大连理工大学硕士研究生测验数学分析试题及解答

大连理工大学硕士研究生测验数学分析试题及解答

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大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答 一、 计算题 1、 求极限：1222 (i)

,lim n

n n n a a na a a n

→∞

→∞+++=其中 解：

1212222...(1)(1)lim

lim lim ()(1)212

n n n n n n a a na n a n a a

Stolz n n n n +→∞→∞→∞+++++===+-+利用公式

2、求极限：2

1

lim (1)x x x e x

-→∞

+ 解：

22

2

222

1(1)

1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1))

1lim lim

11

1111(())21lim 121(1)112lim (1)lim(

)lim()x

x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x e x e

e x x x x x x

o e x x

x x e x

e e x x e x e e e

-→∞→∞→∞→∞→∞-→∞→∞→∞++=+-++-+=--+-

+==--+-

∴+===

3、证明区间（0，1）和（0，+∞）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx 。

4、计算积分2

1

D

dxdy y x

+??

，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域 解：

1120220001

1

1011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2

y y

D

dxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydy

y y y y y y ==+++=+-=++-+-+=??

?????

5、计算第二类曲线积分：22

C ydx xdy

I x y

--=+?，22:21C x y +=方向为逆时针。 解

：

222222002222

2tan 2222

cos ,[0,2)1sin 211

sin cos 4cos 222113cos 22cos 22

13(2)(1)812arctan 421(2)(1)2

311421C x x y ydx xdy I d d x y x x x x d x dx x x x x ππθθ

θπθθθθθθθθ

+∞+∞=-∞-∞=??

∈?

=??

---=???→=-+++-+-++?????→-=--+++

+=-?????换元万能公式代换22

6426212x

dx d x x ππ+∞+∞-∞-∞+=-++??+ ???

??

6、设a>0,b>0,证明：1

11b b

a a

b b ++??

??

≥ ?

?+??

??

。 证明：

1

1

1

1()1111(1)

111()'()1[ln(1)]0()()()b b x

b b b

b

x

a a a

b f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-??????≥=+ ? ? ?

+??????+-????

=+=+ ? ?++??

??

-????=+= ? ?????

---??=++-> ?

+-??

，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证

二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且

2[,]

()0,a b f x dx =?

证明：

f(x)在[a,b]上几乎处处为0。 证明：

反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。

1

22[,]

1

{|()},,0

()0,n n n n n n

a b A x f x A A A mA n mA f x dx n +∞

==>=>>>?。必然存在某个矛盾

三、 设函数f(x)在开区间（0，+∞）内连续且有界，是讨论f(x)

在（0，+∞）内的一致连续性。 讨论：非一致连续，构造函数：

1

()sin

()()00,0,0,|'"|11|sin sin |.1'"

211

',"|'"|(21)(21)11|sin sin |1'"

f x x

f x f x x x x x x x x x n x x n n n n x x εδδ

εεδ

πππε

=→?>>?>-≤-<<==-=≤++-=>显然，连续且有界。但是在时非一致连续反证法：如果一致连续，对当取令。当足够大的时候

四、 设242

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)

x y

x y f x y x y x y ?≠?=+??

=?，讨论函数的连续性和可微性。

解：

1）连续性：连续

24

2

2

000

4

lim

lim

01x x y y x y y x y

y x →→→→==++

2）可微性：可微

00222224200

002

2

24

(,0)(0,0)

(0,0)lim 0

(0,)(0,0)

(0,0)lim 0

(,)(,)(,)lim lim lim

11x x y x x y x x y y x y f x f f x

f y f f y

f x y f x y f x y x y x y x y x y x y y

x x →→→→→→→→-==-==--=+++==+

+

五、 设f(x)在（a,b ）内二次可微，求证：

2

()(,)()2()()"()24

a b b a a b f a f f b f ξξ+-?∈--=，满足

证明：

2

()()()2

()()'()()(),(,)

2()()"(),(,)

222,()()()"()

22b a

g x f x f x Cauchy g x g a b a

g f f a x x a Lagrange b a b a b a f f f b a b a g x g a f ζζζζζζξξζζζξ-=+

---==+-∈----+-=∈++-=-=令，利用中值定理：利用中值定理：令=原式

六、 f(x)在R 上二次可导，00"()0,,()0x R f x x R f x ?∈>?∈<，

lim '()0,lim '()0x x f x f x αβ→-∞

→+∞

=<=>，证明：f(x)在R 上恰有两个零点。

证明：

1111110()0

lim '(),,0,

'()2

()()().

2

2()

()0

()0

"()0'()()()0(x x f x f x x x x f x x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f x f x f x αα

α

α

→-∞

→-∞>=<<<

<>+--<

+>→+∞>>??<(1)先证：当的时候，所以，当的绝对值足够的时候不妨设当时，当的时候，(2)同理,当的时候，又为递增函数先单调减少，在单调递增，根据连续函数的介值定理，在00,),(,)x x -∞+∞各有一个零点

七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割

0111||0

:...,,[,],0,1,2,....lim ()()()()n i i i i n b

i i i a

i a x x x b x x i f g x f x g x dx

ξηξη+-?→=?=<<<=?∈=?=∑?有

证明：

1||0

1

110

1

1

10

()()lim ()()|()()()()||()[()()]|

max{|()|}|()()|()|()()|n b

i i i

a

i n n n i i i i i i i i i i i i i n i i i i

i

i n n i i i i i i f x g x dx f g x f g x f g x f g g x f g g x g x g g x ξξξξξηξξηξξηξηω-?→=---===-=--===??-?=-?≤-?-?≤∑?

∑∑∑∑∑根据定义

由于可积，所以11

||0

0()

lim |()()()()|0i i n n i i i i i i i i x f g x f g x ωξξξη--?→==?→∴?-?=∑∑∑，为振幅，从而得证

八、 求级数：0

(1)31n

n n ∞

=-+∑

解：

3130030

3333300

1

1133000(1)(1)()(1,1]3131(1)()(1,1](1)()1()()'(1)()31111(1)

1()13lim (31111n n n n

n n n

n

n n n M M

M

n n

n n n

M M n x x x n n x x x x x n x x dx dx n x x x +∞

∞

==∞

=+==+∞

→+∞=--=-++-----=-=

++---===-++++∑∑∑∑∑∑??在内收敛在内一致收敛，所以可以逐项求导

12

0211200210233)1ln(1)1()111

()

3136122

()42

ln 2121ln 2arctan |3333

33x dx x x x d x x d x x x x x π--++-=-+--++--=+=+???

九、 讨论函数项级数22

22

22(1)1((1))n x n x n x n e n e +∞

---=--∑在(0,1)和(1,+∞)的

一致收敛性

讨论：22

2

2

22

22(1)21((1))lim(

)n x n x n x n n x n e n e x n e +∞

----→∞

=--=∑ 1） 0

22

2lim()0

1

,|()0|0n x n n n n x n e

x S x n n

-→∞

==-=级数收敛，但不一致收敛。

取不趋近于，所以不一致收敛

2） x>1

22

2

2

2

222222

22

2

2

22

2

4

lim()0

1()'(12)00,1,4ln ,,()n x n x x x n x n n n x n x n e xe

e

x xe

e

n n xn e e e e

e

e

x N n N S x εεε

-→∞

-----

-

-==-<≤

∴≤

≤

<∴?>?>?=-?><即

十、 计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++∑??，其中为圆锥曲面222z x y =+被平

面z=0,z=2所截部分的外侧。 解：

2222

2

2

2

2

2

22

()(cos sin )(cos sin )4V

z

z

x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz

r r z rd drdz

dz r dr d zdz rdr d π

π

π

θθθθθθθ

π

∑

++=++=++=++=??

???????????

?

十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明：

3[0,1],()f ξξξ?∈=

证明：

33

333

33

333{|(),[0,1]}inf ()(),()0,()()()''0,M x f x x x m M

M f m m f m m f m m r x m f x x

f x f m r x m y x x x m r =≤∈==<=-?<<>->+-=?-+>显然非空,下证:反证法：如果命题不成立，那么显然不妨设由于是连续函数，所以，对r>0存在与单调性矛盾。

十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，0()x dx ?+∞

?绝对收敛，证明：

0lim ()()(0)()n

x x

f x dx f x dx n

??+∞→∞=?

? 证明：

00

0000lim ()()(0)()()()()()()(0)|()()(0)()||[()(0)]()|(0)|()|(0)n

x n

n n x

f x dx f x dx

n

x dx n x dx x dx x

f x n f f n

x x

f x dx f x dx f f x dx f n n x dx f ?????εε

???εε?ε

ε+∞→∞+∞

+∞

+∞+∞

=--<-≤-+<+?

????????因为绝对收敛，当足够大的时候<，

因为连续，所以，当足够大的时候由于的任意性，所以命题成立

十三、设0n a >，证明： 当下极限ln(1/)

liminf 1ln n n a n →∞>时，级数1n n a +∞

=∑收敛

当上极限ln(1/)

limsup 1ln n n a n →∞<时，级数1

n n a +∞

=∑发散 证明：（1）

1(1)ln(1/)

liminf

121

ln ln(1/)

111/ln n n r n n r n a r n

a n r a n n

a n →∞+-+=+>≥+>?≥≤即足够大的时候根据积分判别公式，知命题成立

（2）

1(1)ln(1/)

limsup

1

ln ln(1/)

111/ln n n r

n n r n a n

a n r a n n

a n →∞---<≤-