2014年高考陕西文科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）

数学（文科）

第一部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的． （1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合{}0,M x x x R =≥∈，{}

21,N x x x R =<∈，则M

N =（ ）

（A ）[0,1] （B ）(0,1) （C ）(0,1] （D ）[0,1) 【答案】D

【解析】[0,)M =+∞，(11)N =-，，[0,1)M N ∴=，故选D ． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．

（2）【2014年陕西，文2，5分】函数()cos(2)4

f x x π

=+的最小正周期是（ ）

（A ）2

π

（B ）π （C ）2π （D ）4π 【答案】B

【解析】根据复合三角函数的周期公式2T π

ω

=

得，22||2

T πππω=

==，故选B ． 【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2T π

ω

=

应用，属于基础题．

（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数2i z =-，则z z ?的值为（ ）

（A ）5 （B （C ）3 （D 【答案】A

【解析】由2i z =-，得()()22i 2i 4i 5z z ?=-+=-=，故选A ．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． （4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数N ，求出的数列的通项公式是（ ）

（A ）2n a n = （B ）2(1)n a n =- （C ）2n n a = （D ）12n n a -= 【答案】C

【解析】12a =，24a =，38a =，n a ∴是12a =，2q =的等比数列，故选C ．

【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键． （5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧

面积为（ ）

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【答案】C

【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：

1212ππ??=，故选C ．

【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力． （6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该

正方形边长的概率为（ ）

（A ）15 （B ）25 （C ）35

（D ）45

【答案】B

【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为

1，442

105

=，故选B ．

【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键． （7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）

（A ）3

()f x x = （B ）()3x

f x = （C ）12

()f x x = （D ）1

()()2

x f x =

【答案】B

【解析】对于A ：3()f x x =，3()f y y =，()3

()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故A 错；

对于B ：()3x f x =，()3y f y =，()3x y f x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，且()f x 在R 上是单调增函数，故B 正确，

对于C ：2

1)(x x f =，12

()f y y =，()1

2()f x y x y +=+，不满足()()()f x y f x f y +=，故C 错；

对于D ：1()()2x f x =，1()()2y f y =，1

()()2

x y f x y ++=，满足()()()f x y f x f y +=，但()f x 在R 上是

单调减函数，故D 错．故选B ．

【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．

（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若1

2

n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题、否

命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）

（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】A

【解析】112n n n n n a a a a a +++

2

n n n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A ．

【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键． （9）【2014年陕西，文9，5分】某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分

别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s 【答案】D

【解析】由题意知100i i y x =+，则()()1210121011

100101001001010

y x x x x x x x =++++?=++++=+，

方差()()()()

{

}

()()

22222211011011s 100100100100s 1010x x x x x x x x ??????=+-++++-+=-++-=?

???????，故选D ．

【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练

掌握相应的计算公式．

（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两

条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则 该函数的解析式为（ ）

（A ）321122y x x x =-- （B ）3211

322y x x x =+-

（C ）314y x x =- （D ）3211

242

y x x x =+-

【答案】A

【解析】由函数图象知，此三次函数在()0,0上处与直线y x =-相切，在()2,0点处与36y x =-相切，以下研究

四个选项中函数在两点处的切线．

A 选项：23

12y x x '=--，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是1-，3，符合题意，故A 对；

B 选项，23

32

y x x '=+-，将0代入，此时导数为3-，不为1-，故B 错；

C 选项，2

314y x '=

-，将2代入，此时导数为1-，与点()2,0处切线斜率为3矛盾，故C 错； D 选项，23

24

y x x '=+-，将0代入，此时导数为2-，与点()0,0处切线斜率为1-矛盾，故D 错，

故选A ．

【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．

第二部分（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线24y x =的准线方程为______． 【答案】1x =-

【解析】∵24p =，∴2p =，开口向右，∴准线方程是1x =-．

【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出2

p

的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．

（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知42a =，lg x a =，则x =______．

【解析】由42a =，得41log 22a ==，再由1

lg 2

x a ==

，得x = 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． （13）【2014年陕西，文13，5分】设02

πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-若0a b ?=，则t a n θ=_______．

【答案】

1

2

【解析】22sin 2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθ?=-=-=，02

π

θ<<

，2sin cos 0θθ∴-=，∴1tan 2

θ=

． 【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．

（14）【2014年陕西，文14，5分】已知(),01x

f x x x

=≥+，若11()(),()(()),n n f x f x f x f f x n N ++==∈，则2014()

f x 的表达式为_______．

【答案】12014x

x

+

【解析】由题意知：()()11x

f x f x x ==+，()()()2111211x x x f x f f x x x x +===+++，()()()321213112x

x x f x f f x x x x

+===+++，

()()()11n n x f x f f x nx -===

+，故()201412014x

f x x

=+． 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征． 考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分．

（15A ）【2014年陕西，文15A ，5分】（不等式选做题）设,,,,a b m n R ∈且22

5,5,a b ma nb +=+=

最

小值为_______．

【解析】由柯西不等式得，()()()2

2222ma nb m n a b +≤++，∵225a b +=，5ma nb +

=，∴225m n +≥，

．

【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题． （15B ）【2014年陕西，文15B ，5分】（几何证明选做题）如图，ABC ?中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别

交AB AC 、于点E F 、，若2AC AE =，则EF =_______．

【答案】3

【解析】由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，∴AEF C ∠=∠，

∵EAF CAB ∠=∠，∴AEF ACB ??∽，∴AE EF

AC BC

=

，∵6BC =，2AC AE =，∴3EF =． 【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

（15C ）【2014年陕西，文15C ，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,6π?? ???到直线sin()16

πρθ-= 的距离是_______．

【答案】1

【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得点2,6π?? ???即)

；直线sin 16πρθ?

?-= ??

?，

即112x y =，即20x -=，故点)

到直线20x --=1=． 【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）【2014年陕西，文16，12分】ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ．

（1）若,,a b c 成等差数列，证明sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的最小值． 解：（1）∵,,a b c 成等差数列，∴2b a c =+，利用正弦定理化简得：2sin sin sin B A C =+，

∵()()sin sin sin B A C A C π=-+=+????，∴()sin sin 2sin 2sin A C B A C +==+．

（2）∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，将2c a =代入得：222b a =，即b =，由余弦定理得：

2222222423

cos 244

a c

b a a a B a

c a +-+-===．

【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． （17）【2014年陕西，文17，12分】四面体ABCD 及其三视图如图所

示，平行于棱,AD BC 的平面分别交四面体的棱,,,AB BD DC CA 于点,,,E F G H ．

（1）求四面体ABCD 的体积；

（2）证明：四边形EFGH 是矩形． 解：（1）由题意，BD DC ⊥，BD AD ⊥，AD DC ⊥，2BD DC ==，

1AD =，AD ∴⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积112

221323

V =????=．

（2）//BC 平面EFGH ，平面EFGH 平面BDC FG =，平面EFGH 平面ABC =EH ，//BC FG ∴，

//BC EH ，//FG FH ∴．同理//EF AD ，//HG AD ，//EF HG ∴，∴四边形EFGH 是平行四边形， AD ⊥平面BDC ，AD BC ∴⊥，EF HG ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形．

【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． （18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系xoy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ．点(,)P x y 在ABC ?三

边围成的区域（含边界）上，且(),OP mAB nAC m n =+∈R ．

（1）若2

3

m n ==

，求OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值．

解：（1）∵(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，()1,2AB =，()2,1AC =，又23m n ==

，()()()22

1,22,12,233

OP ∴=+=，

∴22OP =

（2）∵OP mAB nAC =+，∴()(),2,2x y m n m n =++，∴2x m n =+，2y m n =+，

∴m n y x -=-，令y x t -=，由图知，当直线y x t =+过点()2,3B 时，t 取得最大值1，

故m n -的最大值为1．

【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合

的解题思想方法，是中档题．

（19）【2014年陕西，文19，12分】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占

20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．

解：（1）设A 表示事件“赔付金额为3000元，”B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：

()1500.151000P A ==，()120

0.121000

P B ==，

由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000 元和4000元，所以其概率为()()0.150.120.27P A P B +=+=． （2）设C 表示事件

“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，

而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额

为4000元的频率为24

0.24100

=，由频率估计概率得()0.24P C =．

【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．

（20）【2014年陕西，文20，13分】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>

，经过点(，离心率为1

2

，左右焦点分

别为()1,0F c -，

()2,0F c ．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线1

:2

l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12

F F 为直径的圆交于C 、D 两

点，且满足AB CD =l 的方程． 解：（1）由题意可得2221

2

b c a

a b c ?=?

?=???=+?

，解得2a =

，b 1c =．∴

椭圆的方程为2214

3x y +=．

（2）由题意可得以1

2F F 为直径的圆的方程为221x y +

=．∴圆心到直线l 的距离d =，由1d <，可得

m <

．（*）∴CD ==． 设()11,A x y ，()22,B x y

，联立22

12

14

3

y x m x y ?=-+????+=??，化为2230x mx m -+-=，可得12x x m +=，2123x x m =-．

∴

AB

=

AB CD =1， 解得m =

满足（*）．因此直线l 的方程为12y x =-． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等

基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

（21）【2014年陕西，文21，14分】设函数()ln f x x x

π

=+

，m ∈R ．

（1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值；

（2）讨论函数()()3

x

g x f x '=-

零点的个数； （3）若对任意0b a >>，()()

1f b f a b a -<-恒成立，求m 的取值范围．

解：（1）当m e =时，()ln e f x x x =+，∴()2x e

f x x

-'=∴当()0,x e ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,e 上是减函数；

当(),x e ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上是增函数∴x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e

f e e e

=+=．

（2）∵函数()()2133x m x g x f x x x '=-=--（0x >），令()0g x =，得()31

03

m x x x =-+>；

设()()31

03

x x x x φ=-+≥，∴()()()2111x x x x φ'=-+=--+；

当()0,1x ∈时，()0x φ'>，()x φ在()0,1上是增函数，当()1,x ∈+∞时，()0x φ'<，()x φ在()1,+∞上是

减函数；∴

1x =是()x φ的极值点，且是极大值点，∴1x =是()x φ的最大值点，

∴()x φ的最大值为()2

13

φ=；又()00φ=，结合()y x φ=的图象，如图；可知： ①当23m >时，函数()g x 无零点；②当2

3m =时，函数()g x 有且只有一个零点；

③当2

03m <<时，函数()g x 有两个零点；④当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；

综上，当23m >时，函数()g x 无零点；当2

3m =或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；

当2

03

m <<时，函数()g x 有两个零点．

（3）对任意0b a >>，()()

1f b f a b a

-<-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立；

设()()()ln 0h x f x x x x x x

π

=-=+

->，∴()h x 在()0,+∞上单调递减；

∵()2110m h x x x '=--≤在()0,+∞上恒成立，∴()2

211024m x x x x ?

?≥-+=--+> ??

?，∴14m ≥；

对于14m =，()0h x '=仅在12x =时成立；∴m 的取值范围是1,4??

+∞????

．

【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于

一道综合题．