2014年全国高考文科数学试题及答案-重庆卷

2014年重庆高考数学试题（文）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、

1、 实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）

.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限

2、 在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）

.5A .8B .10C .14D

3、 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校

学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）

.100A .150B .200C .250C

4、 下列函数为偶函数的是（ ）

.()1A f x x =- 3

.()

B f x x x

=+ .()22x x C f x -=- .()22x x

D f x -=+

5、 执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为

.10A .17B .19C .36C

6、已知命题

:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；

:"1"q x =是方程

"20"x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ）

.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A 、12

B 、18

C 、24

D 、30

8. 设12F F ，分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得

2212(||||)3,PF PF b ab +=-则该双曲线的离心率为（ ）

A 、2

B 、15

C 、4

D 、17 9.

若42log 34log a b

a b +=+（）则的最小值是（ ）

A 、326+

B 、327+

C 、346+

D 、347+

10. 已知函数1

3,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]

x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪

==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不

同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）

A 、]21,0(]2,4

9(⋃-- B 、]

21

,0(]2,411(⋃-- C 、]32,0(]2,4

9(⋃-- D 、]

32

,0(]2,411(⋃-- 二、填空题

11、已知集合{1,2,3,5,8},{1,3,5,8,13},A B A B ==⋂=则______、

12

、已知向量60(2,6),||a b a b a b =--⋅=

与的夹角为，且则_________、 13. 将函数()()sin 02

2f x x π

πωϕωϕ⎛

⎫

=+>-

≤<

⎪⎝

⎭

，图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，

纵坐标不变，再向右平移

6

π

的单位长度得到sin y x =的图像，则6f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

______、 14. 已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且

AC BC ⊥，则实数a 的值为_________、

15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间

段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答） 三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 16. （本小题满分13分、（I ）小问6分，（II ）小问5分）

已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和、 （I ）求n a 及n S ；

（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()24410q a q S -++=，求{}n b 的通 项公式及其前n 项和n T 、

17. （本小题满分13分、（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）

20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（I ）求频数直方图中a 的值；

（II ）分别球出成绩落在[)6050，

与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，

的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率、

18、（本小题满分12分）

在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且8a b c ++=

（1）若5

2,2

a b ==，求cos C 的值; （2）若22sin cos

sin cos 2sin 22B A A B C +=，且ABC ∆的面积9sin 2

S C =，求a 和b 的值、 19、（本小题满分12分） 已知函数3

()ln 42

x a f x x x =

+--，其中R a ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于1

2

y x =

（1）求a 的值；

（2）求函数()f x 的单调区间和极值.

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

如题（20）图，四棱锥P ABCD -

中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，

2,3

AB BAD π

=∠=

，M 为BC 上一点，且1

2

BM

=

、 （1）证明：BC

⊥平面POM ；

（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积、

21、

如题（21）图，设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右

焦点分别为

12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥

，

121||

||

F F DF =12DF F ∆

的面积为2、

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由、

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1、B 2、B 3、A 4、D 5、C 6、A

7、C

8、D

9、D

10、A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分25分.

11、 {3，5，13}

12、 10

13、

2

14、 0或6 15、

932

三、解答题：满分74分. 16、（本题13分）

解：（Ⅰ）∵{}n a 是首项11a =，公差2d =的等差数列，

∴1(1)21n a a n d n =+-=- 故21()(121)

13...(21)22

n n n a a n n S n n ++-=+++-=

== （Ⅱ）由（Ⅰ）得，447,16a S ==，因为244(1)0q a q S -++=，即28160q q -+=，

所以2(4)0q -=，从而4q =

又因12,{}n b b =是公比4q =的等比数列，所以

11211242n n n n b b q ---==⋅=

从而{}n b 的前n 项和1(1)2(41)13

n n

n b q T q -==--

17、（本题13分）

解：（Ⅰ）据直方图知组距=10，由

(23672)101a a a a a ++++⨯=，解得1

0.005200

a =

= （Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0、005×10×20=2，

成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0、005×10×20=3．

（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为12,A A ，成绩落在[60，70）中的3人为123,,B B B ，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件共有10个：

12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B

其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有3个：

121323(,),(,),(,)B B B B B B ,

故所求概率为3

10

p = 18、（本题13分）

解：（Ⅰ）由题意可知：78()2

c a b =-+=

由余弦定理得：222

2

2

2

572()()122cos 525222

a b c C ab +-+-==

=-⋅⋅ （Ⅱ）由22sin cos

sin cos 2sin 22B A A B C +=可得： 1cos 1cos sin sin 2sin 22

B A A B

C ++⋅+⋅=，

化简得sin sin cos sin sin cos 4sin A A B B B A C +++=

因为sin cos cos sin sin()sin A B A B A B C +=+=，所以sin sin 3sin A B C += 由正弦定理可知：3a b c +=，又因8a b c ++=，故6a b += 由于19

sin sin 22

S ab C C =

=，所以9ab =，从而2690a a -+=，解得3,3a b == 19、（本题12分）

解：（Ⅰ）对()f x 求导得211

()4a f x x x

'=

--， 由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =知3

(1)24

f a '=--=-， 解得5

4

a =

（Ⅱ）由（Ⅰ）知53()ln 442

x f x x x =

+--， 则22

45

()4x x f x x

--'=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =

因1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去.

当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在（0，5）内为减函数； 当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞内为增函数； 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值(5)ln 5f =- 20、（本题12分）

（Ⅰ）证明：如图所示，因ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO OB ⊥，

因3

BAD π

∠=

，

故sin 2sin 16

OB AB OAB π

=⋅∠==

又因12BM =

，且3

OBM π

∠=，在OBM ∆中， 2222cos OM OB BM OB BM OBM =+-⋅⋅∠

221131()21cos 2234

π=+-⋅⋅⋅=

所以222

OB OM BM =+，故OM BM ⊥

又PO ⊥底面ABCD ，所以PO BC ⊥，从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，cos 2cos

6

OA AB OAB π

=⋅∠=⋅=设PO a =，由PO ⊥底面ABCD 知，POA ∆为直角三角形，故

22223PA PO OA a =+=+

由POM ∆也是直角三角形，故2

2

2

2

34

PM PO OM a =+=+

连结AM ，在ABM ∆中，2

2

2

2cos AM AB BM AB BM ABM =+-⋅⋅∠

2211221

2()22cos 2234

π=+-⋅⋅⋅=

由已知MP AP ⊥，故APM ∆为直角三角形，则

222PA PM AM +=，即22321344

a a +++

=，

得a a =

=

，即PO = 此时ABMO AOB OMB S S S ∆∆=+

11

22

AO OB BM OM =

⋅⋅+⋅⋅

1111222=+⋅=

所以四棱锥P ABMO -的体积

115

338216

P ABMO ABMO V S PO -=⋅⋅=⋅=

21、（本题12分）

解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)F c F c -，其中2

2

2

c a b =-

由

121||||F F DF =

1||2DF c ==

从而1221121||||222

DF F S DF F F ∆=

==

，故1c =

从而1||2DF =

，由112

DF F F ⊥得222

21129||||||2DF DF F F =+=

，因此2||2

DF =

所以122||||a DF DF =+=

，故222

1a b a c ==-=

因此，所求椭圆的标准方程为2

212

x y += （Ⅱ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2

212x y +=相交，111222(,),(,)P x y P x y 是两个交点，1211220,0,,y y F P F P >>是圆

C 的切线，且1122

F P F P ⊥，由圆和椭圆的对称性，易知，2112,x x y y =-=

由（Ⅰ）知12(1

,0),(1,0)F F -， 所以11112211(1,),(1

,)F P x y F P x y =+=-- ， 再由1122F P F P ⊥得2

211

(1)0x y -++=，由椭圆方程得2

2111(1)2

x x -=+，即211340x x +=，解得14

3

x =-

或10x = 当10x =时，12,P P 重合，题设要求的圆不存在； 当14

3

x =-

时，过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设0(0,)C y ，由111CP F P ⊥，得

101

1111

y y y x x -⋅=-+，而111|1|3y x =+=，故053y =

圆C 的半径1||CP ==

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

22532

()39

x y +-=