大连理工大学2009年数学分析考研试题

大连理工大学2009年研究生入学考试数学分析试题

一、解答下列问题。

1、 判断下列数列是否收敛

222

111123n ++++…… 2、 设{}n a

1=

1= 3、 判断下列函数是否一致连续

()1cos n f x e x ??= ???

，(]0,1x ∈ 4、 设,y u f xy x ??= ???，求：22u x ??，2u x y ??? 5、 已知：()f a 存在，求()()lim x a xf a af x x a

→-- 6、 设()f x 在[],a b 上可导，且()f a =()f b ，证明：存在(),a b ξ∈，使得

()()()22f f a f ξξξ-=

7、 求极限()2lim ln n x x x →∞

8、 求下列函数的Fourior 级数展开(),0,0x x f x x x ππππ+≤

9、 求(

))1f x x =

-在(),-∞+∞上的极值 10、 设V 是由平面0,0,0x y z ===和1x y z ++=所围成的区域，求

2V z dxdydz ???

完成下列各题。

一、设定义在(),-∞+∞上的()f x 满足：对任意的()0,x ∈-∞+∞，都存在0δ>，使得

()()0f x f x ≥，()00,x x x δδ∈-+，证明存在一个区域I 使得()f x 在I 上是一个常数。

二、设()f x 是[],a b 上具有连续的导数，()0a b <<,()()0f a f b ==，()2

1b a f x dx =?，

证明()()2

2'14b

a x f x dx >? 三、给定函数列()()()2,3,n x

x Inx f x n n α==…试问当α取何值时，(){}n f x 在[0,)+∞上

一致连续。

四、设()f x 是[]1,1-上连续，若有

()()121100,1,2n x f x dx n +-==?，求证()f x 是偶函数。 五、设1a b >>，证明a b b a a b >。

六、计算曲面积分()()()I x y z dydz y z x dzdy z x y dxdy =

-++-++-+∑

??，其中，222:x y z +=∑介于z=0与z=1之间部分的外侧。 七、证明积分1

01sin p

x dx x ?，在02p <<上非一致连续，在02p δ<<-时一致收敛，δ是正常数。