()()DE DF BE BD DC CF =-+

11

()[(1))22

AB BC BC AC λλ=-

--- 11

[()][()(1)]22

AB AC AC AB λλλλ=-----

222111

()(1)()(22)224

AB AC AB AC λλλλλλ=------+

212187λλ=-+

134

=， 解得：14

λ=， 即14

BD BC =，

即线段BD ，

． 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ?和NAB ?的面积均为4，则r 的取值范围是 ．

答案： 分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程，

根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围．

解：由题意可得||AB = 根据MAB ?和NAB ?的面积均为4，

可得两点M ，N 到直线AB 的距离为 由于AB 的方程为0320

13

y x -+=---+，

即30x y ++=；

若圆上只有一个点到直线AB 的距离为

则有圆心(2,0)到直线AB

r =+r ；

若圆上只有3个点到直线AB 的距离为

则有圆心(2,0)到直线AB

r =-2

r =

；

综上，r 的取值范围是．

故答案为：(

2)2

． 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使

0()3f x =成立，则实数a 的值为 ．

答案：12ln -

分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0

x 的值，从而得出a 的值．

解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--， 令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，

则21431

()43x x g x x x x

--'=--=，

令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14

x =-（舍)，

∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，

()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴（1）4=-，

()4(4)24x a a x x a a x x a h x e e e e e -----=--=-+-=-

（当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，

12a ln ∴=-．

故答案为：12ln -．

13.已知函数3

2ln ,0

(),0

e x x

f x x x x >?=?+≤?，若函数2()()

g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 答案：(0,1)

{2}-

解：当0x ≤时，由()0g x =得，3

2

0x ax x -+=，∴0x =或2

10x ax -+=① ∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根

当0x >时，由()0g x =得2

2ln 0e x ax -=，则2

2ln e x

a x =

②， 设22ln ()e x h x x =

（0x >），3

2(12ln )

'()e x h x x

-=

∴当x ∈时, '()0h x >，函数单调递增，

当)x ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减

可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有

一个根；当1a >时，方程②没有实根，

综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点.

14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111

tan tan tan A

B C

+

+

的最小值为 ．

分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3

C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得．

解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，

2tan 3

C h =，

从而tan tan 2

tan tan()

3

tan tan 114B C A B C B C h

+=-+=

=--，

所以

111131313

2tan tan tan 28282

h h A B C h h ++=+?=

， （当且仅当132

8h h

=，即13

2

h =时，取等） 故答案为：

132

．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是

10

． （1）求3cos()4

πα-的值；

（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5

-，求αβ+的值．

分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10

，

所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α=． 从而cos 310

1sin 2αα=-=． （1）3cos()cos

4

πα-= cos α 3sin 4

π

+ sin α

34

π， 31021025

()22=

?-+?=-． （2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5

-， 所以cos 5

β=-

，从而sin 251cos2ββ=-=．

于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252()β=?-+?=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2

παβ+∈，3)2

π，

从而34

παβ+=．

16. （本小题满分14分）

如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11

A B 的中点．

（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．

分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．

（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而

//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．

证明：（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，

1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，

111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，

AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．

（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，

正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴，

点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，

//EF OD ∴，

EF ?/平面1ADC ，DO ?平面1ADC ．

//EF ∴平面1ADC ．

17. （本小题满分14分）

某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r （单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.

分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543

r r h πππ+=，表示出h ，

则22(222323)10y r r rh πππ=?+?+??，化简得25460()y r r π=+；再由2

54203

r r ->，则3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，

（2）254()f r r r

=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可．

解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以2

542

3

h r r =-， 所以2222

542(222323)1010060()3

y r r rh r r r r

πππππ=?+?+??=+-，即25460()y r r

π=?+； 因为1r ，0h >，所以2

54203

r r ->，则3

133r <，所以定义域为3{|133}r r <， （2）设254()f r r r

=+，3133r <，则2

54()2f r r r

'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；

当(3r ∈，3

33)时，()0f r '>，()f r 单调递增，

所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点(0,3)，

离心率为12

，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；

（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．

分析：（1）由题意知3b =12

c a

=，可得

3

b a =a 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，

可得

1212

1212121

||2

1

(||||||)2

F NF F AF F F r S S

AF AF F F r =

++．

（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点

5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5

(,0)2

T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设

1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为

2121(4)4y y y y x x --=

--．令52

x =，此时2

1215

(4)42y y y y

x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2

T 在直线AE

上．同理可证，点5(,0)2

T 在直线BD 上．即可得出结

论．

解：（1）由题意知b 12

c a

=，所以

b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22

143

x y +=． （2）因为点N 为△12F AF 的内心，

所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 则

1212

1212121

||21

2

1

223

(||||||)2

F NF F AF F F r S c c S

a c a c AF AF F F r =

=

==++++．

（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2

．

下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2

T ．

设直线l 的方程为(1)y k x =-，

联立22(1)14

3y k x x y =-??

?+=??化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．

因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，2122

412

34k x x k -=+．

由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121

(4)4y y

y y x x --=--．

令52

x =，此时2112212112(4)3()

5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=--

12211212112(4)(1)3()825()

2(4)2(4)

x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+=

=--

22

22

1412882534342(4)

k k k k k k k x -+-++=- 3332124328244002(4)(34)

k k k k k x k ++--==-+，

所以点5(,0)2

T 在直线AE 上．

同理可证，点5(,0)2

T 在直线BD 上．

所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2

T ．

19. （本小题满分16分）

设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；

（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.

（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++?+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （1）解：设{}n b 的公比为q ，

则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；

∴1(2)3

n

n S --=；

（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d

=，则n a n =

数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，

2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b

设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2

111+=b b q ，2

1110b q

b --=

∵数列{}n b 唯一确定，

∴1104(1)0b b ?=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =- （3）解：

11122(1)22n n n a b a b a b n +++?+=-+?①

112211(2)22n n n a b a b a b n --++?+=-+?②

∴①-②，得2(2)n n n a b n n =；

112a b =；

∴*2()n n n a b n n N =∈?③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-?④

令③÷④，得

12(2)1

n n a n

q n a n -=?-⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴

122(1)

(3)2

n n a n q n a n ---=?-⑥ 令⑤÷⑥，得

222

1

(2)

(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-； ∴

31234a a a =，即1121(2)3

()4

a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-；

若13a d =-，则40a =，有444420a b ?==，矛盾；

1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2n

n b d

=； 20. （本小题满分16分）

设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；

（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；

（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，

（2）分离参数，可得2x e x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ?=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，

（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．

解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；

当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞． （2）由2()2f x x bx +，得22x axe x bx +，由于0x >， 所以2x ae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立．

由于0x e >，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ?=-，0x >，则()2x x e ?'=-，

所以函数()x ?在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ??=2)22ln =-2， 所以22b ln -2．

（3）由()ln x

g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x x

x axe g x a x e x x

++'=+++=，其中0x >．

①若0a 时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；

②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a

=->．

由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ?=-- 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．

所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，

且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，

所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．

设()1ln x x x ?=-++，0x >，则1()10x x

?'=+>，所以函数()x ?在(0,)+∞上单调递增．

由于(1)?0=，所以当1x >时，()0x ?>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a

=-．

由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a

->，

即1(a e

∈-，0)．

()i 由于11

1()(1)0e

ae g e e e =

+-<，所以01

()()0g g x e

<．

因为011x e

<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，

所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；

()ii 由于1111()()g e ln a

a

a

a

-=---+-，令1t e a

=->，

设()t F t e t ln =-++t ，t e >，

由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a

-<．

由①式，得当01x >时，0001x ex x a

-=>，且01()()0g g x a

-<，

同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e

∈-，0)．

2021年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学（Ⅱ）试题 2021.12

21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ??=?

?-??，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α??

=??

??

（1）求矩阵A ；

（2）设直线l 在矩阵1

A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：（1）由111

211a A b αλα????

==????

-????

即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+????????==????????'--+????????，可得2,3.6x y x x y y '-'?=???'+'?=??

进而得到l 的方程；． 解：（1）

1122112a a A b b α+??????==??????

--+??????

，124212λα????==????????， ∴24,22,a b +=??

-+=?解得2,4,a b =??=?

故1

214A ??=?

?-??； （2）

1214A ??=??

-??

，1213

31166A -??

-?

?∴=????????

，

设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 则212

133331

1116

666x y x x y y x y ????--????'????==????????'????

????+????????

∴21,3311,66x x y y x y ?

'=-????'=+??

∴2,4.x x y y x y ''=+??

''=-?

4x y -=，23

y ∴'=，

∴直线l 的方程为23

y =．

B ．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4

R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴

建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,

(1cos 2x y ααα=??=+?

为参数）

，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．

分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．

解：直线l 的直角坐标方程为y x =． 由方程4cos ,

1cos 2x y αα

=??

=+?，可得22212cos 2()48x y x α===，

又1cos 1α-，44x ∴-．

∴曲线C 的普通方程为21(44)8

y x x =-．

将直线l 的方程代入曲线方程中，得218

x x =，解得0x =，或8x =（舍去）．

∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．

第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3

ABC π∠=，

E ，

F 分别是BC ，1A C 的中点．

（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，

11A M

A D

λ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．

分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；

（2）点M 在线段1A D 上，11A M

A D

λ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．

解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以1A A ⊥平面ABCD ．

又AE ?平面ABCD ，AD ?平面ABCD ， 所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．

在菱形ABCD 中3

ABC π∠=，则ABC ?是等边三角形．

因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥． 因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．

建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，3C 1，0)，(0D ，2，0)， 1(0A ，0，2)，(3E 0，0)，3

(

F ，12

，1)． （1）(0AD =，2，0)，3(EF =-

1

2

，1)， 所以异面直线EF ，AD 2

211

=+． （2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D

λ=，

则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．

则(0M ，2λ，22)λ-，(3CM =-，21λ-，22)λ-．

设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ． 因为(3AE =，

0，0)，3(

AF =，1

2

，1)， 由000030

31

2

x x y z ?=??++=?，得00x =，00102y z +=． 取02y =，则01z =-，

则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．

由于//CM 平面AEF ，则0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23

λ=．

23．（本小题满分10分）

已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分

(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．

（1）求在一局游戏中得3分的概率；

（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ． 分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；

（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望． 解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，

则P （A ）111

2213

52

5

C C C C ==； （2）由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；