曲线与方程
曲线与方程
本节内容
一、曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
二、解析几何
建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(),x y 所满足的方程(),0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这个方法叫做坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．
三、求曲线的方程
第一步：建立适当的直角坐标系，用(),x y 表示曲线上任意一点P 的坐标；
第二步：写出满足条件的点P 的集合，用坐标表示该条件，写出方程(),0f x y =；
第三步：化简方程（等价变形），并验证．
四、求动点轨迹方程的方法
（1）直接法
直接根据条件建立动点(),P x y 满足的方程(),0f x y =．
（2）定义法
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
（3）待定系数法
根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定系数．
（4）代入法(相关点法)
动点(),P x y 满足的条件不便用等式列出，但动点随着另一动点而运动．如果另一动点所满足的条件是可求的，这是我们可以用动点坐标来表示其相关点坐标，根据相关点坐标所满足的方程来求出动点(),P x y 的轨迹方程．
（5）交轨法
求两动曲线交点的轨迹问题时，通常要通过解方程组得出交点坐标（含参），再消去参数求出轨迹方程．该方法常与参数法并用
注：
①轨迹方程是坐标关系式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．
②求曲线方程或轨迹方程时，要注意：第一，建立不同的坐标系，同一曲线的方程也不相同；第二，一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(),x y ；化简所求的方程(),0f x y =时，一定要注意同解性．如果破坏了同解性，就要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹但遗漏的点．
五、两曲线的交点
两曲线的交点坐标即两曲线的方程所构成的方程组的解．
六、曲线的对称性
在曲线方程里，如果以y -代y 方程不变，那么当点(),P x y 在曲线上时，它关于x 轴的对称点()',P x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称．同理：我们也可以推出满足什么条件，曲线关于y 轴对称，关于原点对称．并且，曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．想一想这是为什么呢？
本节习题
题型一 方程表示的曲线
1.（1）11x y -=-表示（ ）
A ．两条线段
B ．两条直线
C ．两条射线
D ．一条射线一条线段
（2）方程111x y -+-=所表示的图形是 ．
（3）方程()22
140x y x y +-+-=表示的曲线是 ．
题型二 曲线的对称性
2.曲线(),0f x y =关于直线30x y --=对称的曲线方程是（ ）
A ．()3,0f x y -=
B ．()3,0f y x +=
C ．()3,30f y x -+=
D ．()3,30f y x +-=
题型三 求轨迹方程
3.设圆()2
2:11C x y -+=，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．请分别用直接法、 定义法、代入法、参数法来求．
4.求到直线20x y -=和20x y -=的距离相等的点的轨迹方程．
5.已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
6.圆()()22
:546C x y -+-=内的一定点()4,3A ，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=，求弦MN 的 中点P 的轨迹方程．
7.已知点P 到两个定点()()1,0,1,0M N -距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的 方程．
8.已知点()3,0P -，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=．点M 在直线AQ 上， 满足32
AM MQ =-
．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程．
9.由P 向圆221x y +=作两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，60APB ∠=，求动点P 的轨迹方程．
10.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2
21:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．
11.已知圆()221:425M x y ++=，圆()222:41M x y -+=，一动圆与这两个圆都外切，求动圆圆心P
的轨迹方程．
12.动点P 是抛物线2
21y x =+上任一点，定点为()0,1A -，点M 分PA 所成的比为2，求动点M 的 轨迹方程．
13.已知定点()3,0B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13
AM MB =
，求点M 的轨迹方程．
14.过点()1,3P 作两条相互垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
15.点P 是曲线22412390x y x y ++-+=上的动点，直线10x y -+=是线段PQ 的中垂线，求点Q 的 轨迹方程．
课后练习
【练1】 若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A ．1122⎡⎤-+⎣⎦，
B ．122122⎡⎤-+⎣⎦，
C ．1223⎡⎤-⎣⎦，
D ．123⎡⎤-⎣⎦，
【练2】 若曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解，则下面判断正确的是（ ）
A ．曲线C 的方程是(),0f x y =
B ．以方程(),0f x y =的解为坐标的点都在曲线
C 上
C ．方程(),0f x y =表示的曲线是C
D ．方程(),0f x y =表示的曲线不一定是C
【练3】 “点M 在曲线24y x =上”是点M 的坐标满足方程2y x =-的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【练4】 下列命题正确的是（ ）
A ．到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是y x =
B ．已知三点()()()2,0,0,2,0,0A B
C ，ABC 的边AB 上的中线方程为y x =
C ．到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是1xy =±
D ．到x 轴的距离等于1的点的轨迹方程是1y =
【练5】 方程221y x x =-+所表示的曲线是（ ）
A ．两条直线
B ．两条射线
C ．一条直线
D ．一条射线
【练6】 方程222xy x y x -=所表示的曲线（ ）
A ．关于y 轴对称
B ．关于0x y +=对称
C ．关于原点对称
D ．关于0x y -=对称
【练7】 21y x =-与曲线y x =的交点个数是______．
【练8】 曲线22330y x ++=与曲线22450x y x +--=的交点的个数是_________．
【练9】 已知两点551,,4,44M N ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
给出下列曲线方程：①4210x y +-=；②223x y +=；③2212x y +=；④2
212
x y -=，在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④
【题1】 两条直线10x my --=与10mx y +-=的交点的轨迹方程是 ．
【题2】 圆()2
2:11C x y -+=，过原点O 作圆的弦OA ，则弦的中点M 的轨迹方程是 ． 【题3】 当m 变化时，则抛物线()22
211y x m x m =+++-的顶点的轨迹方程为 ．
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。它们的方程可以 通过几何性质描述它们的性质。本文将介绍一些常用的曲线和曲 面方程及其性质。 一、曲线方程 1. 直线方程 直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式 两种形式。 一般式：$Ax+By+C=0$； 斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。 直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程 圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。 标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标， $r$为半径长度。 一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。 圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。 3. 椭圆的方程 椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。 标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。 椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。当$a=b$时，椭圆变成了圆。 4. 抛物线的方程 抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成 两种形式：标准式和一般式。 标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。 一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。 抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。 5. 双曲线的方程
曲线与方程
曲线与方程 一、曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 二、求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． 三、求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程． （1）共点直线系：过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) （k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b （b 是参数） 与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 （λ 为参数） （3）垂直直线系：与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0（λ 为参数） （4）过直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 ：A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系 方程：A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0（λ 为参数），此直线系不含直线 l 2 例1： “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 下列方程各表示什么曲线？ ① 29y x -= ② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x 例2： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程 [学生用书P192] 1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0， F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线 无交点． 3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式． (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论 1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程
f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．() (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．() (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．() (4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．() (5)y＝kx与x＝1 k y表示同一直线．() 答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)× 二、易错纠偏 常见 误区 |Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错； (2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”． 1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________． (2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则 （x－2）2＋（y－2）2 x2＋y2 ＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．
曲线和方程知识要点
曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参
曲线与方程
龙文教育个性化辅导授课案 教师:刘娇学生: 日期: 星期: 时段: 课题曲线与方程 学情分析 教学目标与考点分析1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．利用直接法或定义法求轨迹方程． 3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质． 教学重点难点正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。 教学过程 <基础梳理> 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
四个步骤 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标； ②代入：即代入圆锥曲线方程； ③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． <双基自测> 1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， ∵f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． 答案C 2．(2012·泉州质检)方程x2＋xy＝x的曲线是( )． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析方程变为x(x＋y－1)＝0∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案C 3．(2012·合肥月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
高考数学考点归纳之 曲线与方程
高考数学考点归纳之 曲线与方程 一、基础知识 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线❶. 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系❷，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}❸； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式； (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． (1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0. (2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件. 坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线． 有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程． 考点一 直接法求轨迹方程 1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→ ，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x 解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，
曲线及其方程知识点总结
曲线及其方程知识点总结 一、直线的方程 1. 斜率和截距法 直线的方程可以用斜率和截距来表示。直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变 化率，截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。 若直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。 2. 两点式 直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。 3. 截距式 直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。若已知直线的x轴截距为a，y轴截距为b，则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。 二、曲线的方程 1. 二次曲线 二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。其中A、B、C、D、E、F 为常数。二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。 - 圆的方程 圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。 - 椭圆的方程 椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。 - 双曲线的方程 双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。或者(x-h)^2/a^2-(y- k)^2/b^2=-1。其中(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的 半轴长。 - 抛物线的方程
抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。其中a不等于0。抛物线 的开口方向取决于系数a的正负性。 2. 极坐标方程 极坐标方程是一种表示曲线的方程，它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任 意一点的位置。极坐标方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。 三、参数方程 参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，t为 参数。通过参数方程，我们可以描述曲线上每个点的位置。 四、曲线的性质 1. 对称性 曲线可以具有关于x轴、y轴或原点的对称性。当曲线方程中的x和y坐标可以互相替换时，说明曲线具有关于原点的对称性。当曲线在曲线方程中有±x和±y的关系时，说明曲 线具有关于x轴或y轴的对称性。 2. 曲线的点和切线 曲线上的点和切线是曲线的重要性质。点和切线的斜率可以通过曲线在该点的导数来表示。 3. 曲率 曲率表示了曲线在某一点附近的弯曲程度，可以用曲线的切线与曲线在该点的夹角的大小 来描述。 4. 曲线的极值 曲线的极值是指曲线的最高点或最低点，极值点在曲线上对应的x坐标称为极值点的横坐标，其y坐标称为纵坐标。 五、曲线方程的性质 1. 对曲线方程的求解 对于特定的曲线方程，我们可以通过一系列的数学方法求解其性质、图像和特征点。比如 求曲线的对称性、极值、拐点、渐近线等。 2. 曲线方程的图像 曲线方程的图像可以用数学软件绘制，或者用手工绘图的方法展示出来。通过曲线的图像，我们可以更直观地了解曲线的形状和性质。
著名的曲线方程
著名的曲线方程 摘要： 1.曲线方程的定义与重要性 2.曲线方程的发展历程 3.曲线方程在数学及其他领域的应用 4.著名的曲线方程及其特点 5.结论 正文： 1.曲线方程的定义与重要性 曲线方程，是数学中描述曲线形状的方程，它是一种非常重要的数学工具。曲线方程能够形象、准确地描绘出曲线在空间中的位置和形态，对于研究曲线的性质以及解决实际问题具有重要的意义。 2.曲线方程的发展历程 曲线方程的发展历程可以追溯到古代数学。最初，人们通过简单的几何图形来描述曲线，例如圆、椭圆等。随着数学的发展，曲线方程也逐渐丰富和发展起来。在17 世纪，牛顿和莱布尼茨创立了微积分学，为曲线方程的研究提供了强大的工具。此后，曲线方程的研究进入了一个全新的阶段，许多重要的曲线方程相继被发现和研究。 3.曲线方程在数学及其他领域的应用 曲线方程在数学领域具有广泛的应用，例如在微积分、微分方程、拓扑学等方面。此外，曲线方程在其他领域也有重要应用，如物理学、工程学、计算机图形学等。例如，在物理学中，通过曲线方程可以描述天体的运动轨迹；在
工程学中，曲线方程可以用来设计复杂的结构；在计算机图形学中，曲线方程是绘制光滑曲线的关键。 4.著名的曲线方程及其特点 在数学史上，有许多著名的曲线方程，如圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等。这些曲线方程有各自独特的特点，如圆的方程具有旋转对称性，椭圆的方程具有焦点和离心率等。这些著名的曲线方程不仅丰富了数学的内涵，也为人们理解和掌握曲线的性质提供了基本工具。 5.结论 曲线方程是数学中描述曲线形状的重要工具，它具有广泛的应用。从古代数学到现代数学，曲线方程的发展历程充满了人类的智慧和创造力。
求曲线方程的六种常用方法
求曲线方程的六种常用方法 1. 解析法 解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。通过观察曲线上的 特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。这种方法通常适 用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。 2. 描述法 描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。 3. 坐标法 坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点 之间的关系来求解曲线方程的方法。通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表
达式。例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率 和截距，从而求解直线的方程。 4. 几何法 几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。例如，通过利用 直角三角形的性质，可以求解直线的方程。 5. 数值法 数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求 解曲线方程的方法。通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的 函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。 数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。 6. 近似法 近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。通过将复 杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的
计算，从而得出曲线的近似方程。这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。 以上是求曲线方程的六种常用方法。根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。
高中数学知识讲解 曲线与方程
曲线与方程 【学习目标】 1.了解曲线与方程的对应关系； 2.进一步体会数形结合的基本思想； 3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等） 【学习策略】 借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义； 理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x （或y ）的取值范围. 【要点梳理】 要点一、曲线与方程概念的理解 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系： （1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上. 那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释： （1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（ ）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）. （3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程 ,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上； 条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（ ）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”． 要点二、坐标法与解析几何 解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科. 解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质. 根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在
8-曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1曲线与方程 教材分析 曲线与方程是人教A版高中数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第一节的内容，这一节具有承上启下的作用，在前面必修2部分已经学习了“直线的方程”、“圆的方程”.曲线与方程是它们的上位概念，学生的学习是上位学习.在已有学习的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，体验“数”与“形”的转化与结合，领会解析几何的基本思想方法——坐标法.同时介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆锥曲线等储备理论基础. 课时分配 本课时是曲线与方程的第一课时，主要解决的是曲线与方程的关系和曲线方程与方程曲线的概念，为下一步用方程研究曲线的性质做好铺垫. 教学目标 重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念；体会解析几何的核心思想方法——坐标法. 难点：由特殊的“直线与圆”的方程，抽象出一般的曲线与方程的概念. 知识点：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释. 可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线. 能力点：用合适的方式解释曲线的方程的作用，说明解析法的价值. 教育点：结合直线、圆或者其他图形的方程的研究过程，解释求一般的曲线方程的步骤和过程. 自主探究点：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进. 考试点：把曲线（图形）看成点运动的结果，把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究. 易错易混点：自觉按照规范的步骤分析解决相关问题，说明中的自变量范围的界定. 拓展点：链接高考. 教具准备实物投影机和粉笔 课堂模式诱思探究 一、创设情境 师：在必修2关于几何问题的学习中，我们讨论的对象是直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中主要做的应该是什么呢？ 生：用解析的方法，用方程来研究. 师：那么借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题了? 生：直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系…… 老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升： 第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.
曲线与方程圆的方程
x y O B A M 曲线与方程、圆的方程 1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 [举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ） A B C D 解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--4 0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即42 2≥+y x ，此时它表示直线01=--y x 上不在圆42 2=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。 [举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。 设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α 此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2 )2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α）
高中数学基础讲义13曲线与方程-简单难度-讲义
曲线与方程 知识讲解 一、坐标法 内容：在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的 方法称为坐标法． 二、轨迹方程 定义：一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的 轨迹方程． 三、方程的曲线与曲线方程 在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程()0F x y =，之间具有如下关系： 1）曲线C 上点的坐标都是方程()0F x y =，的解； 2）以方程()0F x y =，的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么，曲线C 叫做方程()0F x y =，的曲线，方程()0F x y =，叫做曲线C 的方程． 即()()0M x y C F x y ∈⇔=，，．曲线C 用集合的特征描述为{}()|()0C M x y F x y ==， ，． 四、曲线的交点 已知两条曲线1C 和2C 的方程分别为：()0F x y =，，()0G x y =，，则交点坐标对应方程组()0()0F x y G x y =⎧⎨ =⎩ ， ，的实数解．
五、由曲线求它的方程的一般步骤： 1.建立直角坐标系； 2.设动点M 的坐标为()x y ，； 3.把几何条件转化为坐标表示． 4.证明所求的就是曲线的方程．（一般省去证明，只通过验证除去或补上相关的点） 六、利用方程研究曲线的性质： 1.曲线的组成； 2.曲线与坐标轴的交点； 3.曲线的对称性质； 4.曲线的变化情况； 5.画出方程的曲线． 七、求轨迹方程的常用方法： 1.直接法：直接利用条件建立x y ，之间的关系()0F x y ， ； 2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数； 3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程； 4.代入转移法：动点()P x y ，依赖于另一动点00()Q x y ，的变化而变化，并且00()Q x y ，又在某已知曲线上，则可先用x y ，的代数式表示00x y ， ，再将00x y ，代入已知曲线得要求的轨迹方程；