北师大版选修1-2：1.1.1回归分析--教学设计一、二、三

1.1.1回归分析

教学目标

（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境

1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计

当x=９时的位置y 的值．

根据《数学3（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，

1

221()n i i i n

i

i x y nx y b x n x a y bx

==?

-?

?=??-??=-??∑∑

可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为 22.6287y =

2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？ 二．学生活动

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；

y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；

将y a bx ε=++称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．

（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理；

②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n = ，根据线性回归模型，对于每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使

2

1

n

i

i ε

=∑越小越好．所以，只要求出使2

1

(,)()

n

i

i

i Q y x αββα==

--∑取得最小值时的α，

β值作为a ，b 的估计值，记为 a

，b ． 注：这里的

i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离．

用什么方法求 a

，b ？

回忆利用最小二乘法可以得到 a

，b 的计算公式为 1

122211()()()()n n

i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x n x a y bx

====?

---?

?==??--??=-??∑∑∑∑ ， 其中11n i i x x n ==∑，1

1n

i i y y n ==∑

由此得到的直线 y a bx =+ 就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中 a ，b 分别为a ，b 的估计值， a 称为回归截距，b 称为回归系数， y 称

为回归值．

在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中，

3.5361a =， 2.1214b = ． 3． 线性回归方程 y a

bx =+ 中 a ，b 的意义是：以 a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b

个单位； 4． 化归思想（转化思想）

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1）b y a x =+

，令'y y =，1

'x x

=，则有''y a bx =+． （2）b

y ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．

（3）bx

y ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．

（4）b x

y ae =，令'ln y y =，1

'x x

=

，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+． 四．数学运用 典例分析

例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国

2004年的人口数．

【解析】为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x 表示，对应人口数用

y 表示，得到下面的数据表：

作出11个点(),x y 构成的散点图，

由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型y a bx ε=++来表示它们之间的关系． 根据公式（1）可得

14.453,

527.591.

b a ?≈??

≈?? 这里的 ,a

b 分别为,a b 的估 计值，因此线性回归方程 为 527.59114.453y x =+

由于2004年对应的55x =,代入线性回归方程 527.591

14.453

y x =+可得 1322.506

y =（百万），即2004年的人口总数估计为

13.23亿

. 例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x （万元）与人均产出y （万元）的数据：

（1）设y 与x 之间具有近似关系b

y ax ≈（,a b 为常数），试根据表中数据估计a 和b 的

值；

（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．

分析：根据x ，y 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对b

y ax ≈的两边取对数，就能将其转化为线性关系． 解（1）在b

y a x

≈的两边取常用对数，可得lg lg lg y a b x ≈+，设lg y z =，lg a A =，

lg x X =，则z A bX ≈+．相关数据计算如图327--所示．

仿照问题情境可得A ，b 的估计值 A ，b

分别为 0.2155,1.5677,A b ?=-??=?? 由 lg 0.2155a =-可得 0.6088a

≈，即a ，b 的估计值分别为0.6088和1.5677． （2）由（1）知 1.5

67

0.6088

y x =．样本数据及回归曲线的图形如图328--（见书本102P

页）

当16x =时， 1.56770.60881647.01y =?≈（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元． 五．回顾小结：

1． 线性回归模型y a bx ε=++与确定性函数y a bx =+相比，它表示y 与x 之间是统计

相关关系（非确定性关系）其中的随机误差ε提供了选择模型的准则以及在模型合理的

情况下探求最佳估计值 a

，b 的工具； 2． 线性回归方程 y a

bx =+ 中 a ，b 的意义是：以 a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b

个单位； 3．求线性回归方程的基本步骤．

教学设计二

【教学目标】 1、知识与技能目标

认识随机误差； 2、过程与方法目标

（1）会使用函数计算器求回归方程； （2）能正确理解回归方程的预报结果.

3、情感、态度、价值观

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.

【教学重点】随机误差ｅ的认识

【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响 【教学方法】 启发式教学法 【教学手段】多媒体辅助教学

【教学过程设计】