关于线性代数课程教学的几点思考
关于线性代数课程教学的几点思考
游宏
2009年11月8日于杭州
hyou@https://www.360docs.net/doc/223867812.html,
★课程的历史沿革与现状
★现行的教学基本内容与要求
★教学内容的组合与变革
★课程建设中的成绩与问题
★线性代数的主线与核心
一、课程的历史沿某与现状
二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程统称为高等数学，以微积分教学为主，线性代数在高等数学的教学中仅占一小部分。当时仅介绍行列式与线性方程组求解；解析几何内容则相对丰富，几何向量、空间直线与平面、极坐标、二次曲面等通常放在微积分前讲授。当然，有少数大学根据某些专业的需要，讲授更多一些的线性代数（矩阵）的知识。
文革后，由于科学技术，特别是计算机与信息科学技术的发展，我国高等数学教学的理念也逐渐发生了变化。从七十年代末、八十年代初开始，一些大学的工科数学的教学增添了线性代数、概率论与数理统计等教学内容。但初期的做法，是把线性代数放在《工程数学》中讲授的。
大约在八十年代中后期，一些大学把线性代数独立出来，成为工科数学基础课的一门独立课程。进入九十年代，在多数重点大学，线性代数成为工科数学教学的三门主要课程之一。
九十年代中后期，一些大学又将空间解析几何的内容从微积分教学中剥离出来，与线性代数融汇在一起，组成《线性代数与空间解析几何》。
过去的三十年里，线性代数课程的教学发生了三次较大的改革；一是线性代数成为一门独立的工科数学的教学课程，二是内容的扩充与重组，三是注重软件的使用与该课程的实验。
但是，该课程的教学在各大专院校中是不平衡的，重视程度差异较大。以教学时数来看：少则16-24学时（不含解析几何），多则60-90学时（含解析几何），解析几何部分一般为14-20学时。
近年来，线性代数课程的教学改革在不断深入，已逐步涉及对一些传统的教学内容、数学概念（定义）、授课方式的改革，特别是注意到和实际应用的结合，使用软件计算、解决有关线性代数中的问题。
二、现行的教学基本内容与要求
目前，大多数理工大学的线性代数教学内容基本相同，主要内容涉及：行列式、矩阵、n 维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等六大板块。一些重点大学的教学内容会更多一些。这既由线性代数本身的基本内容所决定，也与教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求和硕士研究生的考试内容有关。
二十世纪九十年代初，教育部高等教育司委托当时的教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求作了修订，修订文件于1995年下发（以下简称95年修订稿）。
95年修订稿中将线性代数作为高等学校工科数学教学的主要课程，明确了该课程的基本内涵，包括六个教学主要内容（对多数工科专业而言）。
2003年开始，教学指导委员会受教育部高教司委托又对1995年教学基本要求的修订稿再次修订，线性代数与空间解析几何在此次修订中是作为一门课程写入教学基本要求中的，但同时也列出线性代数单独作为一门课程的教学基本要求，在。
前言中声明并不要求所有学校都将线性代数和空间解析几何融汇为一门课程，各校可以有自己的独立性。
在新的基本要求中，线性代数与空间解析几何课程由八个部分组成：（1）行列式；（2）矩阵；（3）几何向量；（4）n维向量与向量空间；（5）线性方程组；（6）矩阵的特征值与特；（7）实二次型；（8）空间曲线与曲面。
其中，（1）（2）（4）（5）（6）（7）属于线性代数；（3）（8）属于空间解析几何。有关细节可见《大学数学》2004年第一期。
从总体上看，新的修订稿对线性代数课程的要求有所提高。
今天来看，我个人认为几年前修订的课程“基本要求”对于一般大学（学院）而方有些过高，而且对实际应用，比如对计算机软件的使用有所忽略（至少可以鼓励与提倡）。
修课稿中空间解析几何部分与1995年相比，基本没有变动，仅增加了一条带“*”号的条目：了解二次曲面的分类。带“*”号的条目是为有需要或有条件的学校或专业选用的。
线性代数部分变动较多一些，行列式、矩阵、线性方程组的有关要求变动不大，只是将过去对某些知识仅要求“了解”、“会”提升为“理解”与“掌握”。
n维向量与向量空间部分有四处变化：
（a）将内积概念，施密特标准正交化方法从95年修订稿中的矩阵的特征值与特征向量部分移至向量空间部分；
（b）增添了“了解线性变换的概念及其矩阵表示”的条目；
（c）增添了带“*”号的条目“了解基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵”；
（d）对会求向量组的极大线性无关组及秩提出了要求。
矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部分内容移至向量空间部分。
实二次型部分，增添的内容有两处：
（a）了解合同变换与合同矩阵的概念；
（b）了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型的规范形。
现实中，研究生入学考试的内容对学校的教学影响更大，上述的六大板块都是研究生入学考试命题的范围。
如果参加研究生考试，仅对上述的某些内容“了解”可能是不够的，因个别年份的试题（对后两部分内容而言）还是有一定难度的。近两年，研究生入学考试的命题范围略有扩大，如，增添了分块矩阵的计算，出现了解析几何与线性代数内容综合的试题（尽管较为简单）。试题中联系实际的问题虽然有，但比较少。
三、教学内容的组合与变革
1．现行教材内容的安排
从国内多数大学关于工科专业《线性代数》课程的教材来看，基本内容与教学基本要求大体一致，但各部分内容讲授多少有所不同，章节的安排也不尽相同，只有少数为特殊专业、特殊学生准备的教材，内容更多一些，更深一些。如个别教材增加了矩阵相似的标准型、多项式、仿射变换、射影变换、基本代数结构等内容。
国内教材较多见的内容安排为：
行列式→矩阵→n维向量及向量空间→线性方程组→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（*）
如把空间解析几何内容加入的话，则在矩阵后介绍几何向量（包括内积、叉积、混合积、直线、平面方程等）二次型后讲授空间曲面。有的教材还含线性变
换的内容，一般放在向量空间后或二次型后。
（*）的内容安排较为传统，与传统的《高等代数》内容安排比较一致。
有少数一些教材，采取如下的内容安排：
线性方程组的消元法→矩阵→行列式（含矩阵的秩、逆阵等）→n维向量与方程组的解的结构→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（**）（**）的内容安排有意将矩阵放在行列式前讲授，但因传统的矩阵秩的定义离不开行列式，故矩阵的秩、逆矩阵等仍在行列式后讲授。
矩阵是线性代数中最重要的概念，行列式的传统定义对初学者又较难接受，先讲矩阵再讲行列式是多数教师希望采取的授课方式。但因上术寄托因有关矩阵、行列式等概念的内容按排几十年变化不大。不过，近两年有个别教材在这些问题上有所改进。
2．某些改进
（1）定义矩阵的秩不必借助行列式，而是用矩阵等价的标准型中1的个数来定义矩阵的秩。当然，这需要证明一个矩阵的等价标准型的唯一性，应用反证法和一点分块矩阵的计算即可证明，难度不大。这种改进使得线性代数课程中的矩阵内容（包括秩、逆矩阵）自成体系，可把行列式的内容真正移后，使得上述（**）的做法得以彻底。这一做法可见高教社最新出版的由苏州科技学院主编的线性代数教材。
（2）行列式的定义采用归纳法，即先给出二阶行列式的定义，然后利用行列式的第一行（或列）展开归纳定义行列式。当然，这里也有一个定义的合理性问题。
（3）不少教材在各章节中给出一些内容，如：矩阵、向量、二次型等的应用例子，涉及信号处理、情报检索、图像压缩、统计、机械震动、图论（电路）、管理等各个领域，有助于提高学生学习的积极性和联系实际。
（4）有的教材附有如何使用软件（Matlab）进行计算，如何从某些实际问题中建立简单数学模型的内容：有的教材还提供计算的实例等。
为比较中外教材，简单提一下见到的一些美国教材的内容安排：
线性方程组与矩阵→实向量空间→n维向量与向量空间→线性变换（与矩阵）→特征值与特征向量→行列式→实二次型→一些应用（***）美国的大学对一、二年级学生不分专业（通才教育）。总的讲，他们用于一、二年级大学生的线性代数教材比我们的要浅，很多结论不给出证明，某些知识不要求彻底，如：线性方程组的内容中不讲0
A X 的解空间与基础解系，但比较注重工程实用与计算，都附有Matlab等软件的使用，有的还提供算法，计算程
序等。当然，一些名牌大学的《线性代数》课程讲的内容较多，有的甚至涉及实矩阵的正交与上三角阵的分解及其他一些分解，Hessenberg标准型等。但是他们教材的一个共同特点是注重线性代数与其他学科的联系，注重应用与计算。3．几点看法
（1）线性代数课程应该注重与新的计算技术的结合。增加计算机软件使用的实验课很有必要，特别是不完全按软件手册的方式介绍Matlab的各种用途，而是围绕线性代数课程的教学内容来介绍如何使用Matlab。事实上，工具使用的介绍（如计算尺）在数学教学史上也是出现过的，在今天计算机广泛使用的时代理应增设这一内容。而且，在实验中介绍软件使用所需进间并不太多，关键是重视它。软件使用的介绍最好力求简单，不必讲得太多、太繁，主要是让学生在计算机上实践。为使学生便于使用软件，在日常课堂教学中给出一些数学概念对应的英文是有用的。
（2）线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要。将一些实际问题或日常生活中的问题，甚至一些趣味问题作为实验的例子建立数学模型并结合计算机软件的使用让学生得出结果，做综合实验是很有益的。数学实验目前在不少学校仍停留在数学建模的比赛上，让这一教学内容真正走进广大学生还很不够。
（3）传统教学内容的变化近几年较为集中在行列式与矩阵的秩的定义以及进授的顺序上。我比较倾向上诉的（**）的教学顺序，即：先由线性方程组引入，然后讲矩阵，矩阵的初等变换，简单的矩阵分块计算，可逆矩阵等，用矩阵等价标准形的唯一性（直接证明它的唯一性）定义它的秩。然后介绍向量组的线性相关性，向量组的秩等。有条件的学校（学时多）可讲授向量空间。接着，完成线性方程组的解的理论。再介绍行列式。
（4）关于行列式的定义，传统的授课方式难点在前，但随后进行列式的性质则较为方便；用行列式展开归纳定义行列式，起始易于学生接受，但后面讲行列式的性质却较为困难，特别是从理论上讲还有一个定义的合理性问题。比较两种方式，我觉得难易程度差不多，一个难点在前，一个难点在后。如果行列式的性质只讲结论不予证明（国内外，特别是国外很多教材就是这样），当然后者为好。
（5）线性方程组解法的完备。传统的教材只给出线性方程组有无解的判定准则和有解时的解的结构及解法，但对于无解的线性方程组则不做交代。事实上，无解的线性方程组可以有最小二乘解（最优的近似解），这在实际问题中是会遇到的（由实验数据建立起来的方程组很可能无解）。目前，国内绝大多数教材都不涉及这一问题，我觉得这是一个空缺，最好补上，况且也不需要增加多少内容。这样，既完备了线性方程组各种情况的处理方法，也对实用有利。事实上，Matlab
函数库中已有这种情况的算法。
（6）线性代数与解析几何结合是可取的做法。事实上，非数学专业一般没有几何课程，解析几何的内容不是放在微积分中讲就是放在线性代数中讲，当然二者的侧重点有些不同。有关向量的内容、直线与平面和线性代数结合很自然，对代数与几何的融汇，相互影响是有利的。对于曲线与曲面部分，分析与代数的侧重点是有些不同，但并不矛盾。线性代数中实二次型的分类的几何背景就是二次曲线与二次曲面的分类，而且，弄清二次曲面的方程对重积分积分区域的确定也有帮助，不足的是曲面的几何直观会有所削弱；另外，代数中不涉及极坐标。国外线性代数教材一般都注重代数与几何的关系。
（7）线性代数与很多数学分支都有联系或在这些领域都有应用，如：近似积分与微分，微分方程组，Markov过程等（这些已在国外教材中可见到，有的还附有软件使用），我们的教材在联系其他数学分支方面显得弱一些，虽然也有一些应用，但总的讲，偏重线性代数自己的理论。
（8）线性代数的“瘦身”与“平民化”，这一点主要是针对一般大学、技术学院的教学而言的。非重点大学的线性代数课一般学时较少，学生的素质也相对弱一些，如按着重点大学的课程内容授课通常行不通。但这些学校的学生人数众多，因而有一个如何让更多的人懂得和应用线性代数的问题。解决这一问题可能只能是将“线性代数”通俗化，即简单化。对一般大学、技术学院的学生我看主要是让他们知道矩阵及运算（包括简单的矩阵分块）、逆矩阵、矩阵的秩、初等变换、如何解一般的线性方程组（不包括基础解系）、行列式计算就可以了，有条件的，可讲一点特征值、特向向量及对称阵。但用软件计算是要让他们掌握的。
根据学生的水平和需要来组织教学应该是搞好教学的关键。
四、课程建设中的成绩与问题
三十年来，线性代数课程从无到有成为工科数学的主要课程之一，经过很多数学同行的努力取得了很大进展，当然也存在不少问题，下面谈一点个人的看法。1．课程建设取得的成绩
（1）课程的规范性基本确立；
（2）教学内容的改革在不断推进；
（3）多部教材“百花齐放”；
（4）注重与实际问题的结合和计算软件的使用；
（5）不同学校、不同专业的分层次教学在很多学校已经推开；
（6）授课方式的多样性。
2．存在问题
（1）同一性比较突出，各学校的个性不明显：显得课程教学的模式大体相同；
（2）教学内容的安排依然受数学专业的教学内容的影响较大，与工科实际问题的结合仍然不够（研究生的教学内容则有较明显的差异），可以简的和可以放的内容简不下来也放不下去；
（3）“低层次”的教材较少见到，特别是缺少适合职业大学、二级学院的教材（这些学校的学生人数在整个高校的学生人数中占很大比例），对这些大学的教学状况关注得也不够；
（4）教学中的应用性和实际计算做的还很不够；
（5）与时俱进做的不够。
附录：2006年大学数学课程报告论坛对线性代数课程的几点共识：（i）线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要；
（ii）这门课程应该是面向矩阵的；
（iii）这门课程应该是根据学生的水平和需要来组织的；
（iv）这门课程应该利用新的计算技术；
（v）对于数学专业，可以开设“高等线性代数”课程来提高其抽象性。
五、线性代数的主线与核心
线性代数起源之一是解线性方程组。线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于线性代数，即使是解析几何，直线、平面方程都是线性的，平面位置关系的确定也与线性方程组解的结构理论相关。至于代数，几乎所有内容都与线性方程组相关，如：
（1）向量组的线性相关性从解线性方程组的角度看，背景是去掉多余的方程。
（2）矩阵抽去方程组的未知量与运算符号，即为矩阵。
（3）行列式Cramer法则，用于解特殊的线性方程组及研究线性方程组的解的结构。
（4）特征值与特征向量用方程组求属于某一特征值的特征向量。
（5）二次型用于证明惯性定理等。
线性方程组的实际应用无需多言，因而线性方程组的解法与解的理论在线性代数教学中是一条主线。
线性代数的核心在于矩阵的对角化（可理解的广一些，包括上三角化等），主要手段：初等变换。行列式计算，解线性方程组，求矩阵的秩等都是用初等变
换将行列式或矩阵化为地角形或上三角形（含阶梯型）。矩阵相似的标准形，实对称阵正交相似或合同于对角阵，化二次型为标准形，二次曲面的主轴化等都离不开“对角化”。
因此，线性代数教学最好依照它的主线讲出它的核心与主要方法，即通常所说的思想。进一步讲，对角化问题与可逆矩阵（群）在非零向量集合上可迁是密切相关的，而在域上，在非零向量集合是可迁的这一点很容易得到，虽然可迁性在线性代数中的地位并不显要，但它的许多其他数学分支及应用中却很关键。 最后，讲几个零散的问题：
（1）V andermonde 行列式在大多数教材中都是一道例题，却很少介绍它的意义（用处）。事实上，给定1n +对数值(,)i i a b ，确定一个n 次一元多项式()f x ，自然要解一个以V andermonde 矩阵为系数阵的线性方程组。如果i a 各不相同，这
个线性方程组只有唯一解，这样就确定了这个多项式。这个方法在数值积分中常用，是一个很好的应用例子。
（2）前面提到的无解的线性方程组AX β=。令,AX γβγ=-称为剩余向量，在实数域上，使得剩余向量γ长度最小的向量Y （对于AX β=而言）称为AX β=的最小二乘解，即||||||||AY AX ββ-≤-对所有的实n 维向量X 。这也就是说要在集合A X 中找到一个向量ξ，使得
||||||||,AX βξβαα-≤-∈
可以证明（用几何直观解释）||||βξ-最小当且仅当βξ-与A X 中每一个向量正交，因{}AX 中每一向量是由A 的列向量张成，故βξ-与A 的所有列向量正交，即有()0T A βξ-=。
因AY ξ=，我们有T T A AY A β=. 因此AX β=的最小二乘解即为T T A AX A β=的解。易证，在实数域上T T A AX A β=总有解。
（3）矩阵的Hessenberg 标准形及特征多项式的求法。
方阵()ij n n A a ?=的Hessenberg 标准型是如下形式的矩阵
· 11121312
122232323331,21,11,,10
0000n n n n n n n n n n n nn a a a a
a a a a a a a a a a a a ------?????????
????
??
??????
?????
（1）
即次对角线以下的元素全为0，实际上可以说Hessenberg 标准形是一个粗糙的Frobineous 标准形，对于方阵（1），其特征多项式易于计算。
任一方阵都相似于一个Hessenberg 标准形。且可直接用行、列的初等变换来实现（不用更多知识就可以讲清）。
当次对角线上元素有为0的，方阵可分块为
· 0
B C D ?????? 称为可约的。否则称为不可约的。若H 是一个不可约的Hessenberg 矩阵，H 的特征多项式可如下求得：
令
01101(1,0,,0,),,(1,2,,)T k k v e nu hv v hv k n -=====
解线性方程组
001111n n n a v a v a v v --+++=
求出011,,,n a a a - ，那么H ，即A 的特征多项式为
110()n n n f x x a x a x a -=++++
当H 可约时，H 可分块成
· 0B C D ??????
不仅带来计算的方便，而且还可对较大的块实施上面的过程。
在用Matlab 计算时，求Hessenberg 标准形是多项式的时间，而计算det()A I λ-是指数时间，方阵的阶大于5，后者所用时间就多，而且阶越大，时差越大。
详细可见：L. W. Johnson “In reduction to Linear Algebra ”综上，
（1）有关线性方程组的知识的重要性，即主线；
（2）工科线性代数教学的内容应与计算、软件使用结合起来。
线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??
√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N
线性代数教学大纲2016
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础课 课程性质：必修 一．课程介绍 1.课程描述： 线性代数课程是高等院校理科(非数学类专业)、工科、经济和管理各专业（特别是需要数学基础知识较强的相关专业）的一门公共基础课。线性代数主要处理线性关系问题，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性。通过线性代数课程学习，要求学生掌握该课程的基本理论与方法，为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。同时，培养学生的逻辑思维能力以及解决实际问题的能力等，还可以提升学生相应的数学素养。 2.课程内容： 主要内容包括：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量及矩阵的对角化、二次型。 行列式和矩阵是学习解线性方程组的基础，利用行列式，根据克拉默法则可以求解某些非齐次方程组的解；利用行列式可以判定某些齐次线性方程组是否有非零解。行列式也可以判定矩阵是否可逆，并用之求可逆矩阵的逆矩阵；利用矩阵可以判定和求非齐次方程组的解，以及可以求齐次线性方程组的非零解；建立R n的基与向量在基下的坐标及坐标变换，并讨论欧式空间及其结构；讨论矩阵的特征值和特征向量及矩阵 - 1 -
的对角化问题；利用以上理论讨论二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩、惯性定理、标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形等。 3. 课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：微积分，高等数学等； 后置课程：概率论与数理统计。在计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等课程中，都会涉及到线性代数的相关基础知识。由于理解及知识储备的原因，建议在一年级下学期或者二年级时，学生开始选修《线性代数》。 二、课程目标 本课程目标是为非数学类专业学生学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础和基本技能，更旨在通过本课程的学习培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力。到课程结束时，学生应能： （1）掌握行列式、矩阵的基本定义及性质等，能够计算行列式的值； （2）理解线性方程组求解理论，掌握向量组的秩、矩阵的秩、线性相关、线性无关等概念，会分析并求解齐次、非齐次线性方程组。 （3）熟练掌握向量的运算，理解R n中的基、坐标、基变换与坐标变换及内积的相关知识； （4）掌握矩阵的特征值和特征向量，矩阵的对角化理论； （5）掌握二次型的标准型和正定二次型的基本概念和理论； （6）能够借助Matlab等计算机软件进行行列式的计算、求解线性方程组等。 三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： - 1 -
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵 数 学 模 型： 生态学：海龟种群统计数据 该模型在高等数学教学应用的目的： 1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。 2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。 3． 巩固矩阵的概念和计算。 生态学：海龟种群统计数据 管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。 如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是 111i i d i i i d i s p s s -??-= ?-?? 种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是 ()11i i d i i i d i s s q s -= - 如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵
12341 2233 400000 p e e e q p L q p q p ?? ? ?= ? ??? 那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是 0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ?? ? ?= ? ??? 假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后 每阶段的种群数可以如下计算 100 0127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ?????? ??? ? ??? ?=== ??? ? ??? ??????? （这里的计算进行了四舍五入）。为了得到2年后的种群数，再用矩阵L 乘一次。 2210x Lx L x == 一般来说，k 年后的种群数由公式0k k x L x =给出。为了了解更长时期的趋势，计算出x 10、 x 25和x 50，如下表所示。 这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。 下面的文献[1]介绍了一个七阶段的种群动态模型，文献[2]是莱斯利原来那篇文章。 思考：海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？ 参考文献 1. Crouse, Deborah T., Larry B. Crowder, and Hal Caswell, “A Stage-Based Population Model for Loggerhead Sea Turtles and Implications for Conservation,” Ecology , 68(5), 1987 2. Leslie, P. H., “On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics,” Biometrika , 33, 1945.
线性代数公式总结大全
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数教学大纲
线性代数Ⅰ课程教学大纲 一课程基本情况 课程名称：线性代数。 课程名称（英文）： Linear Algebra。 课程编号：B11071。 课程总学时：40学时（全部为课堂讲授）。 课程学分：2学分。 课程分类：必修，考试课。 开课学期：第3学期。 开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学(S)、计算机科学与技术(S)、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。 先修课程：无。 后续课程：大学物理等基础课和各专业相应专业课。 二课程的性质、地位、作用和任务 《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。 三主要容、重点及深度 了解行列式的定义，掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵（包括特殊矩阵）、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的充要条件，掌握矩阵的求逆的方法。掌握矩阵的初等变换，并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关和线性无关的定义及有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n 维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆（Cramer）法则。理解非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。了解向量积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示，会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
数学建模案例线性代数教学研究
数学建模案例线性代数教学研究 摘要：本文通过分析线性代数课程的特点和目前教学中出现的问题，从数学建模思想入手，结合几个案例探讨了线性代数中矩阵的概念与运算、特征值和特征向量的应用等知识点。具体阐述了将数学建模思想融入线性代数教学过程中的重要性，增强了学生利用数学建模思想解决实际问题的能力。 关键词：线性代数；数学建模；教学方法 线性代数是高校理工科专业大一新生的一门重要的公共基础课程，它不仅是很多高年级的课程的延伸和推广，而且它在数学、物理、控制科学、工程技术等领域也具有广泛的应用，特别是当前计算机科学技术人工智能的快速发展，使得线性代数的作用和地位得到更大的提升。因此，线性代数这门课程学习效果的好坏对学生知识能力的培养和后继课程的开展至关重要。但是，目前线性代数的教学仍然存在一些问题，具体表现为：第一，线性代数的教学模式偏重于理论教学，无法激起学生的学习兴趣。线性代数的概念多，理论性强，抽象晦涩，难以理解，更加加深了学生学习线性代数的难度，降低了学生的学习兴趣。第二，学生的基础较差，课程数较少，导致学生的学习困难。学生来源于不同的地区，生源素质差异较大，使得课堂出现两极分化现象，致使线性代数的教学质量无法全面提升。第三，教学中缺乏实际的应用背景，学生无法理解线性代数作为一门重要基础课程的意义。众所周知，数学建模就是根据实际问题建立数学模型，然后运用数学知识对模型求解，最后根据计算结果来解决实际问题的过程[1]。基于此，本文将数学建模的思想融入线性代数的教学过程中，通过适当引入典型的建模案例[2，3]，达到吸引学生的注意力和学习兴趣的目的，从而活跃课堂教学氛围，提高教学效果。与此同时，在上课过程中讲授数学建模案例还可以增加老师和学生之间的互动性，丰富课堂教学的内容，开阔学生的眼界，使得原本抽象、枯燥乏味的概念和定理变得生动有趣，进而激发学生学习线性代数的兴趣，提升学生学习数学的素养。 1 数学建模案例在线性代数中的应用 线性代数教学中有许多定义和定理抽象晦涩、难以理解，学生上课中往往不知所云，更不知道学习了相关知识有什么作用。如果在教学过程中我们融入
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
关于《线性代数》教学的一些想法和思考(精)
关于《线性代数》教学的一些想法和思考 作者：薛艳霞杜莹https://www.360docs.net/doc/223867812.html, 2011-12-25 23:45:51 来源：毕业论文网 摘要：本文结合线性代数课程本身的特点和作者自身的教学实践，就如何提高线性代数课程的教学效果，提出改进线性代数教学方法的几点想法和建议。 关键词：线性代数、学习兴趣、教学方法 《线性代数》是高等院开设的一门重要的数学基础课，该课程对于提高学生的数学素养、培养学生用数学思维分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力是非常有用的。因为它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已广泛渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域,同时为后续课程包括数学建模、运筹学等的深入学习作铺垫。但是，该课程具有概念多、抽象、逻辑性强的特点，学生们普遍反映线性代数抽象、枯燥、繁琐、难学、没用，并因此失去了学习的兴趣，更缺乏进一步深入研究和探索该门课程的愿望。作为从事《线性代数》教学的教师，不能满足只是完成把知识强施于人，这样绝大部分学生会反感，进而会产生抵触情绪，以致放弃该门课程的学习。那么怎样才能让学生产生主动学习的兴趣，怎样才能将课堂内容用更好的教学方式组织以便让学生乐于接受，怎样才能让学生更有成效的学好这门课程，笔者认为可以从以下几个方面入手。 第一，创设学习情境，激发学生的学习兴趣。俗话说，“兴趣是最好的老师”。因此作为任课教师，第一堂课前必须花费大量时间做好准备工作，比如查阅资料追溯线性代数的相关历史，收集一些将想象力、创造力、努力交织在一起的数学家们的有趣事迹，让学生充分了解课程内容的相关背景知识及发展现状，激励学生学习的兴趣。这样，基于学生对这些数学家们的好奇心，便急于想从学习过程中寻找答案。从而教师便可以创设一种很轻松的学习氛围，使他们了解知识点的来龙去脉，进而加深他们对概念的理解，同时还有利于拓广他们的知识面，提高他们的数学修养，激发他们的学习兴趣和主动探索知识的内在动力，学生如果对学习线性代数有了强烈的兴趣，也达到了我们的教学效果，自然就提高了学习效率。 第二，建立和谐的师生关系，用情感教育激发学生的学习兴趣。“感人心者先乎于情”，作为教师，我们不要“居高临下”，应从自身角度提升自己的素养，使自己对学生有一定的亲和力，注重加强与学生感情的交流，经常关心他们，鼓励他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的所遇到的一些困难。另外，教师要创设一种轻松愉悦的课堂气氛，要注意抓住每位学生的闪光点，并不失时机地给他们以鼓励和表扬，以激发学生的自信心，随着自信心的增强，学生的自我表现愿望得以满足，从而“润物细无声”，在潜移默化中达到“尊
线性代数超强总结
√ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????
⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
线性代数课堂教学的几点体会
线性代数课堂教学的几点体会 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 线性代数课堂教学的几点体会 线性代数是数学的一个重要分支，其计算技巧与数学理论对自然学科和数学学科本身的发展起着重要作用，它不仅是一门非常好的数学课程，而且是一门非常好的工具学科，在很多领域都有广泛的用途。同微积分一样，它是高等数学中两大入门课程之一，是大学理工科和部分文科专业主要的基础课程。它的理论和方法无论是对学生知识结构的完善还是对学生综合素质的提高，以及创新能力的培养都有着十分重要的作用。线性代数的教学效果直接影响学生在实践中应用数学的能力。笔者结合自己十几年来的教学实践，从课前备课、课堂教学及课后作业批阅三个方面就如何增强线性代数教学效果谈谈体会。 一、认真准备，精心备课 上课前充分备课是上好课的前提，要提高课堂教学质量和效率，首先要抓好备课这一环节。大量的教学实践表明，教师在备课上所花的工夫直接影响授课质量。就同一任课教师来说，进行观摩教学时教学效
果一般都比平时好，原因并非观摩教学时教学能力高，而在于教师备课比平时充分得多，进行了认真的筹划和精心的设计。针对线性代数课程学时少、概念多、抽象度高、思维方式独特的特点，教师要在教学过程中既保证数学原理的传授，又使学生及时掌握主要的解题方法，就必须认真地筹划和精心地设计每一节课的每一个知识点。 要备好课，首先要熟悉教材的整体构架。具体地指，这册教材是怎么样编写的，它是以怎么样的脉络为主线的，主要内容有哪些，分为几大版块，每个版块由哪些具体的内容构成。只有对教材框架熟悉，我们才可以创造性地加工教材，对教材本文由论文联盟http://收集整理科学地重组、合并、添加及删除，让教材符合学生的实际，符合学生的口味。这就是说，我们要用教材教，而不是教教材。例如大多数线性代数教材讲行列式的时候，开始都是以2阶与3阶行列式引入一般行列式的定义的，如文献[1]和[2]。如果严格按照课本章节，那么2阶节行列式还容易让学生记住，但是3阶行列式对于大多数学生来说，不但有的6项不容易记住，而且常会为这些项的正负号纠结。如果熟悉了教材的整体框架，知道这不过是为了引入行列式一般概念而设的章节，就完全可以跳过这部分
线性代数课程教学总结
线性代数课程教学总结 《线性代数课程教学总结》的范文，这里给大家。篇一：线性代数课程总结 线性代数精讲 曾经我学过线性代数，但是没有深入的学习，所有一直希望有一个机会能够深入学习线性代数的机会。没有想到的是，今年的选修课给了我这样一个机会。线性代数精讲，当我看到它的时候，毅然的选了这门选修课。 现在这学期快要结束了，当然这门选修课也即将结束，在这里我想总结一下这门选修课给我带来的帮助。首先从专业来说，对于学习计算机的人来说，数学的重要性不言而喻。打一个比方，数学就好比计算机的左膀右臂。对于想深入学习计算机的人来说，数学必须学得很好。所以线性代数这门课对我来说很重要，它与我们所讲的数据结构中的图有很大的联系。通过这门课程的学习，我已经深入了解了线性代数，它使我对原来学过的某些知识有种恍然大悟的感觉。以后我还会继续学习线性代数这门课程，我相信它给我带来的还远不止这些。 其次，从考研方面来说，对于考研考试中的数学试卷，线性代数占有很大的比重，这也显现出来线性代数对考研的学生来说有多么重要。我是一个将在后年要参加考研的学生，能听到线性代数精讲这样一门课，我很高兴。在这门课程的学习过程中，老
师深入地讲解了线性代数，让我的考研之路轻松了不少。而且，老师在将课的同时还插入例如考研真题，这是最让我感激的地方。有这样的辅导，我的线性代数还愁不过吗？ 最后，我想从对实际生活的影响方面来说，生活中的思维模式是 数学思维模式的一种映射。从某一个方面来说吧，比如做数学中的证明题，每一步都不是凭空而来的，精品而是根据题中的实际要求一步一步推出来的，这就好比做生活中的某件事，如果没有一步一步踏踏实实的走过，是不可能有好的结果的。这门课的讲解，让我对数学的思维模式有了更深入地了解，对生活也有了更深入的认识。 通过这半学期的学习，让我学到了很多，我想说对老师说声谢谢。希望这门课能够一直的讲下去，让更多学弟学妹们受到帮助。 篇二：线性代数课程总结 线性代数课程总结 第一章行列式 1.1二阶、三阶行列式 （一）二阶行列式 （二）三阶行列式 1.2 （二）
《线性代数》课程教学中的几点思考
【摘要】针对线性代数课程中存在学时少、内容多、概念抽象、学生学习积极性不高等问题，提出改进线性代数教学方法的几点想法，以激发学生学习的兴趣和积极性，从而提高线性代数的教学效果。 【关键词】线性代数；学生；学习 《线性代数》是各类高等院校的的一门重要基础理论课程，是学习许多后续课程不可缺少的工具。它在自然科学、社会科学和工程技术等诸多领域都有广泛的应用。相比于《高等数学》、《概率论与数理统计》，《线性代数》具有高度的理论性、逻辑性和抽象性，所以它对培养学生的抽象思维能力、严密的逻辑论证能力具有重要作用。但从教学实践看，线性代数课程存在学时少、内容多、概念抽象、学生学习积极性不高等问题。笔者认为建立融洽的师生关系，注重课程的知识结构，在教学中注重数学思想方法的使用和知识的实际应用以及易错问题的讲解，这些措施有助于激发学生学习的兴趣和积极性，培养学生的创造性思维和创新意识，提高线性代数的教学效果。 一、建立融洽的师生关系 师生关系在教育实践中的功效是巨大的，它的和谐与否很大程度上决定了高等教育质量的高低。学生的学习兴趣、学习动机与师生关系间存在较高的相关性。学生经常会把“喜欢教师”作为学习努力的原因之一，“不喜欢教师”也常常是学生对某门课失去兴趣的原因。教师在线性代数教学中应该不断提高自己的教学水平，展现积极的情感、严谨的治学态度和高尚的人格；应该尊重、爱护、了解学生，带动学生一起探究知识，进行学业和思想上的交流。这样可以取得学生的尊重和认可，进而喜欢上线性代数这门课。 因此，建立融洽的师生关系对提高教育教学质量是必要而且可行的。 二、注重课程的知识结构 我国现行的《线性代数》教材中，主要遵循行列式―矩阵―线性方程组―向量―相似矩阵与矩阵对角化―二次型这样顺序安排教学内容。这些分散的块状结构使得学生普遍感到线性代数知识点较多，内容不连贯，杂乱无章，抓不住重点。行列式、矩阵、向量、二次型都是学生不曾接触过的内容，而线性方程组是他们稍微熟悉的内容。因此，在实际教学中，要注重课程的知识结构，在内容的组织上就要有精心的设计，要分析五部分内容间的关系，让这些内容联系起来。以线性方程组求解为主线，渐次引进行列式、矩阵和向量这些新工具，有了这些工具，就可以理解方程组的类型和通解及解集的结构，也就是本课程第一到第四章的内容。而后围绕相似矩阵与矩阵对角化和化二次型为标准形展开，而这些问题则完全可以看作是行列式、矩阵、线性方程组的的应用。因此，教师在线性代数的教学过程中，通过理清课程主线，构建知识体系，可以使学生掌握线性代数的整个知识脉络，了解各知识点之间的联系及在整个知识体系中的地位和作用，能够突破学习线性代数的重点和难点，充分夯实基础。 三、注重数学思想方法的使用 学生在学习线性代数课程时，通常感到内容抽象，逻辑性强，趣味性少，推导和计算繁琐，对学习缺乏兴趣。所以，在教学的过程中，我们要注意教学方法的运用。在教学中可以将数学思想方法，例如，化归、归纳、演绎、类比等思想方法融入线性代数课程教学中。例如，每一章节或单元的内容可以建立知识链或通过运用图像图表进行归纳总结；在二阶行列式逆矩阵的计算中可以归纳为两调一除原则；在讲解逆矩阵的性质时，引入穿脱原理这样的比喻。这样可以激发学生学习的兴趣和积极性，提高线性代数课程教学效果，培养学生的创造性思维和创新意识。 四、注重实际应用价值 在教学中，经常会有学生问这样的问题：“老师，学习线性代数课程有什么用？”这反映
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数总结归纳
行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5