高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；

2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的

计算和证明问题．

二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形

中的三角函数问题．

三、教学过程：

（一）主要知识： 掌握三角形有关的定理：

正余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C

c

B b A a 2sin sin sin ===

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2

C

=cos 2B A +

面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1

casinB

S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析：

例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理得：sinA=23

2

45sin 3sin =

?= b B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

22

645sin 75sin 2sin sin +=

?=

B C

b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

2

2

645

sin 15sin 2sin sin -=?=

B

C

b 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．

例2． △ABC 中，若

22

tan tan b

a B A =，判断△ABC 的形状。

解一：由正弦定理：B A B

A

A A A

B B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即：

∴2A = 2B 或 2A = 180? - 2B 即：A = B 或 A + B = 90?∴△ABC 为等腰或直角三角形

解二： 由题设：222222

22222222sin cos cos sin b

a R

b b

c a c b ac b c a R a b a B A B A =?

-+-+?

?= 化简：b 2(a 2 + c 2 - b 2) = a 2(b 2 + c 2 - a 2) ∴(a 2 -b 2)(a 2 + b 2 - c 2)=0 ∴a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形． 思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．

例3．在ΔABC 中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：1

C c B b A a sin sin sin =

=,得a+c=B

b sin (sinA+sinC)= 232(sinA+sinC)= 332 [sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0°

法二．∵B=60°,b=1，∴a 2

+c 2

-b 2

=2accos60°, ∴a 2

+c 2

-1=ac, ∴a 2

+c 2

-ac=1,

∴(a+c) 2

+3(a-c) 2

=4, ∴(a+c) 2

=4-3(a-c) 2

. ∵0≤a-c<1 ∴0≤3(a-c)2

<3, ∴4-3(a-c) 2

≤4, 即(a+c) 2

≤4, a+c ≤2a+c>1, 1

例４．已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有

(

)(

)

B b a

C A R sin 2sin sin 222-=

-成立，求△ABC 面积S 的最大值．

解：由已知条件得

()()

(

)

b a B

R B A R -=-2sin 2sin sin

222

2

．即有 2222b ab c a -=-，

又 222cos 222=

-+=ab c b a C ∴ 4

π

=c ． ∴ B A R ab C ab S sin sin 442

42sin 212?===

()()[]B A B A R --+-

=cos cos 2

22

()???

?

????-+=

B A R cos 2

2222 ．

所以当A = B 时，2

max 2

12R S +=

． 思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

例5：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台 风中心位于城市O(如图)的东偏南)10

2

arccos

(=θθ方向 300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北

45的 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭。

解(一) 如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向. 在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为

???

???

??+?-=?-?=.22201027300,2

220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是2

22)]([)()(t r y y x x ≤-+-，

其中10)(=t r t+60，

若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有

,)6010()0()0(222+≤-+-t y x

即,)6010()2

2201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?

t t t 即0288362

≤+-t t ， 解得2412≤≤t .

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)

若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠?-+=cos 22

2

2

由于PO=300,PQ=20t

()

5

445cos cos =

-=∠ θOPQ

故2

22222300960020cos 2t t t OPQ PO PQ PO PQ OQ +-=∠?-+=

因此()2

2

226010300960020+≤+-t t t t

解得2412≤≤t

（三）巩固练习：

1．已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是 （ ） A.(,)(,)b a b a --或 B. (,)a b - C. (,)(,)a b a b --或 D. (,)b a - 2．已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4

π

，则k 等于 （ ） A. 1 B. ２ C.

1

2

D.－1 3．已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于 （ ）

A. 23

B. 35

C.

D.

4．等腰Rt △ABC 中，2,AB AC AB BC ==则=

5．若向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，则非零向量a 与b 的夹角是 ___________。

答案：1、A 2、A 3、C 4、－4 5、60

四、小结：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的

三角函数问题．

五、作业：