微积分在物理学上的应用复习过程
微积分在物理学上的
应用
微积分在物理学上的应用
1 引言
微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义
微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体
的物理量和角度去判断他的正确含义。
例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为
B=
在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为
d
线圈围成的面上通过的磁通量为
线圈中的感应电动势为
在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。
3 微元的选取以及微积分解决物理问题时的一般步骤
3.1 微元的选取
在使用微积分去解决物理问题时，微元的选取是非常重要的，有的时候在微元的选择上并不是仅仅只有一个，因此，选取一个合适的微元对我们解决问题会有很大帮助。
我们通常在微元的选取方面有以下几点注意，第一，在我们选取微元时，要保证我们们所选择的微元能够让我们可以将原本的问题近似处理的比较简单，以使我们能够更加便利且清晰的区解决物理问题；第二，我们要使我们选择的微元尽可能地大，这样在我们去积分时可以更为方便，如果微分过细，那么我们的过程会更精准，可是相对的，我们在积分时面临的过程也会更加繁琐，因此我们要处理好微分和积分之间的运算；第三，能用一元微元去解决问题时尽量使用一元微元，因为重积分使用起来要比一元积分麻烦的很多。
选取微元要遵循以下几个原则：1.可加性原则，由于在题目中我们所选取的微元要可以叠加演算，因此，选取的微元要具备可加性；2.有序性原则，为了保证我们所选取的微元能够在叠加区域可以不遗漏，不重复的叠加，我们就需要注意按照量的某种序来选取微元；3.平权型原则，叠加演算实际上就是一种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”而言，叠加演算，也就是求定积分
是十分复杂的，但如果“权函数”具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等），原本复杂的题目就会化成简单的形式更有利于我们去解决问题。
例：求半径为R的均匀带电半球面在点O的电场强度，设球面上电荷面密度σ>0.
解法一：如图，在球面上任取面元dS，将其上的电
荷为一点电荷dq，则有 dq=dS=(Rd)(R)d
=d d
则该点电荷元在点O产生的场强
dE=dq/(4ε
0)=d d/(4ε
)
根据对称性，即得出点O场强E0沿Z轴正方向，大小为
E=∫∫dE=/(4ε
)
解法二：如图，沿着与Z轴的垂直方向把半球面分割成许多不同半径的带电圆环，任取一圆环，其上的电荷在点O产生的场强
dE=dqz/[4ε
]
=(/2ε
)d
方向沿OZ轴正方向，点O场强
E=∫dE=/(4ε
)
由例子可知选取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含义也是不一样的，然而微元的选取并不影响结果，因此我们要正确理解其含义，才能更好地从物理概念，物理实质上去把握微积分。
3.2 微积分解决物理问题时的一般步骤
1.根据题意分析，选取一个具有广泛意义的微元，对微元进行分析，若是题目简单且物理含义比较明显，且遵从题意，可直接进行积分。
2.若是题目较复杂，根据题意，对于一个暂态过程写出一个平衡等式，然后对两边微分，在得到一个微元结果后，对这个分式进行积分操作。
以上步骤都是在遵从题意的基础下进行，进行微分分析的结果一般是一个微分方程，在求解时要注意初始条件，在积分时，更要注意取上下限时，要满足边界条件。
例：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多长时间？
解：如图建立坐标系，在没有摩擦力的情况下，当桶内水位高度为h-x时，水从小孔中单位时间内流过单位截面积的流量为
v=，其中g为重力加速度
设积分变量x,其变化区间为[0，h]
任取[x,x+Δx]∈[0,h]，当桶中液体下降Δx时，所需要的时间用dt表示，根据水的流量体积相等得dx=v dt
所以dt=/[]dx,x∈[0,h]
流完一桶水所需的时间
dx
t
f=
但因为被积函数是[0，h]上的无界函数，所以
=dx
t
f
=
由此题可看出，在我们通常使用微积分解决物理问题时，建立坐标系是很好的一个方法，可以有助于我们更好地去解决问题。
4 微积分在物理学各领域的应用
4.1 微积分在质点力学的应用
微积分在力学中的使用是非常普遍的，要用好微积分去解决问题，首先要在思想上认识到物体在运动过程中，反应其运动特征的物理量是随着时间的变化而变化的。运用微积分可以得出质点的运动方程以及他的运动状态。就比如说当我们对函数中的t进行求一阶导数时，我们就可以得到该函数所表示的质点的加速度函数。而我们可以将微积分在质点运动时的问题可以分成以下几类：
1.在已知道运动方程的前提下求其中的加速度和速度；
2.在已知质点的加速度，以及该质点的初始速度的前提下，求该质点的运动方程。
例1：一人站在岸上，用一条绳子拉船使其向岸边靠拢，如图所示，若人以恒
定速率v0收绳，求船的速度。
解：
如图所示，设设船与轮子的距离为l,船的瞬时位移为x，由图可知
=-
那么船的瞬时速度为
v===
根据题意可知 v0=-
所以 v=-v0
在解决此类问题时，我们要善于从几何关系中找到质点的运动方程，而在
一般情况下运动方程往往是t的隐函数形式。因此，将方程中的t进行一阶及
二阶求导，就可以得出瞬时速度和瞬时加速度随着一些空间变量的变化规律。例2：如图，质量M=2.0kg的木箱，悬挂在一轻弹簧下，弹簧静伸长
x
=0.01m，一质量m=2.0kg的橡皮泥距箱子底板h=0.30m处自由落下，黏在箱0
子底部后，同箱子一起向下运动，求箱子下降的最大距离。
解：球落到箱子底部时的速度为 v0=
设当橡皮泥与箱子一起运动时的速度为v,
则 mv0=(M+m)v
所以 v=v0
根据动量定理知（Mg+mg-kx）dt=d[(m+M)v]
得出 (Mg+mg-kx)dx=(M+m)vdv
上式积分后得dx=
化简整理后（M+m）+k=-(M+m)gx1+k
整理之后得出 x=0.03m
例3：质量为m的质点在力的作用下做平面曲线运动，其运动方程为
=A+B，式中,A,B,ω都是正的恒量，则力在=0到=这段时间内做的功是多少？
解：在这段时间内质点动能的增量为
Δ=-
=+
=m[(-
=
由动能定理知，功W等于动能增量Δ，所以
W=
4.2 微积分在刚体的定轴转动中的应用
刚体的定轴转动的一些基本公式：
运动方程：=（t）（表示角位置随时间t的变化关系）
角速度：=
角加速度：==
例1：一长为l,质量为m的均匀直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕与杆垂直的水平光滑固定轴O在直面内转动，轴到杆中心C的距离OC=.开始杆与水平方向成角，且处于静止状态，如图所示，求杆释放后，转到竖直位置时的角速度及质心C的速度和加速度。
解：应用积分转动定律，当杆转动到如图（1）的位置时
有
=I
其中=mg
= (1) I为各物体对轴O的转动惯量之和，即
I=[
=
结合上述式子
=I=I
即
得到
质心速度为
质心加速度为
在熟练掌握定理的同时运用微积分来解答此类问题是对我们是十分有帮助的，因此在解题过程中我们要把两者结合好，才更有利于我们解决此类问题。例2：如图所示，一半径为r的空心管放在竖直的平面内，管内有一链条，它的线密度为。开始时，链条的两端分别与管口A和B重合，受到干扰后，链条的一端由管口滑下，求图示位置链条的速度。
解：如图所示（2）所示
取管内链条上的一小质元dm=,其重力对点O力矩为
d
则管内部分链条的重力对O力矩为
(2)
而管外链条下垂部分重力对O力矩为
则瞬时和力矩为
M=
根据角动量定理得到
M=
所以即
对其进行积分，得到
解得 v=
当我们遇到这样的题目，要善于在题目中间找到等价关系，灵活的运用微积分和定理之间的关系更有利于我们去解决问题。该题利用角动量定理，再对其进行积分，以此求出速度v。
4.3 微积分在静电场方面的应用
设真空中的电荷为q，P点位于空间一点，为从q到P点的矢径。P点的
电场强度为
由叠加原理，点电荷系在空间P点处的电场强度
由定积分的定义，连续带电体在空间P点处的电场强度
设真空中的电荷为q，P点位于空间一点，为从q到P点的矢径。P点的电势为
由叠加原理，点电荷系在空间P点处的电势
由定积分的定义，连续带电体在空间P点处的电势
例1：在一半径为R的非导体细圆环上，电荷的线密度，式中为正的常数，如图所示，为方位角，求环心处的场强和电势。
解：在圆环上取一线元dl，其上电荷可视为点电荷，在圆心O处产生的场强大小为
=
其方向如图（3）所示
又
=
=
所以
= (3) =
圆心0处的电势为
例2:如图所示，一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为，在其轴线上有一点电荷，距盘中心为x，求二者的相互作用能。
解：在盘上取一半径为r，宽为dr的环带，此环带电荷在点电荷处产生的电势
则盘上所有电荷在点P产生的电势
因此，得二者之间的相互作用能为
微积分在物理 中的简单应用
求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度 0V 而滑动，如图一，求： 物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。 解：物体在某一位置所受的力有：重力G ， 弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ==== 重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1 G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分 力，φαφsin sin sin 11 mg G G =='' ；1G '是沿轨 迹 法 向 的 分 力 ， φαφcos sin cos 11 mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为 τma f G =-''1 （1） n ma G ='1 （2） 由（1）， )1(sin sin )sin sin sin (1 -=-= φααφατg mg mg m a 而 ,dt dV a = τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）
式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到 φφ d d ds V V dS dt 1== （4） 而φ d ds 表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式， ρ φα2 cos sin V m mg = （5） 由式（3）（4）（5），可得到 ,)sec (φφφd tg V dV -= φφφφ d tg V dV V V ??-=00)sec (， 积分，得到 )sin 1ln()ln(sec cos ln ln φφφφ+-=+--=tg V V ， .sin 10 φ += V V 运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求： 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为.2 1L L m += λ当一边长度为 x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程 ,)()(11a x L T g x L λλ+=-+
微积分在物理学上的应用复习过程
微积分在物理学上的 应用
微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为
微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上得应用 1 引言 微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与方法即就是微积分得思想与方法。 2 微积分得基本概念及微分得物理含义 微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是 连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间dt,而这一时间内得位移为dt,在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。 在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用 这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体得物理量与角度去判断她得正确含义。 例:如图所示,一通有交流电流i=得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中得感应电动势大小。 解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上得磁通量为 d 线圈围成得面上通过得磁通量为
微积分在物理学上的应用
1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。 在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为 在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示
微积分在普通物理学中的应用
微积分在普通物理学中的应用 1引言 从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分． 微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握． 微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的． 微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用． 2导数在力学中的应用 导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)． 例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数 0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？ 解 由题意得 cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π?? ∈???? ，P 表示重力 cos sin P F μαμα = + 由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+ 令U α '=sin cos 0αμα-+=
定积分在物理上的应用(学习资料)
授课题目定积分在物理上的应用 课时数1课时 教学目标用定积分解决物理学上的变力做功以及液体压力问题。 重点与难点教学重点：定积分方法分析变力做功和液体压力。教学难点：定积分的元素法以及物理量的计算公式。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完定积分的概念和计算方法以及定积分在几何上的应用后的学习，定积分的元素法在几何和 物理上的应用为学生尝试解决各种实际问题做了很好的 铺垫。将来把元素法的思想推广到多元函数后，其应用 范围将会更宽更广。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。 教学手段传统教学与多媒体资源相结合。
课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、 变力沿直线所作的功 dx x F dW )(= ?=b a dx x F W )( ，求电场力所做的功。 处处移动到从距离点电荷直线下，一个单位正电荷沿电荷所产生的电场作用、在一个带例)(1b a b a q <+为时，由库仑定律电场力原点解：当单位正电荷距离r 2r q k F = dr r kq dW 2=则功的元素为： 所求功为 )11(]1[2b a kq r kq dr r kq W b a b a -=-==? 例2、在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞a 移动到b 处（如图），求移动过程中气体压力所做的功。 解：建立坐标系如图. 由波义耳---马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xS k V k p == ，故作用在活塞上的力为 x k S p F =?= x a b x x x d +q +o r a b r r d r +1+S o x a b x x d x +
微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分就是数学的一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学包括导数的运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍的。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小,足以使用简单,可研究的方法来解决,再把这些局部问题的结果整合起来啊,就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去,局部问题无限的小下去的方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中的结果进行求与的方法,即就是积分。这种解决物理问题的思想与方法即就是微积分的思想与方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限的基础上,其主要探讨的就就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出的结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小的个体,我们可以将这个个体的变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体的结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt,而这一时间内的位移为dt,在每一段时间内速度的变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内的运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内的位移相加,无限求与,就可以得出总的位移。 在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律的数学表示,因此,我们在使用这些公式时,面对物理量与公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体 的物理量与角度去判断她的正确含义。 例:如图所示,一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中的感应电动势大小。 解:设在某个时刻,长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为
微积分在物理解题方面的应用
形式上的应用： 例：1，质点在力F= --kv 的作用下，初速为V0 开始运动，求质点运动距离。 以上在解题过程中，利用了导数的微商式dy/dx以及微分可进行四则运算的性质，将答案“凑”出来，因为对方程变形时，不需要考虑物理意义（并不是没有物理意义），这属于最基础的形式上的应用 运动学中常见的微商变形：dv/dt=(dv/dw)*(dw/dt)=β*(dv/dw) dv/dt=（dv/dθ）*（dθ/dt）=w(dv/dθ) 剩下的，大家可以自己在学习中总结。 微元法： 数学基础：关于微分的相关概念，性质，可以自行翻阅“高数”或者“微积分” 或者“数学分析”教材。（很重要） 微元法：是指将所需研究的物理对象，先微分成非常小的微元，然后研究单个微元的性质（在研究中一般会用到近似关系），找出规律，再求出整体性质的方法. 微元法的一般步骤： 一，写出待求量的微元表达式。 二，给出积分表达式。 三，确定积分上下限。 四，算吧= =+ 来来来，看看例题。 例1：求弹簧弹性势能公式 例2：（变力做功）质量为m的物体以v的速度在光滑水平面上沿x正方向运动，当它到达o点是，撞击一劲度系数为k的轻弹簧，并开始受到摩擦力的作用，摩擦因数是位置的函数，可表示为μ=ax （a比较小）。求物体第一次返回到o点时的速度。
3 求各种转动惯量杆，圆环，圆盘，圆柱等等。 4一个质量为m的圆环，其于桌面之间的动摩擦因数为μ，求当该圆环在桌面上绕着通过圆心且垂直于桌面的转轴旋转时，所受的摩擦力矩。 变：将圆环改为圆盘 5一无限长直导线，均匀带电，电荷线密度为λ，(λ>0) A，B 两点到直导线的垂直距离分别为a，b，若以A点为零电势点，B点电势为（仅用场强推导）（暂时不用看） 5有重物m，用缠绕在水平柱上的轻绳将其拉住缠绕了两圈，柱与绳间的摩擦因数为μ，为使得重物不下落，所用最小拉力为多大。（备用） 积分表达式的建立： 一，直接利用物理量以及物理定律的微分或者导数形式，求得积分式。比如速度，加速度，冲量，等等。 二，从有限量的规律导出物理量之间的微分关系，从而建立积分表达式。 积分变量的选择原则： 首先，由实际问题得出的积分表达式，由于种种原因，被积函数的自变量与积分变量往往是不一致的，需要统一变量。统一变量的办法大致有三种：1，改变积分变量以顺应被积函数；2改变被积函数以顺应积分变量；3俩都变成第三个变量。 而对同一个问题，从不同方面可以提取出不同的积分变量，那么什么积分变量更好呢？ 一，有利于与被积函数的自变量统一变量 二，有利于简化运算。 当我们在解题时，需要对矢量函数进行积分式，可以分解到坐标轴上之后，分别进行积分，最后再进行矢量加和。 结语：微元法充斥着普通物理解题的各个角落（可能你并没有感受到，因为很多定理定律的推导都是通过微元法获得的，而我们都是直接使用了这些公式），所以微元法这一工具十分强大，随之而来的便是，这一方法出现的形式变幻莫测，需要多加练习才能比较熟练地掌握。 当然，我这里给大家列出的思想方法的轻重顺序，只是针对于本校大物考试试卷的特点总结出来的，事实上我所述的最简单的那种应用，是比较原始的分析力学的思想方法，有兴趣的学弟学妹们可以翻一翻物理系的书喔~（但是并不推荐大家挖的太深）
微积分在物理学中的应用
大学物理 课题名称：微积分在物理学中的应用 专业：数学与应用数学 班级： 学号： 姓名： 指导老师： 摘要 在大学物理学当中，许多问题都会用到微积分来解决。微积分是研究函数的的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极
限的基础上的。微积分最重要的思想就是用“微元”与“无限逼近”，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行，这就是微积分在各个领域中应用的优点。微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问题的基本方法。物理学更是接近于生活，因此微积分也经常应用于物理学当中。 关键词：微积分物理学微元 以前听过这样一句话“学好数理化，走遍天下都不怕”，可以知道，数理是不分家的。我们知道从物理到数学其实就是一个建模抽象的过程，同时也是一个化归的过程，也就是说，物理中的任何一个领域都必然地涉及数学,不存在与数学毫无关联的物理分支。所以，在物理学当中是处处用到数学知识的，在这里要说的就是微积分在物理学当中的应用。 微积分的方法是一种辨证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一。它把复杂的物理问题进行时间、空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，这样在理论上得到精确的结果。微分就是在理论分析时，把分割过程无限进行下去，局部范围便无限小下去。积分就是把无限小个微分元求和。这就是微积分的方法。物理学就是要抓住主要方面而忽略次要方面，从而使得复杂问题简单化，因此在大学物理中应用微积分的方法，能够把看似复杂的问题近似成简单基本可研究的问题。 物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用 一、非匀变速直线运动的位移计算 一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。 由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。 试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段： [0，n 1]，[n 1，n 2],…，[n n 1-,1] 每个时间段的长度为 n n t t t t t i i 101=-=-=?- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移 t t v x i i ?≈?-)(1 在[0，1]上物体的总位移 ∑∑=-=?=?=n i i n i i t t v x x 111 )( ∑=-??? ? ?+?=n i i n n t x 12121- ()[] ()()22111131-26 121n 1-2121n 1-2111110-3222322+??? ??-??? ??-=+--=+-+?++=+???? ??--?-???? ??-?=n n n n n n n n n n n n 所以，n 越大即t ?越小时，时间段[0，1]分得越细， ∑=?n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞ →n 时，两者之差趋向于零，即 3 522111131-lim lim 11=??????+??? ??-??? ??-=?=∞→=-∞→∑x n n x t v x n n i i n
所以，小球在0—1s 内的位移为3 5m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。 二、变力作功 在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。 在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比 ()kx x F = 所以 20202121kl kx dx kx W l l ===? 拉力F 所做的功为22 1kl 三、交变电流有效值的计算 求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值 解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2 将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin = Rt I Q 2= 令 T t = 所以在半个周期内 TR I W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i T m i T m i 2202 2022 022 22412sin 412122cos 212 2cos 1sin = ??? ??-=??? ??-=-==???ωωωωω 所以 TR I W Rt I m i 224 1== 222 1m I I =
微积分在大学物理中的几点应用概要
毕业设计（论文）题目：微积分的几点物理应用 学院：数理学院 专业名称：应用物理 学号：200941220103 学生姓名：孙川 指导教师：李建 2013年05月18日 摘要
微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中, 从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题. 微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法 关键字 微积分微元法质点力学刚体力学电磁学
Abstract Calculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a constant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues. The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more complex physical problems. It’s f irst “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and methods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods. Key words Calculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism
微积分在物理学上的应用
□o il b /d?m = 77|n a ---- 嶺靜咖皿------ 微积分在物理学上的应用 1引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为 零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足 够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以 得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想 和方法即是微积分的思想和方法。 2微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速 直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为 dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。 在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含 义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=l0sin 3的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 在图中做一个微元面dS,dS=ldx则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 M0i d? m = BdS = 2 Idx 2 nx 线圈围成的面上通过的磁通量为
1.7.2定积分在物理中的应用教学设计(优秀经典公开课比赛教案)
1.7.2 定积分在物理中的应用 一、教学目标 1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、预习导学 1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）． A ．38 B ．2 C ．34 D ．3 2 2．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ） A ．4 B ．2 C ．52 D ．3 3．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积． 解：如图：由2230y x x y ?=?--=? 得A （1，– 1），B （9，3）． 选择x 作积分变量，则所求面积为 10011((3)]2S dx x dx =+-?? =911 12(3)2x dx +- -??? =3321992201142332||()|33423 x x x x +--=． 三、问题引领，知识探究 变速直线运动的路程 1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即?=b a dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ?-5 3sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 例1．教材P58面例3。 练习：P59面1。 变力做功 1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．