组合数学试题集

组合数学试题集

一.简单题目

可以根据需要改成选择题或者填空题

1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页）

解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；

（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；

（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；

（4）选4个，即构成4位数，共有4

5P 个；

由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页）

（1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；

（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。

5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ，

剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种，

根据乘法原理，就座方式总共有：

(8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种）

（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。

可分成三种情况分别讨论：

① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ；

② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ；

③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；

各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为：

(14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000

C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页）

解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程

123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。

该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。

故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种）

? 另解：

因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有：

212019181716(,6)(1661,6)54264654321

RC C ?????∞=+-=

=?????（组） 即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页）

母函数为：

2

323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n

n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ? 方法二：

()()()()()220

22220

02222023

()(1)00121121n

n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞

+==∞+==-=++-"=++=""????== ? ?-????

=-∑∑∑∑∑

5.求下列函数的母函数:{(2)}n n +；（参见课本51页）

母函数为：

2

32300023()(2)(1)(1)(1)(1)n n n

n n n x x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞===-=+=++=+=---∑∑∑。 ? 方法二：

()()()()()()()()0

000212100

0023223

()(2)1211111121111111131n n n

n n n n n n n n n n n n n G x n n x n n x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞∞∞∞

====∞∞∞∞++++=====+=++-+-"'"'????=--=-- ? ?--????"'????=--=-- ? ?----??--??

-=-∑∑∑∑∑∑∑∑

6．利用递推关系求下列和：0(2)n

n k S k k ==+∑ （参见课本第92页）

显然，1(2)n n S S n n --=+，

同理对应的齐次方程的特征根为1，特解为(1)n n S A A ==，

非齐次方程的特解为：*232()n

S n Bn Cn D Bn Cn Dn =++=++， 所以，非齐次方程的通解为：32n S Bn Cn Dn A =+++，

初始条件为：01230,3,11,26S S S S ====，代入上式，可得

00S A ==，13S B C D A =+++=，284211S B C D A =+++=，

3279326S B C D A =+++=，解得：0A =，13B =，32

C =，76

D =， 所以 32137(1)(27)3266

n n n n S n n n ++=++= ? 方法二：

显然，1(2)n n S S n n --=+，类似可得，12(1)(1)n n S S n n ---=-+，

两式相减得12221n n n S S S n ---+=+，

同理可得12322(1)1n n n S S S n ----+=-+，两式再相减得

123332n n n n S S S S ----+-=，同理得1234332n n n n S S S S -----+-=，

两式再相减，可得关于n S 的齐次定解问题：

12340

12346400,3,11,26n n n n n S S S S S S S S S -----+-+=??====? 由（1）知，方程的通解为：23n S A Bn Cn Dn =+++，代入初始条件得：

00S A ==，13S A B C D =+++=，224811S A B C D =+++=，

3392726S A B C D =+++=，解得：7310,,,623

A B C D ====， 故 23731(1)(27)6236

n n n n S n n n ++=++= ? 方法三（快速求系数） 通解为：0123(1)(1)(2)2!3!

n n n n n n S A A n A A ---=+++， 初始条件：01230,3,11,26S S S S ====，代入得

00A =，013A A +=，012211A A A ++=，01233326A A A A +++=，

解得：00A =，13A =，25A =，32A =

所以，(1)(1)(2)(1)(27)35

22!3!6

n n n n n n n n n S n ---++=++=

7．利用递推关系求下列和：

0(1)(2)n n k S k k k ==++∑ （参见课本第92页） 显然，1(1)(2)n n S S n n n --=++，

同理对应的齐次方程的特征根为1，特解为(1)n n S A A ==，

非齐次方程的特解为：*32432()n

S n Bn Cn Dn E Bn Cn Dn En =+++=+++， 所以，非齐次方程的通解为：432n S Bn Cn Dn En A =++++，

初始条件为：012340,6,30,90,210S S S S S =====，代入上式，可得

00S A ==，16S B C D E A =++++=，21684230S B C D E A =++++=，

381279390S B C D E A =++++=，425664164210S B C D E A =++++= 解得：0A =，14B =，32C =，114D =，32E = 所以 ()()()4321231

311342424

n n n n n S n n n n +++=++

+= ? 方法二： 显然，1(1)(2)n n S S n n n --=++，类似可得，12(1)(1)n n S S n n n ---=-+，

两式相减得1223(1)n n n S S S n n ---+=+，

同理可得12323(1)n n n S S S n n ----+=-，两式再相减得

123336n n n n S S S S n ----+-=，同理得1234336(1)n n n n S S S S n -----+-=-，

两式再相减得12344646n n n n n S S S S S -----+-+=，

同理可得123454646n n n n n S S S S S ------+-+=，

两式再相减，可得关于n S 的齐次定解问题：

123450

123451010500,6,30,90,210n n n n n n S S S S S S S S S S S ------+-+-=??=====? 其特征方程为：543251010510x x x x x -+-+-=，1x =是五重特征根，

所以方程的通解为：234n S A Bn Cn Dn En =++++，代入初始条件得：

00S A ==，16S A B C D E =++++=，22481630S A B C D E =++++=， 339278190S A B C D E =++++=，441664256210S A B C D E =++++=， 解得：311310,,,,2424A B C D E ===

==， 故 ()()()2341233

113124244

n n n n n S n n n n +++=+++= ? 方法三（快速求系数） 通解为：012

34(1)(1)(2)(1)(2)(3)2!3!4!n n n n n n n n n n S A A n A A A ------=++++， 初始条件：012340,6,30,90,210S S S S S =====，代入得

00A =，016A A +=，012230A A A ++=，01233390A A A A +++=，

01234464210A A A A A ++++=

解得：00A =，16A =，218A =，318A =，46A =

所以，

()()()(1)(1)(2)(1)(2)(3)6181862!3!4!1234n n n n n n n n n n S n n n n n ------=++++++=

8. 求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。（参见课本123）

解：设i A 为1到500的整数中能被i 整除的数的集合，3,5,7i =，

则35001663A ??==????，55001005A ??==????，7500717A ??==????

， 355003335A A ??==?????，375002337A A ??==?????，575001457A A ??==?????， 3575004357A A A ??==??????

， 满足条件的整数个数为：357A A A ，根据容斥原理有：

3573535733429A A A A A A A A =-=-=

9．某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次。问该人共参加几次会议？（参见课本123）

解：设S 为该人参加的所有会议组成的集合，

设i A 表示该人与第i 个朋友相遇的所有会议构成的子集，1,2,

,6i =，则