三角形的外心及性质
三角形外心及性质
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
三条中垂线共点证明
∵l、m为中垂线
∴AF=BF=FC
所以BC中垂线必过F
三角形外心的性质
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
p=(a+b+c)/2．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
性质3：∠GAC+∠B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
三角形外心的做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作O
以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
外心的求法
设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C 正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）
r=abc/（4S△ABC）
三角形的五心及性质
三角形的五心及性质 重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。 定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。 重心坐标为三顶点坐标平均值。 外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。 外心到三顶点距离相等。 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 三角形有且只有一个外接圆。 内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。 三角形有且只有一个内切圆。 垂心三角形三边上的三条高线的交点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。 三角形只有一个垂心。 旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。 三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。 五心的性质 三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如： 1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；2）三角形的外心到三顶点的距离相等；3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
三角形的外心及性质
三角形外心及性质 定义 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心． 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上 三条中垂线共点证明 ∵l、m为中垂线 ∴AF=BF=FC 所以BC中垂线必过F 三角形外心的性质 设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c， p=(a+b+c)/2． 性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A). 性质3：∠GAC+∠B=90° 证明：如图所示延长AG与圆交与P ∵A、C、B、P四点共圆 ∴∠P=∠B ∵∠P+∠GAC=90° ∴∠GAC+∠B=90° 性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： （1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。 性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0. 三角形外心的做法 分别作三角形两边的中垂线交点计作O
三角形的内心与外心的性质
三角形的内心与外心的性质 三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的内心和外心则 是这个图形中具有重要性质的点。本文将介绍三角形内心和外心的定义、性质以及它们在解决几何问题中的应用。 一、三角形的内心 内心是指三角形内一个特殊的点，它与三角形的三个顶点之间的距 离之和最短。我们将这个点称为三角形的内心，用I来表示。内心具有以下性质： 1. 内心是三角形的内切圆的圆心。所谓内切圆，是指与三角形的三 条边相切于各边的中点，且与三边的交点构成的圆。 2. 内心到三角形的三条边的距离相等。这是因为内切圆相切于三边 的中点，所以到各边的距离相等。 3. 内心所在的直径和三角形的内角平分线重合。因此，通过内心可 以得到三角形内角平分线的重要性质。 二、三角形的外心 外心是指三角形外接圆的圆心，此圆恰好与三角形的三个顶点共线。我们将这个点称为三角形的外心，用O来表示。外心具有以下性质： 1. 外心位于三角形的三边的垂直平分线交点上。所谓垂直平分线， 是指与三边垂直且通过三边中点的直线。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。外心是外接圆的圆心，而外接圆与三个顶点相切，所以到各个顶点的距离相等。 3. 外心所在的直径和三角形的外角平分线重合。因此，通过外心可以获得三角形外角平分线的重要性质。 三、内心和外心的应用 内心和外心是三角形中非常重要的点，它们在解决几何问题中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1. 定位：内心和外心可以用来定位三角形在平面坐标系中的位置，帮助我们准确地画出三角形。 2. 证明：内心和外心可以用来证明三角形性质。通过利用内心和外心所在的直径与角平分线重合的性质，可以推导出许多三角形性质的定理。 3. 问题求解：内心和外心在解决三角形相关问题时提供了有用的信息。例如，通过外心可以确定三角形的外接圆半径和外接圆心坐标，从而帮助我们计算三角形的面积和周长。 总结： 三角形内心和外心是基于三角形内切圆和外接圆的特殊点。它们具有许多重要的性质，可以应用于几何证明、问题求解等方面。通过深入理解和应用内心和外心的性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心 三角形是几何学中最基本的多边形之一，它有许多重要的特征和性质。其中，外心与内心是三角形的两个重要点，在研究和解决相关问题时起到了重要的作用。 一、外心 外心是指可以同时与三角形的三个顶点相切的圆心，也被称为三角形的外接圆心。在三角形的外接圆中，外心是圆心，外切于三角形的三个顶点。外心具有以下特征和性质： 1. 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即外心到三角形三条边的距离相等； 2. 外心到三角形的每条边上的垂直平分线相交于外心； 3. 外心所在的外接圆是可以完全包围三角形的最小圆； 4. 三角形的三个角度的二分线相交于外心。 由于外心具有以上特性，它在许多三角形的相关问题中起着重要的作用。例如，通过三角形的外心可以确定外接圆的位置，从而进一步研究三角形的各种性质。此外，外心也可以用来构造与三角形相关的一些图形。 二、内心
内心是指可以同时与三角形的三条边相切的圆心，也被称为三角形的内切圆心。在三角形的内切圆中，内心是圆心，内切于三角形的三条边。内心具有以下特征和性质： 1. 内心到三角形的三边的距离之和等于三角形的周长； 2. 内心到三角形的每条边上的角平分线相交于内心； 3. 内心所在的内切圆是与三角形相切于三个顶点的最大圆； 4. 由内心引出的三条角平分线相交于三角形的内心。 内心也是解决许多三角形相关问题的重要工具。通过内心可以确定内切圆的位置，从而进一步研究三角形的各种性质。内心还可以用来构造与三角形相关的一些图形。 三、外心与内心的关系 三角形的外心与内心有一定的关系，它们之间有以下性质： 1. 外心、内心和三角形的重心共线，即它们三个点在一条直线上； 2. 连接外心和内心的连线等于三角形的Euler线，Euler线是三角形的重心、外心和内心连线的垂直平分线。 这些性质揭示了外心与内心的几何关系，也为解决三角形相关问题提供了依据。 四、例题解析
(完整word版)三角形五心性质总汇
三角形的五心 1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。 2.重心:三角形三条中线交点 中线性质:将三角形面积等分成两部分. 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。 垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。 外心性质：到三角形三个顶点距离相等。 4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。 旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个， 但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。 三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心 (外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算： 设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ． 特别的，在直角三角形中,有 r =1 2(a +b －c )． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． A B C O A B C D E F G A B C D E F I a I K H E F D A B C M
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍
三 角 形 的“五 心” 所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心（1个） 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC ?的外心一般用字母O 表示。 性 质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2 1,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。 二、三角形的内心（1个） 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心， 即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下 性质： 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2. CE CD BD BF AF AE ===,, 3. 三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+ =∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2 190 。
三、三角形的旁心（3个） 定 义：三角形的一条内 角平分线与其他两个角的 外角平分线交于一点，即三 角形的旁心。 性 质： 1. 旁心到三角形一边及其他 两边延长线的距离相等。 即，到三边距离相等。 2. 三角形有三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等 3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫 旁心。 四、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫垂心。ABC ?的垂心一般 用字母H 表示。直角三角形的垂心在直角顶点上。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。 五、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一 般用字母G 表示。 性 质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的四心定义： 1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。 2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。 4、重心：重心是三角形三边中线的交点。 三角形的外心的性质： 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心; 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合; 3.锐角三角形的外心在三角形内; 钝角三角形的外心在三角形外; 直角三角形的外心与斜边的中点重合。 在△ABC中 4.OA=OB=OC=R 5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA 6.S△ABC=abc/4R
三角形的内心的性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2. 5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形的垂心的性质: 1.锐角三角形的垂心在三角形内; 直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外。 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或 者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 例如在△ABC中 3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
三角形三心定义及性质
三角形三心定义及性质 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心这五心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 重心的性质： 1、战略重点至顶点的距离与战略重点至对边中点的距离之比是2∶1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、战略重点至三角形3个顶点距离的平方和最轻。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若o就是△abc的外心，则∠boc=2∠a（∠a为锐角或直角）或∠boc=°-2∠a （∠a为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、排序外心的座标应先排序以下临时变量：d1，d2，d3分别就是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘坐。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 正三角形的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心o、战略重点g和正三角形h三点共线，且og∶gh=1∶2。（此直线称作三角形的欧拉线（euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、正三角形分后每条高线的两部分乘积成正比。 内心的性质：
三角形的外心和内心的性质
三角形的外心和内心的性质 三角形是初中数学中的重要概念之一，它具有丰富的性质和特点。其中，三角 形的外心和内心是我们需要重点关注的。本文将从几何角度出发，详细介绍三角形外心和内心的性质，并给出一些实际的例子，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。 一、外心的性质 外心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点，它有着许多有趣的性质。首先，外心到三角形的每个顶点距离相等，这意味着外心是三角形的外接圆心。其次，外心到三角形的每条边的距离相等，这意味着外心到三角形的每条边都是垂直平分线。这些性质使得外心成为三角形的一个重要特点，我们可以利用这些性质解决一些与外心有关的问题。 例如，我们可以利用外心的性质来证明三角形的垂心存在。垂心是指三角形三 个顶点到对边的垂线的交点，它是一个重要的几何中心。根据外心的性质，我们可以得出结论：三角形的外心到三条边的垂线的交点就是垂心。通过这个性质，我们可以更方便地求解垂心的位置。 另外，外心还有一个重要的性质是与欧拉线有关。欧拉线是三角形的重心、垂 心和外心连线的中垂线，它经过三个重要的几何中心。外心是欧拉线的中点，这意味着外心与三角形的重心和垂心之间有着特殊的关系。通过研究欧拉线，我们可以进一步理解外心的性质和作用。 二、内心的性质 内心是指三角形三个角的平分线的交点，它也有着许多有趣的性质。首先，内 心到三角形的每条边的距离相等，这意味着内心到三角形的每条边都是角平分线。其次，内心到三角形的每个顶点的距离之和等于内心到三角形的周长的一半，这可以用来求解三角形内心的位置。
内心的性质在解决三角形相关问题时非常有用。例如，我们可以利用内心的性质来证明三角形的角平分线的交点存在。根据内心的性质，我们可以得出结论：三角形的内心到三条角平分线的交点就是内心。通过这个性质，我们可以更方便地求解角平分线的交点的位置。 此外，内心还有一个重要的性质是与三角形的旁心有关。旁心是指三角形三个顶点的角的外角平分线的交点，它也是一个重要的几何中心。内心到三个旁心的连线上的点构成的三角形叫做旁心三角形。通过研究旁心三角形，我们可以进一步理解内心的性质和作用。 总结起来，三角形的外心和内心是三角形的重要特点，它们具有许多有趣的性质。通过研究和应用这些性质，我们可以更好地理解和解决与外心和内心相关的问题。中学生和他们的父母可以通过实际的例子和练习来加深对这些性质的理解和掌握。希望本文能够对他们的学习和应用有所帮助，使他们在数学学习中更加得心应手。
三角形的外心和性质
三角形的外心和性质 三角形是平面几何中的基本图形，它具有独特的性质和特征。其中 一项重要的性质就是它们具有外心。本文将探讨三角形的外心及其相 关性质。 一、三角形的外心 外心是指一个三角形外接圆的圆心，也是三条外接线的交点。在任 意给定的三角形ABC中，存在一个唯一的外接圆，而外接圆的圆心即 为三角形的外心。 二、三角形外心的性质 1. 外心到三角形三个顶点的距离相等 在一个三角形的外接圆中，外心到三个顶点的距离是相等的。换句 话说，在三角形ABC中，OA = OB = OC，其中O表示外心，A、B、 C为三个顶点。 2. 外心位于三角形三条外角的角平分线的交点 三角形的三条外角的角平分线交于一点，这个交点就是三角形的外心。即∠BOC = ∠A，∠COA = ∠B，∠AOB = ∠C。 3. 外心是三角形内心和垂心的共轭点 对于任意一个三角形ABC，外心O是其内心I和垂心H的共轭点。这意味着OI与OH关于三角形的边相互垂直。
4. 外心到各顶点的连线是三角形的高的中垂线 在一个三角形ABC中，外心O到三个顶点的连线分别为OA、OB、OC，这些连线同时也是三角形ABC的高线和中垂线。即OA ⊥ BC，OB ⊥ AC，OC ⊥ AB。 5. 外心是三角形周长最小的圆的圆心 在所有可以包围一个给定三角形的圆中，外接圆具有最小的周长。 这也意味着外心到三个顶点的距离是最小的。 三、三角形外心的计算方法 已知一个三角形的三个顶点的坐标，以下是计算外心坐标的方法： 1. 计算三角形ABC的边长a、b、c； 2. 计算三角形ABC的三个顶点所在直线的中垂线斜率的倒数k1、 k2、k3； 3. 根据垂直直线的斜率关系，计算垂直于各边的中垂线方程常数项 c1、c2、c3； 4. 解联立方程组，得到外心的坐标(x, y)。 四、总结 三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，具有多项重要性质和特点。在解决一些与三角形相关的问题时，外心的概念和性质往往会被广泛 应用。同时，通过给定三角形的顶点坐标，我们可以计算出外心的具
三角形的外心与内心的性质
三角形的外心与内心的性质 三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外心与内心则是 三角形内外接圆的特殊点。本文将重点讨论外心与内心的性质及其与 三角形的关系。 一、外心的性质 外心是三角形外接圆的圆心，也被称为三角形的Circumcenter。对 于任意的三角形ABC，我们可以通过以下性质来确定外心的位置： 1. 外心是三角形三个垂直平分线的交点。垂直平分线是指从三角形 的各个顶点到对边中点的垂直平分线。 2. 外心到三角形的每条边的距离都相等，即OC=OA=OB。其中，O 表示外心，A、B、C表示三角形ABC的顶点。 3. 三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边，即2R=BC，其中R 表示外接圆的半径，BC表示三角形的最长边。 二、内心的性质 内心是三角形内切圆的圆心，也被称为三角形的Incenter。内切圆 是唯一与三角形的三个边相切的圆，因此内心也是三角形三个角的角 平分线的交点。 对于任意的三角形ABC，我们可以通过以下性质来确定内心的位置： 1. 内心是三角形三条角平分线的交点。角平分线是指从三角形的各 个顶点出发，将相邻两边的夹角平分的线。
2. 三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，即ID=IE=IF。其中，I表示内心，D、E、F表示三角形ABC的顶点。 3. 内接圆的半径可以通过公式r = S / p来计算，其中r表示内接圆 的半径，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长。 三、外心与内心之间的关系 1. 外心、内心和重心共线。重心是三角形三条中线的交点。这条共 线性质被称为欧拉线。 2. 外心到三个顶点的距离大于内心到三个顶点的距离，并且外心到 顶点的距离之间存在大小关系。 3. 外心和内心的连线与三角形的三个角相对应。 四、实际应用 外心和内心的性质在实际应用中有广泛的应用。例如，在三角测量中，可以通过求解外心和内心的位置来计算三角形的形状和尺寸。 此外，在工程设计中，外心和内心的性质也被用于定位和计算结构 的稳定性。 总结： 三角形的外心与内心是三角形内外接圆的特殊点，它们具有一系列 的性质。外心是三角形三个垂直平分线的交点，内心是三角形三个角 平分线的交点。外心与内心之间存在一系列关系，同时它们也与三角
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍
三 角 形 的“四 心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC ∆的重心一般用字母O 表示。 性 质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2 1,21,21。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝⨯2 1三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2 190 。 三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ∆的重心一般用字母H 表示。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ∆的重心一般用字母G 表示。 性 质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(31PC PB PA PG ++= ，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===3 1。 五、三角形“四心”的向量形式： 结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心。 结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。 结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心。 结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(3 1OC OB OA OG ++= ， 则点G 为ABC ∆的重心。 结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a （其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。 结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。 结论7：设()+∞∈,0λ，则向量)||||( AC AC AB AB AP +=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
(完整版)三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 的“四 心" 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时,四心重合为一点，统称为三角形的中心. 一、三角形的外心 定 义:三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC ∆的重心一般用字母O 表示。 性 质: 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==. 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,。 3。向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。 ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质： 性 质： 1。内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝⨯2 1三角形的周长⨯内切圆的半径． 3。向量性质:设()+∞∈,0λ，则向量||||( AC AC AB AB AP =λ，则动点P 的轨 迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ∆的重心一般用字母H 表示。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2。向量性质： 结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心. 结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足2 22222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心. 四、三角形的“重心"： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ∆的重心一般用字母G 表示。 性 质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=。 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； (2）)(3 1PC PB PA PG ++= .
[全]三角形的内心,外心,重心,垂心,旁心及性质
三角形的内心，外心，重心，垂心，旁心及性质 1.垂心： 〈1〉定义：是三角形三条高的交点。
〈2〉性质： [性质1] 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
[性质2] 三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 [性质3] 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。 [性质4] △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。 [性质6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 [性质7] 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 [性质8]设O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.
[性质9] 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即AH+BH+CH = 2（r+R）。 [性质10] 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 [性质11] 设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1 H2H3.
[性质12] 三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。 2.内心 〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心。
三角形四心及性质
三角形四心 三角形四心要点诠释: （1）三角形的内心、重心都在三角形的内部。 （2）钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部。 （3)直角三角形的垂心为直角顶点,外心为直角三角形斜边的中点. （4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部。 1、三角形外心： 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心) 。 三角形的三条垂直平分线必交于一点 已知：△ABC中，AB，AC的垂直平分线DO，EO相交于点O 求证:O点在BC的垂直平分线上 证明：连结AO,BO,CO,∵DO垂直平分AB，∴AO=BO ∵EO垂直平分AC，∴AO=CO ∴BO=CO 即O点在BC的垂直平分线上 三角形的外心的性质： 1。三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3. 锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外; 直角三角形的外心与斜边的中点重合 4。OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA（圆心角＝2同弧圆周角） =abc/4R 6。S △ABC 2、三角形的内心：
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心）. 三角形三条角平分线必交于一点 证明 己知:在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证:OC平分∠ACB 证明：过O点作OD，OE，OF分别垂直于AC，BC，AB，垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC，∴OD=OF；∵BO平分∠ABC，∴OE=OF ；∴OD=OF ∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB 三角形内心的性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2。三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3。r=2S/(a+b+c) 4。在Rt△ABC中,∠C=90°，r=（a+b-c)/2． 5。∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 =[(a+b+c）r］/2 (r是内切圆半径) 6.S △ABC 3、三角形的垂心： 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 三角形的三条高必交于一点 已知：△ABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F