高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程
[学生用书P192]
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点
设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，
F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线
无交点．
3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论
1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程
f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()
(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()
(5)y＝kx与x＝1
k y表示同一直线．()
答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×
二、易错纠偏
常见
误区
|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；
(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．
1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．
(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则
（x－2）2＋（y－2）2
x2＋y2
＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．
(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距
＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p
2
左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．
答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)
2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．
解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．
答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．
解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．
答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)
[学生用书P192]
直接法求轨迹方程(师生共研)
已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点
P (1，1)．
(1)求△ABC 外接圆的标准方程；
(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．
【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，32，
k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－2
2，AB 中垂线的斜率为－1，则AC
的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12.
由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，y －2＝－2
2x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.
所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.
(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，
所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝12.
(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．
(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若
是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．
已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，
且|MP |＝5|MQ |.
(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．
解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝
5
（x －2）2＋（y －1）2，
化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，
所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．
(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×
52－32＝8，
所以l ：x ＝－2符合题意．
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝
|3k ＋2|k 2
＋1
，
由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12
＋42＝52，解得k ＝512
， 所以直线l 的方程为512x －y ＋23
6＝0， 即5x －12y ＋46＝0.
综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.
定义法求轨迹方程(师生共研)
已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨
迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；
(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．
【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.
(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p
2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .
定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．
1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．
解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫y 22
＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．
答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)
2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．
解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，
则a 2
＝4，b 2
＝a 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|AB |22
＝3，
所以曲线M 的方程为x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)．
相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)
如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两
点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .
(1)求p 的值；
(2)求动点M 的轨迹方程．
【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，
代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .
设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －
y 1＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －y 2
12，代入y 2＝2x ，
得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1
y 1
， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 1
2，
同理l 2的方程为y ＝1y 2
x ＋y 2
2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，
y ＝1y 2
x ＋y 2
2，解得⎩⎨⎧x ＝y 1
·y 22，
y ＝y 1
＋y 2
2.
易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，
其中x 0，y 0满足x 20＋y 2
0＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，
得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，
y 1·y 2＝－16x 0
，
代入⎩⎨⎧
x ＝y 1·y 22，
y ＝y 1
＋y 2
2，
可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0
，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8y
x ，
代入
x 20＋y 2
0＝8，并化简，得x 28
－y 2＝1，
考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，
所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2
＝1，x ∈[－4，－22]．
1.
如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；
(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．
解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →
＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →
＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →
得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .
因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2
＝1上， 则x 214＋y 2
1＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 2
4
＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝1
4，
解得λ＝－12或λ＝－3
2.
故当λ＝－12或λ＝－3
2时，N 点的轨迹是圆．
2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，0的直线l 与曲
线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →
.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．
解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
33，0，
故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3
3，y 0.
由于MB →＝－2MA →
，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3
3，y 0.
所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，－1.
因为A ，B 都在曲线E 上，
所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，
b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y
2
4＝1.
[学生用书P407(单独成册)]
[A 级 基础练]
1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点
D ．以上答案都不对
解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2
＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.
故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.
2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )
①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其
半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －m
n x ；④若m
＝0，n >0，则C 是两条直线．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1
n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 2
1n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m
＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1
n ，该方程表示半径为
1
n 的圆，
错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －m
n x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±
1
n ，该方程表示两条直线，正确．
3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )
解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，
y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，
故y ′＝1－x ′2
4(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨
⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1
(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′2
4－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.
4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →
|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2＝8x
C ．y 2＝－4x
D ．y 2＝4x
解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →
|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →
＝0，得4
（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.
5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )
A.4x 225＋y 2
25＝1 B ．x 225＋4y 2
25＝1 C.4x 225－y 2
25＝1
D.x 225－4y 2
25＝1
解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .
又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，
x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 2
25＝1.故选B.
6．设D 为椭圆y 25＋x 2
＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．
解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2
＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以
x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的
轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.
答案：x 2＋(y ＋2)2＝20
7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →
＝OA →＋t (OB →－OA →
)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．
解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →
)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.
答案：y ＝2x －2
8．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．
解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .
则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 2
16＝1(x >3)．
答案：x 29－y 2
16＝1(x >3)
9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．
(1)△P AB 的周长为10；
(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；
(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．
解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.
因此其轨迹方程为x 29＋y 2
5＝1(y ≠0)．
(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.
由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，
且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2
－415y 2＝1⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.
因此其轨迹方程为y 2＝－8x .
10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，0，且与直线x ＝－14相切．
(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；
(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．
解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离
相等，
所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝
12
，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2
＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.
因为直线CD 和抛物线交于两点，
所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜1
4. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]
＝
2[（1－2t ）2－4t 2]＝
2（1－4t ）.
又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝
|t －4|2
，|AD |＝|CD |，
所以2（1－4t ）＝
|t －4|2
，解得t ＝－2或t ＝－6，
经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.
[B 级 综合练]
11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是( )
A.3
2x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.3
2x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－3
2y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋3
2y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →
，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝3
2x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，
y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝3
2x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹
方程为3
2x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．
12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A ．x ＋y ＝5
B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 2
9＝1
D ．x 2＝16y
解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 2
9＝1.
A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；
B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；
C 项，x 2
25＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 2
9＝1，
可得y －y 2
9＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．
13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：
①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1|
|PF 2
|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；
④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；
⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．
其中正确的是________．(填序号)
解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．
对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．
对于③，设P (x ，y )，由题意得
（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2
＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2
＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ2
1－λ2
＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．
对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝
（x ＋1）2＋y 2·
（x －1）2＋y 2＝a 2.
又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为
（－x ＋1）2＋（－y ）2·
（－x －1）2＋（－y ）2
＝
（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正
确．
对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·
y
x －1＝y 2x 2－1
＝m (m ≠0)，整理得x 2
－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④
14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 2
9＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.
(1)求动点N 的轨迹方程；
(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．
解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0
，k MB 2＝y 0－3
x 0
.
因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0
y 0＋3x ，①
直线NB 2：y －3＝－
x 0
y 0－3
x ，② ①×②得y 2
－9＝x 20
y 20－9
x 2.
又因为x 2018＋y 20
9＝1，
所以y 2－9＝
18⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－y 209y 20－9
x 2＝－2x 2，
整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 2
92＝1(x ≠0)．
方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0
，k MB 2＝y 0－3
x 0
.
因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0
y 0＋3x ，①
直线NB 2：y －3＝－
x 0
y 0－3
x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，
y ＝－y 0.
又x 2018＋y 20
9＝1，
所以x ＝－x 0
2，
故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 2
92＝1(x ≠0)．
方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1
k x －3，①
直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2
＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－3
2k 2
＋1－312k 2k 2＋1＝－1
2k .
所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②
由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 2
92＝1(x ≠0)．
(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1
k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②
联立①②解得x ＝－6k
2k 2＋1，即x N ＝－6k
2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝1
2
|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |
2k 2＋1＋6|k |2k 2
＋1＝54|k |2k 2＋1＝54
2|k |＋1|k |≤272
2，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值272
2.
[C 级 提升练]
15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.
(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；
(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →
.
解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m
6
(x ＋6)，①
直线A 2N 2的方程为y ＝－n
6
(x －6)，②
设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn
6(x 2－6)，
又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 2
2＝1.
(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，
由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，
消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3
t 2＋3
.
由RP →＝λRQ →
，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →
，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证
x 1－3x 2－3
＝－
x 1－2x 2－2
，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12
＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，
而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t
t 2＋3＝0成立，得证．
高考一轮复习第8章解析几何第8讲曲线与方程
第八讲曲线与方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线． 知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤 重要结论 1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系． (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化． 双基自测 题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x 2 ＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2 ＝y 2 ．( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1 k y 表示同一直线．( × ) (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 走进教材 2．(必修2P 37T3)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 [解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线． 3．(选修2－1P 37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是__x 2 ＋y 2 －4x ＝0(y≠0)__． [解析] 设P(x ，y)， ∵∠APO ＝∠BPO ， ∴ |PA||PB|＝|OA| |OB| ＝2， 即|PA|＝2|PB|， ∴(x ＋2)2 ＋y 2 ＝4[(x －1)2 ＋y 2 ]，(y≠0) 化简整理得P 的轨迹方程为x 2 ＋y 2 －4x ＝0(y≠0)． 题组三 走向高考 4．(多选题)(2020·山东)已知曲线C ：mx 2 ＋ny 2 ＝1．( ACD ) A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则C 是圆，其半径为n C ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m n x D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线
《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第九篇 第8讲 曲线与方程
第8讲曲线与方程 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．动点P(x，y)满足5(x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线 C．抛物线D．直线 解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝(x－1)2＋(y－2)2， 点P到直线l的距离d＝|3x＋4y－11| 5. 由已知得|PF| d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选 D. 答案 D 2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案 D 3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()． A.4x2 21－ 4y2 25＝1 B. 4x2 21＋ 4y2 25＝1 C.4x2 25－ 4y2 21＝1 D. 4x2 25＋ 4y2 21＝1
解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2 21＝1. 答案 D 4．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 答案 D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2013·泰州月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)， 且满足条件sin C －sin B ＝1 2sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC | 2R ， ∴|AB |－|AC |＝1 2|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 2 3a 2＝1(x >0且y ≠0) 6. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴 上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN → ＝0，则点N 的轨迹方程为________． 解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连接 QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax
高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程 [学生用书P192] 1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0， F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线 无交点． 3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式． (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论 1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程
f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．() (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．() (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．() (4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．() (5)y＝kx与x＝1 k y表示同一直线．() 答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)× 二、易错纠偏 常见 误区 |Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错； (2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”． 1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________． (2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则 （x－2）2＋（y－2）2 x2＋y2 ＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．
数学高考复习名师精品教案：第70课时：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线小结
数学高考复习名师精品教案 第70课时：第八章 圆锥曲线方程——圆锥曲线小结 课题：圆锥曲线小结 一．课前预习： 1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是（B ） () A 32 () B 1 () C 1 2 ()D 2 2．椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧 AB 上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为（B ） () A 12ab () B 2() C 2 ()D ab 3．ABC ?中，A 为动点，1 (,0)2 B -，1(,0)2 C ，且满足1 sin sin sin 2 C B A -=，则动点A 的轨迹方程是（ D ） ()A 2216161(0)3x y y - =≠()B 2216 161(0)3y x x -=≠ ()C 22161161(34x y x -=<-()D 22161 161(34 x y x -=> 4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的 横坐标为13-，则双曲线22 221x y m n -=的两条渐近线夹角的正切值是43． 5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ ． 二．例题分析：
例1．已知双曲线C ：22 221x y a b -=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ， （1）求证：PA OP PA FB ?=? ； （2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． （1）证明：设l ：()a y x c b =--， 由方程组()a y x c b b y x a ?=--????=??得2(,)a ab P c c ， ∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2 (,0)a A c ， ∴(0,ab PA c =- ，2(,)a ab OP c c = ，2(,)b ab FP c c =- ， ∴222a b PA OP c ?=- ，22 2a b PA FP c ?=- ，∴PA OP PA FB ?=? ． （2）设1122(,),(,)D x y E x y ， 由22 22 ()1 a y x c b x y a b ? =--????-=??得44422 2222222(()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ?<，∴42 2224 22 () 0a b a b c a b b -+<-，∴22b a >，即222c a > ，∴e > 所以，离心率的取值范围为)+∞．
高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0 两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点? f 2(x 0,y 0) =0 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2+y 2=r 2 (2)一般方程 当D 2+E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ，半径是24 F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 020b)-(y a)-(x +.
高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 4 圆锥曲线
§ 4 圆锥曲线 一、复习要点 1 本节复习的主要内容有： （1）进一步熟练圆锥曲线基本量的计算；（2）利用直线与圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系问题的思想方法，如公共点的个数问题、弦长问题、弦的中点问题，有关的垂直关系问题、对称问题、存在性问题等； （3）根据已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线方程问题． 2 本节的重点是利用直线和圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线位置关系的思想方法．利用方程，通过代数推理研究直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，运算量大，代数推理能力要求高，因而也成为本课时复习中的一个难点．直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考解析几何命题的热点，且常常作为压轴题或把关题在高考试题中出现． 3 在本节的复习中，应注意如下复习策略： 熟练掌握有关直线和圆锥曲线的基础知识，解决直线与圆锥曲线问题的 基本方法、基本技能．在熟练掌握常规方法的基础上，要不断探索，优化解题过程，简化运算，正确进行代数推理，提高解题速度和准确率．注意以下几点： （1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合； （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义及焦半径公式的运用，以简化运算； （3）有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算； （4）有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理； （5）有关圆锥曲线关于直线ｌ的对称问题中，若A、A′是对称点，则应抓住ＡＡ′的中点在ｌ上及ｋ ＡＡ′ 2ｋｌ＝－1这两个关键条件解决问题； （6）有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”． 二、例题讲解 例1 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点F ２ 引倾斜角为（π／4）的直线ｌ交椭 圆于M、N两点，M、N两点到椭圆右准线的距离之和为（8／3），它的左焦点F １ 到直线ｌ的距离为，求椭圆的方程． 图8-11 讲解：本题是根据已知直线与椭圆的位置关系，求椭圆的方程．因椭圆的位置确定，因而方程的形式确定，故可用待定系数法求解． 如图8-11，设所求椭圆的方程为 （ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，其中ａ＞ｂ＞0． Ｆ １（－ｃ，0），Ｆ ２ （ｃ，0），ｃ＝， 则直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ．由F １到ｌ的距离为，求得ｃ＝1.若设M（ｘ １ ，ｙ １ ）、N（ｘ ２ ，ｙ ２ ），
高考理科第一轮复习练习(8.8曲线与方程)
课时提升作业(五十八) 一、选择题 1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( ) (A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线 (C)两个点(D)以上答案都不对 2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( ) (A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线 3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( ) (A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4 (C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2) 4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,错误！未找到引用源。)的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分 5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( ) (A)(x-1)2+(y+1)2=9 (B)(x+1)2+(y-1)2=9 (C)(x-1)2+(y-1)2=9 (D)(x+1)2+(y+1)2=9 6.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg错误！未找到引用源。成等差数列,则点P的轨迹图象是( ) 7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆
2013高三数学总复习同步练习：8-8曲线与方程(理)
8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化 1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 [答案] D [解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线． 2．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB → ＝1，则动点M 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 [答案] B [解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设M (x ，y )， ∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝1， ∴x 2＋y 2＝2，故选B. 3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率 为32，那么双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为( ) A.52 B.54 C. 2 D ．2 [答案] A
[解析] 设椭圆、双曲线的半焦距分别为c 、c ′，由条件知椭圆x 2 a 2 ＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32 ?c 2a 2＝34?a 2 －b 2 a 2＝34? b 2a 2＝14 ， 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2 ＝c ′2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2 a 2＝54 . 所以e ＝5 2 . 4．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分 [答案] D [解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )． 设P (x 1，y 1)，即????? x 1＝x y 1＝2ax ，消去x 得， y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D. 5．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线 C ．两条线段 D ．一条直线和一条射线 [答案] D [解析] 原方程化为
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案
第八节 曲线与方程 轨迹与轨迹方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 知识点 曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标 即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ F 1(x ，y )＝0， F 2(x ，y )＝0 的实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点． 易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． [自测练习] 1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D ．都是平行直线 解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A. 答案：A 2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC → ，则动点C 的轨迹方程为____________． 解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________． 解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |， ∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 2 3 ＝1(y ≠0) 考点一 直接法求轨迹方程| 1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA → ＋λ2OB → (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB → ，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2， 解得⎩⎨⎧ λ1＝y ＋3x 10 ，λ2 ＝3y －x 10， 又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10 ＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的 轨迹为直线，故选A. 答案：A 2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )
高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案
高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习 教案 【】欢迎来到查字典数学网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习适应和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案期望能为您的提供到关心。 本文题目：高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.把握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质; 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，明白它的简单几何性质; 4.了解圆锥曲线的简单应用; 5.明白得数形结合的思想; 6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法. 本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的明白得和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系. 圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式显现，小题要紧考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、差不多技能和差不多方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力. 知识网络 9.1 椭圆 典例精析 题型一求椭圆的标准方程
【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和 253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】由椭圆的定义知，2a=453+253=25，故a=5， 由勾股定理得，(453)2-(253)2=4c2，因此c2=53，b2=a2-c2=103， 故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，然而当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2+ny2=1(m0，n0且m (2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为. 【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(-2,2)，B(-2，0)，C(0，6)，D(2，-22)，E(22，2)，F(3，-23). 通过观看可明白点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上. 明显半焦距b=6，则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1，则将点 A(-2,2)代入可得m=12，故该椭圆的方程是x212+y26=1. 方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些. 不妨设有两点y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2， 则可知B(-2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点. 而D(2，-22)，F(3，-23)正好符合. 又因为椭圆的交点在x轴上，故B(-2，0)，C(0，6)不可能同时显现.故选用A(-2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212+y26=1. 题型二椭圆的几何性质的运用
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲曲线与方程讲义理(含解析)
第8讲曲线与方程 求曲线方程的基本步骤 1．概念辨析 (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( ) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ) (4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．小题热身 (1)已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB → ＝x 2－6，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D 解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，则PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋(－y )2＝x 2 －6，化简得y 2 ＝x ，轨迹为抛物线． (2)方程x ＝1－4y 2 所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分 D ．直线的一部分 答案 B 解析 x ＝ 1－4y 2 两边平方，可变为x 2 ＋4y 2 ＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分． (3)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 答案 D 解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0. (4)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________． 答案 x 2 ＋y 2 ＝4(y ≠0) 解析 由题意得点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(除去M ，N 两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r ＝12 |MN |＝2，所以点P 的轨迹方程是x 2＋y 2 ＝4(y ≠0)． 题型 一 定义法求轨迹方程 1．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．x 2 ＝12y B ．y 2 ＝－12x C ．y 2 ＝12x D ．x 2 ＝－12y 答案 A
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程 一、选择题 1。方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（) A。两条直线 B.两条射线 C.两条线段D。一条直线和一条射线 解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线. 答案D 2。（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2 a ＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（) A.任意实数a方程表示椭圆B。存在实数a方程表示椭圆 C。任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线 解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。 答案B 3。(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ) A。错误!－错误!＝1 B。错误!＋错误!＝1 C.错误!－错误!＝1 D。错误!＋错误!＝1 解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。 ∴a＝5 2，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝ 21 4 ， ∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。 答案D 4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（） A。y2＝2x B。(x－1）2＋y2＝4 C。y2＝－2x D。(x－1）2＋y2＝2
解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜ MA｜＝1， 又∵｜PA｜＝1， ∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2, 即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2. 答案D 5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（) 1 A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!， 所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误! 解得错误!又λ1＋λ2＝1， 所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ， 所以点C的轨迹为直线，故选A. 答案A 二、填空题 6。已知两定点A(－2，0），B（1，0),如果动点P满足|PA｜＝2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________。 解析设P（x,y）,由｜PA｜＝2｜PB|， 得错误!＝2错误!, ∴3x2＋3y2－12x＝0,即x2＋y2－4x＝0。 ∴P的轨迹为以（2,0)为圆心,半径为2的圆。 即轨迹所包围的面积等于4π. 答案4π 7.已知点A（1，0），直线l:y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若错误!＝错误!，则点P 的轨迹方程为________。 解析设P（x，y),R(x1，y1），由错误!＝错误!知,点A是线段RP的中点，∴错误!即错误!∵点R（x1，y1）在直线y＝2x－4上，
2021版高考数学一轮温习第七章解析几何第8讲轨迹与方程课时作业理
第8讲 轨迹与方程 1．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋322＋y 2＝12 2．已知椭圆的核心为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 3．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与 两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 别离表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( ) A ．－c 2a 2 B ．－b 2a 2 C ．－c 2b 2 D ．－a 2 b 2 4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2 ＝2py (p >0)的 核心到双曲线C 1 的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．x 2 ＝8y C ．x 2＝4 2y D ．x 2 ＝8 2y 5．记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．直线 6．(2021年天津)设抛物线y 2 ＝4x 的核心为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为____________． 7．长为3的线段AB 的端点A ，B 别离在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )知足AC →＝2CB → ，则动点C 的轨迹方程为________________． 8．已知A ，B 别离是直线y ＝33x 和y ＝－3 3 x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3， P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________． 9．设F 1，F 2别离是椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左右核心． (1)设椭圆C 上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫2 2 ，32到F 1，F 2两点距离之和等于2 2，写出椭圆C 的方程； (2)设过(1)中所得椭圆上的核心F 2且斜率为1的直线与其相交于A ，B ，求△ABF 1的面积； (3)在(1)的条件下，设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，
2022版高考数学一轮复习 练案(57理)第八章 解析几何 第八讲 曲线与方程(理)练习(含解析)
第八讲曲线与方程（理） A组基础巩固 一、选择题 1．（2021·河北“五个一名校联盟"联考)“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l 与曲线C相切”的（D) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 ［解析］若直线l与曲线C只有一个交点，直线l与曲线C不一定相切，比如当直线l与双曲线的渐近线平行时,直线l与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之,若直线l 与曲线C相切,直线l与曲线C也不一定只有一个交点． 2．(2021·百师联盟联考)方程x4＋y4＝4（x2＋y2)所表示曲线的大致形状为(A) ［解析］令x＝0，解得y＝±2，令y＝0,解得x＝±2,故排除C、D选项;易知该函数图象不是圆,排除B选项，又因为（0，0)点满足条件，故选A． 3．(此题为更换后新题）（2021·山东青岛黄岛区期末）已知相距1400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3 s,已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点在________上．（D) A．圆B．椭圆 C．抛物线D．双曲线 [解析］设炮弹爆炸点为P,则｜｜P A｜－｜PB||＝1020〈1400＝|AB|,∴点P在以A、B 为焦点的双曲线上,故选D． 3．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021·重庆一中月考）已知点F错误!，直线l：x＝－错误!，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交
于点M，则点M的轨迹是（D) A．双曲线B．椭圆 C．圆D．抛物线 ［解析]连接MF,由中垂线性质知｜MB｜＝｜MF｜， 即M到定点F的距离与它到直线x＝－错误!距离相等． ∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确． 4．(2021·江西省萍乡市模拟）已知动圆C经过点A（2，0)，且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹是（D） A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线 ［解析］设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2,∴|CA|2＝｜BC｜2＝|BE|2＋｜CE｜2，∴（x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线． 5．（2021·吉林长春实验中学期中）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2:y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(B） A．错误! B．错误!∪错误! C．错误! D．错误!∪错误! ［解析］由题意知直线y－m（x－m）＝0与圆x2＋y2－2x＝0相交，即错误!<1,解得－错误!〈m〈错误!，显然m≠0，故选B． 6．（2021·四川雅安调研）设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（B）
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程 配套课时作业 1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 答案 D 解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线． 2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 B 解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B. 3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2 B ．y ＝－16x 2 C ．x 2 ＝16y D ．x 2 ＝－16y 答案 C 解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2 ＝16y . 4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2 ＋y 2 ＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2 ＝2x B ．(x －1)2 ＋y 2 ＝4 C ．y 2 ＝－2x D ．(x －1)2 ＋y 2 ＝2 答案 D
高三数学复习教案 第八章《圆锥曲线方程》(新人教版选修1-1)15
圆锥曲线教案对称问题教案 教学目标 1．引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法． 2．通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 3．通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理问题． 教学重点与难点 两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点．把数学问题转化为对称问题，即用对称观点解决实际问题是难点． 教学过程 师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质．今天这节课继续讨论有关对称的问题．大家想一想：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？ 师：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？ 生：P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′． 师：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？ 生：x=x′且y=-y′． 师：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？ 生：y=y′且x=-x′． 师：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？ 生：y=x′且x=y′．
生：它们关于直线y=x对称． 师：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？ 生：P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧． 师：还有补充吗？ 生：PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直． 师：P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？ 生：还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等． 师：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？ 生：就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0． 师：下面谁来总结一下，两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？ 生：应满足两个条件．第一个条件是PP′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上． 师：这两个条件能否用方程表示呢？ (在黑板上可画出图形(如图2-72)，可直观些) 生：方程组：